2017-2018學年高中物理 第1章 動量守恒研究 3 科學探究：一維彈性碰撞學案 魯科版選修3-5

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1、 第3節(jié)　科學探究——一維彈性碰撞 [目標定位]　1.知道非彈性碰撞、完全非彈性碰撞和彈性碰撞的概念和特點.2.掌握彈性碰撞的規(guī)律，會應用動量、能量的觀點分析、解決一維碰撞問題. 一、不同類型的碰撞 1．非彈性碰撞：碰撞過程中有動能損失，即動能不守恒． 2．完全非彈性碰撞：碰撞后物體結(jié)合在一起，動能損失最大． 3．彈性碰撞：物體碰撞后，形變能夠完全恢復，不發(fā)熱、發(fā)聲，沒有動能損失，又稱為完全彈性碰撞． 二、彈性碰撞的實驗探究 1．質(zhì)量相等的兩個鋼球發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后兩球的總動能守恒，碰撞后兩球交換了速度． 2．質(zhì)量較大的鋼球與靜止的質(zhì)量較小的鋼球發(fā)生彈性碰撞，碰撞后兩

2、球運動方向相同，碰撞前后兩球總動能守恒． 3．質(zhì)量較小的鋼球與靜止的質(zhì)量較大的鋼球發(fā)生彈性碰撞，碰撞后質(zhì)量較小的鋼球速度方向與原來相反，碰撞過程中兩球總動能守恒． 綜上可知，在彈性碰撞過程中，系統(tǒng)的動量與動能都守恒． 三、彈性碰撞的規(guī)律 質(zhì)量為m1的小球以速度v1與靜止的質(zhì)量為m2的小球發(fā)生彈性碰撞．碰撞過程中動量守恒，動能也守恒． 動量守恒的表達式為：m1v1＝m1v1′＋m2v2′ 動能守恒的表達式為m1v＝m1v1′2＋m2v2′2 碰后兩個物體的速度分別為 v1′＝v1，v2′＝v1. 想一想　質(zhì)量相等的兩個物體發(fā)生正碰時，一定交換速度嗎？ 答案　不一定．只有質(zhì)量相

3、等的兩個物體發(fā)生彈性正碰時，同時滿足動量守恒和動能守恒的情況下，兩物體才會交換速度. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、對碰撞問題的理解 1．碰撞 (1)碰撞時間非常短，可以忽略不計． (2)碰撞過程中內(nèi)力往往遠大于外力，系統(tǒng)所受外力可以忽略不計，所以系統(tǒng)的動量守恒． 2．三種碰撞類型 (1)彈性碰撞 動量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′ 動能守恒：m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2 若v2＝0，則有v1′＝v1，v2′＝v1 推論：質(zhì)量相等，大小、材料完全相同的彈性小球發(fā)生彈性碰撞，碰后交換速度．即v1′＝0，v2′＝v1

4、 (2)非彈性碰撞 動量守恒：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′ 動能減少，損失的動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能 |ΔEk|＝Ek初－Ek末＝Q (3)完全非彈性碰撞 動量守恒：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共 碰撞中動能損失最多 |ΔEk|＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v 【例1】　大小、形狀完全相同，質(zhì)量分別為300 g和200 g的兩個物體在無摩擦的水平面上相向運動，速度分別為50 cm/s和100 cm/s. (1)如果兩物體碰撞并粘合在一起，求它們共同的速度大??； (2)求碰撞后損失的動能； (3)如果碰撞是彈性碰撞，求兩物體碰撞后的速度大?。? 答案　(1)0

5、.1 m/s　(2)0.135 J (3)0.7 m/s　0.8 m/s 解析　(1)取v1＝50 cm/s＝0.5 m/s的方向為正方向， 則v2＝－100 cm/s＝－1 m/s， 設(shè)兩物體碰撞后粘合在一起的共同速度為v， 由動量守恒定律得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v， 代入數(shù)據(jù)解得v＝－0.1 m/s，負號表示方向與v1的方向相反． (2)碰撞后兩物體損失的動能為 ΔEk＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2＝×0.3×0.52＋×0.2×(－1)2－×(0.3＋0.2)×(－0.1)2 J＝0.135 J. (3)如果碰撞是彈性碰撞，設(shè)碰后兩物體的速度分別為v1

6、′、v2′，由動量守恒定律得m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′， 由動能守恒得 m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2， 代入數(shù)據(jù)解得v1′＝－0.7 m/s，v2′＝0.8 m/s. 二、彈性正碰模型及拓展應用 1．兩質(zhì)量分別為m1、m2的小球發(fā)生彈性正碰，v1≠0，v2＝0，則碰后兩球速度分別為v1′＝v1，v2′＝v1. (1)若m1＝m2的兩球發(fā)生彈性正碰，v1≠0，v2＝0，則碰后v1′＝0，v2′＝v1，即二者碰后交換速度． (2)若m1?m2，v1≠0，v2＝0，則二者發(fā)生彈性正碰后， v1′＝v1，v2′＝2v1.表明m1的速度不變，m2以2v1的速度

7、被撞出去． (3)若m1?m2，v1≠0，v2＝0，則二者彈性正碰后，v1′＝－v1，v2′＝0.表明m1被反向以原速率彈回，而m2仍靜止． 2．如果兩個相互作用的物體，滿足動量守恒的條件，且相互作用過程初、末狀態(tài)的總機械能不變，廣義上也可以看成是彈性正碰． 【例2】　如圖1所示，ABC為一固定在豎直平面內(nèi)的光滑軌道，BC段水平，AB段與BC段平滑連接，質(zhì)量為m1的小球從高為h處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止在軌道BC段上質(zhì)量為m2的小球發(fā)生碰撞，碰撞后兩球的運動方向處于同一水平線上，且在碰撞過程中無機械能損失．求碰撞后小球m2的速度大小． 圖1 答案　 解析　設(shè)m1碰撞前的速度

8、為v10，根據(jù)機械能守恒定律有m1gh＝m1v 解得v10＝① 設(shè)碰撞后m1與m2的速度分別為v1和v2，根據(jù)動量守恒定律有m1v10＝m1v1＋m2v2② 由于碰撞過程中無機械能損失 m1v＝m1v＋m2v③ 聯(lián)立②③式解得v2＝④ 將①代入④得v2＝ 借題發(fā)揮　對于物理過程較復雜的問題，應注意將復雜過程分解為若干簡單的過程(或階段)，判斷在哪個過程中系統(tǒng)動量守恒，哪一個過程機械能守恒或不守恒，但能量守恒定律卻對每一個過程都適用． 【例3】　 (多選)如圖2所示，在光滑水平面上停放質(zhì)量為m裝有弧形槽的小車．現(xiàn)有一質(zhì)量也為m的小球以v0的水平速度沿切線水平的槽口向小車滑去(不計

9、摩擦)，到達某一高度后，小球又返回小車右端，則(　　) 圖2 A．小球在小車上到達最高點時的速度大小為 B．小球離車后，對地將向右做平拋運動 C．小球離車后，對地將做自由落體運動 D．此過程中小球?qū)囎龅墓閙v 答案　ACD 解析　小球到達最高點時，小車和小球相對靜止，且水平方向總動量守恒，小球離開車時類似完全彈性碰撞，兩者速度完成互換，故選項A、C、D都是正確的． 三、碰撞滿足的三個條件 1．動量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′. 2．動能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′ 或＋≥＋. 3．速度要符合實際情景：碰撞后，原來在前面的物體的速度 一定增

10、大，且原來在前面的物體的速度大于或等于原來在后面的物體的速度，即v前′≥v后′. 【例4】　如圖3所示，光滑水平面上A、B兩小球沿同一方向運動，A球的動量pA＝4 kg·m/s，B球的質(zhì)量mB＝1 kg，速度vB＝6 m/s，已知兩球相撞后，A球的動量減為原來的一半，方向與原方向一致．求： 圖3 (1)碰撞后B球的速度； (2)A球的質(zhì)量范圍． 答案　(1)8 m/s　(2) kg≤mA≤ kg 解析　(1)由題意知pA′＝2 kg·m/s. 根據(jù)動量守恒定律有pA＋mBvB＝pA′＋mBvB′ 解得vB′＝8 m/s. (2)設(shè)A球質(zhì)量為mA，A球能追上B球并與之碰撞，

11、應滿足vA＝>vB 碰撞后A球不可能運動到B球前方，所以vA′＝≤vB′ 碰撞過程系統(tǒng)能量不可能增加，所以 ＋mBvB′2≤＋mBv 聯(lián)立解得mA應滿足 kg≤mA≤ kg. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 碰撞特點及滿足的條件 1. (多選)質(zhì)量相等的A、B兩球在光滑水平面上沿同一直線相向運動，如圖4所示，若以向左為運動的正方向，A球的速度為v1＝－2 m/s，B球的速度為v2＝6 m/s，某時刻A球與B球發(fā)生相互碰撞，碰撞后仍在一條直線上運動，則碰后A、B球速度的可能值是(　　) 圖4 A．vA＝1 m/s，vB＝3 m/s B．vA＝7 m/s，vB

12、＝－3 m/s C．vA＝2 m/s，vB＝2 m/s D．vA＝6 m/s，vB＝－2 m/s 答案　CD 解析　設(shè)兩球的質(zhì)量均為m.驗證方法：(1)動量角度：p初＝4m，而所給選項均滿足要求；(2)碰撞實際情況(碰撞只能發(fā)生一次)：A項不符合題意；(3)能量角度：兩球碰撞前的總動能：Ek初＝mv＋mv＝20m，B選項中，兩球碰后的總動能為Ek末＝mv＋mv＝29m，不符合題意；C、D項完全符合碰撞現(xiàn)象的三個原則，故碰撞能發(fā)生． 彈性碰撞的特點及計算 2．一中子與一質(zhì)量數(shù)為A(A>1)的原子核發(fā)生彈性正碰．若碰前原子核靜止，則碰撞前與碰撞后中子的速率之比為(　　) A. B.

13、 C. D. 答案　A 解析　設(shè)中子的質(zhì)量為m，則被碰原子核的質(zhì)量為Am，兩者發(fā)生彈性碰撞，據(jù)動量守恒，有mv0＝mv1＋Amv′，據(jù)動能守恒，有mv＝mv＋Amv′2.解以上兩式得v1＝v0.若只考慮速度大小，則中子的速率為v1′＝v0，故碰撞前、后中子速率之比為. 非彈性碰撞的特點及計算 3．在光滑的水平面上有兩個在同一直線上相向運動的小球，其中甲球的質(zhì)量m1＝4 kg，乙球的質(zhì)量m2＝1 kg，規(guī)定向左為正方向，碰撞前后甲球的v－t圖象如圖5所示．已知兩球發(fā)生正碰后粘在一起，則碰前乙球速度的大小和方向分別為(　　) 圖5 A．3 m/s，向右 B．13 m/s，向

14、左 C．13 m/s，向右 D．3 m/s，向左 答案　C 解析　由題圖知，碰撞前甲球的速度為v1＝2 m/s，碰撞后，甲、乙兩球的速度v＝－1 m/s，以甲、乙兩球組成的系統(tǒng)為研究對象，碰撞過程動量守恒，由動量守恒定律，得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，代入數(shù)據(jù)，解得v2＝－13 m/s，負號表示碰前乙球的速度方向與正方向相反，即方向向右．選項C正確． 4．冰球運動員甲的質(zhì)量為80.0 kg.當他以5.0 m/s的速度向前運動時，與另一質(zhì)量為100 kg、速度為3.0 m/s迎面而來的運動員乙相撞．碰后甲恰好靜止．假設(shè)碰撞時間極短，求： (1)碰后乙的速度的大小； (2

15、)碰撞中總機械能的損失． 答案　(1)1.0 m/s　(2)1 400 J 解析　(1)設(shè)運動員甲、乙的質(zhì)量分別為m、M，碰前速度大小分別為v1、v2，碰后乙的速度大小為v2′.由動量守恒定律有 mv1－Mv2＝Mv2′① 代入數(shù)據(jù)得 v2′＝1.0 m/s② (2)設(shè)碰撞過程中總機械能的損失為ΔE，應有 mv＋Mv＝Mv2′2＋ΔE③ 聯(lián)立②③式，代入數(shù)據(jù)得 ΔE＝1 400 J (時間：60分鐘)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題組一　碰撞的特點及可能性分析 1．下列關(guān)于碰撞的理解正確的是(　　) A．碰撞是指相對運動的物體相遇時，在極短時間內(nèi)它們的運

16、動狀態(tài)發(fā)生了顯著變化的過程 B．在碰撞現(xiàn)象中，一般內(nèi)力都遠大于外力，所以可以認為碰撞時系統(tǒng)的動能守恒 C．如果碰撞過程中機械能守恒，這樣的碰撞叫做非彈性碰撞 D．微觀粒子的相互作用由于不發(fā)生直接接觸，所以不能稱其為碰撞 答案　A 解析　碰撞是十分普遍的現(xiàn)象，它是相對運動的物體相遇時發(fā)生的一種現(xiàn)象．一般內(nèi)力遠大于外力．如果碰撞中機械能守恒，就叫做彈性碰撞．微觀粒子的相互作用同樣具有短時間內(nèi)發(fā)生強大內(nèi)力作用的特點，所以仍然是碰撞． 2．在一條直線上相向運動的甲、乙兩個小球，它們的動能相等，已知甲球的質(zhì)量大于乙球的質(zhì)量，它們正碰后可能發(fā)生的情況是(　　) A．甲、乙兩球都沿乙球的運動方

17、向 B．甲球反向運動，乙球停下 C．甲、乙兩球都反向運動 D．甲、乙兩球都反向運動，且動能仍相等 答案　C 解析　由p2＝2mEk知，甲球的動量大于乙球的動量，所以總動量的方向應為甲球的初動量的方向，可以判斷C正確． 3．在光滑水平面上，一質(zhì)量為m、速度大小為v的A球與質(zhì)量為2m靜止的B球碰撞后，A球的速度方向與碰撞前相反，則碰撞后B球的速度大小可能是(　　) A．0.6v B．0.4v C．0.3v D．0.2v 答案　A 解析　A、B兩球在水平方向上合外力為零，A球和B球碰撞的過程中動量守恒，設(shè)A、B兩球碰撞后的速度分別為v1、v2， 原來的運動方向為正方向，由動

18、量守恒定律有： mv＝mv1＋2mv2，① 假設(shè)碰后A球靜止，即v1＝0， 可得v2＝0.5v 由題意知球A被反彈，所以球B的速度有： v2>0.5v，② A、B兩球碰撞過程能量可能有損失，由能量關(guān)系有： mv2≥mv＋×2mv，③ ①③兩式聯(lián)立得：v2≤v，④ 由②④兩式可得：0.5v

19、為＋1 m/s B．＋4 m/s和－5 m/s C．＋2 m/s和－1 m/s D．－1 m/s和＋5 m/s 答案　AD 解析　由動量守恒，可驗證四個選項都滿足要求．再看動能變化情況：Ek前＝mAv＋mBv＝27 J Ek后＝mAvA′2＋mBvB′2 由于碰撞過程中動能不可能增加，所以應有Ek前≥Ek后，據(jù)此可排除B；選項C雖滿足Ek前≥Ek后，但A、B沿同一直線相向運動，發(fā)生碰撞后各自仍然保持原來的速度方向，這顯然是不符合實際的，因此C選項錯誤．驗證A、D均滿足Ek前≥Ek后，且碰后狀態(tài)符合實際，故正確選項為A、D. 題組二　碰撞模型的處理 5．現(xiàn)有甲、乙兩滑塊，質(zhì)

20、量分別為3m和m，以相同的速率v在光滑水平面上相向運動，發(fā)生了碰撞．已知碰撞后，甲滑塊靜止不動，那么這次碰撞是(　　) A．彈性碰撞 B．非彈性碰撞 C．完全非彈性碰撞 D．條件不足，無法確定 答案　A 解析　由動量守恒3m·v－mv＝0＋mv′，所以v′＝2v 碰前總動能：Ek＝×3m·v2＋mv2＝2mv2 碰后總動能Ek′＝mv′2＝2mv2，Ek＝Ek′，所以A正確． 6. (多選)小車AB靜置于光滑的水平面上，A端固定一個輕質(zhì)彈簧，B端粘有橡皮泥，AB車質(zhì)量為M，長為L.質(zhì)量為m的木塊C放在小車上，用細繩連結(jié)于小車的A端并使彈簧壓縮，開始時AB與C都處于靜止狀態(tài)

21、，如圖1所示．當突然燒斷細繩，彈簧被釋放，使木塊C向B端沖去，并跟B端橡皮泥粘在一起，以下說法中正確的是(　　) 圖1 A．如果AB車內(nèi)表面光滑，整個系統(tǒng)任何時刻機械能都守恒 B．整個系統(tǒng)任何時刻動量都守恒 C．當木塊對地運動速度為v時，小車對地運動速度為v D．整個系統(tǒng)最后靜止 答案　BCD 解析　AB車與木塊C、彈簧整個系統(tǒng)在任何時刻動量都守恒，故B對；木塊C與B端碰撞粘合時有機械能損失，故A錯；由動量守恒定律：0＝mv－Mv1＝(m＋M)v共，解得v1＝v，v共＝0，故C、D對． 7．(多選)甲物體在光滑水平面上運動速度為v1，與靜止的乙物體相碰，碰撞過程中無機械能損

22、失，下列結(jié)論正確的是(　　) A．乙的質(zhì)量等于甲的質(zhì)量時，碰撞后乙的速度為v1 B．乙的質(zhì)量遠遠小于甲的質(zhì)量時，碰撞后乙的速率是2v1 C．乙的質(zhì)量遠遠大于甲的質(zhì)量時，碰撞后甲的速率是v1 D．碰撞過程中甲對乙做的功大于乙動能的增量 答案　ABC 解析　由于碰撞過程中無機械能損失，故是彈性碰撞，根據(jù)動量守恒和機械能守恒可以解得兩球碰后的速度v1′＝v1，v2′＝v1.當m1＝m2時，v2′＝v1，A對；當m1?m2時，v2′＝2v1，B對；當m1?m2時，v1′＝－v1，C對；根據(jù)動能定理可知D錯誤． 8.在光滑的水平面上有a、b兩球，其質(zhì)量分別為ma、mb，兩球在t0時刻發(fā)生正

23、碰，并且在碰撞過程中無機械能損失，兩球在碰撞前后的速度—時間圖象如圖2所示，下列關(guān)系式正確的是(　　) 圖2 A．ma>mb B．ma

24、相碰和以后一起運動過程，系統(tǒng)機械能均守恒 C．彈簧最大彈性勢能為mv D．彈簧最大彈性勢能為mv 答案　D 解析　B與A碰撞后一起運動的過程中，系統(tǒng)受到彈簧的彈力作用，合外力不為零，因此動量不守恒，A項錯誤；碰撞過程，A、B發(fā)生非彈性碰撞，有機械能損失，B項錯誤；碰撞過程mv0＝2mv，因此碰撞后系統(tǒng)的機械能為×2m2＝mv，彈簧的最大彈性勢能等于碰撞后系統(tǒng)的機械能mv，C項錯誤，D項正確． 10.A、B兩物體在水平面上相向運動，其中物體A的質(zhì)量為mA＝4 kg，兩球發(fā)生相互作用前后的運動情況如圖4所示．則： 圖4 (1)由圖可知A、B兩物體在________時刻發(fā)生碰撞，B

25、物體的質(zhì)量為mB＝____kg. (2)碰撞過程中，系統(tǒng)的機械能損失多少？ 答案　(1)2 s末　6　(2)30 J 解析　(1)由題圖知，在t＝2 s時刻A、B相撞，碰撞前后，A、B的速度： vA＝＝－ m/s＝－2 m/s vB＝＝ m/s＝3 m/s vAB＝＝ m/s＝1 m/s 由動量守恒定律有： mAvA＋mBvB＝(mA＋mB)vAB，解得mB＝6 kg (2)碰撞過程損失的機械能： ΔE＝mAv＋mBv－(mA＋mB)v＝30 J. 題組三　碰撞模型的綜合應用 11．在粗糙的水平桌面上有兩個靜止的木塊A和B，兩者相距為d.現(xiàn)給A一初速度，使A與B發(fā)生彈性

26、正碰，碰撞時間極短．當兩木塊都停止運動后，相距仍然為d.已知兩木塊與桌面之間的動摩擦因數(shù)均為μ，B的質(zhì)量為A的2倍，重力加速度大小為g.求A的初速度的大?。? 答案　 解析　設(shè)在發(fā)生碰撞前的瞬間，木塊A的速度大小為v；在碰撞后的瞬間，A和B的速度分別為v1和v2.在碰撞過程中，由能量和動量守恒定律，得 mv2＝mv＋(2m)v① mv＝mv1＋(2m)v2② 式中，以碰撞前木塊A的速度方向為正．由①②式得 v1＝－③ 設(shè)碰撞后A和B運動的距離分別為d1和d2，由動能定理得 μmgd1＝mv④ μ(2m)gd2＝(2m)v⑤ 按題意有d＝d1＋d2⑥ 設(shè)A的初速度大小為v0，

27、由動能定理得 μmgd＝mv－mv2⑦ 聯(lián)立②至⑦式，得 v0＝ 12．水平臺球桌面上母球A、目標球B和球袋洞口邊緣C位于一條直線上，設(shè)A、B兩球質(zhì)量均為0.25 kg且可視為質(zhì)點，A、B間的距離為5 cm，B、C間距離為x＝160 cm，因兩球相距很近，為避免“推桿”犯規(guī)(球桿推著兩球一起運動的現(xiàn)象)，常采用“點桿”擊球法(當球桿桿頭接觸母球的瞬間，迅速將桿抽回，母球在離桿后與目標球發(fā)生對心正碰，因碰撞時間極短，可視為完全彈性碰撞)，設(shè)球與桌面的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，為使目標球可能落入袋中，求： 圖5 (1)碰撞過程中A球?qū)球的最小沖量為多大？(碰撞過程中的摩擦阻力可忽略不計) (2)碰撞前瞬間A球的速度最小是多大？ 答案　(1)1 kg·m/s　(2)4 m/s 解析　(1)設(shè)碰撞后瞬間B球能進入球袋的最小速度為vB，由動能定理得：μmgx＝0－mv 解得vB＝4 m/s 由動量定理得：I＝mvB＝1 kg·m/s (2)設(shè)A 碰撞前瞬間最小速度為vA，碰撞后瞬間為v，則：由動量守恒定律得：mvA＝mv＋mvB 由機械能守恒得：mv＝mv2＋mv 聯(lián)立方程解得：vA＝vB＝4 m/s，v＝0 12