（全國通用）2018年高考物理二輪復(fù)習(xí) 專題一 力與運(yùn)動(dòng) 第1講 力與物體的平衡學(xué)案

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1、 第1講　力與物體的平衡 知識(shí)必備 1.彈力 彈力方向與接觸面垂直指向被支持或被擠壓物體。桿的彈力不一定沿桿。彈簧的彈力由胡克定律F＝kx計(jì)算，一般物體間彈力大小按物體受力分析和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求解。 2.摩擦力 方向：摩擦力的方向沿接觸面的切線方向，與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。 大?。红o摩擦力的大小由物體受其他力力的情況運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定，大小0＜F≤Fmax，具體值根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律或平衡條件求解?；瑒?dòng)摩擦力的大小由公式F＝μFN求解。 4. 5.共點(diǎn)力的平衡 共點(diǎn)力的平衡條件是F合＝0，平衡狀態(tài)是指物體處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)。 備考策略 1.研究對(duì)

2、象的選取方法：(1)整體法　(2)隔離法 2.受力分析的順序 一般按照“一重、二彈、三摩擦，四其他”的程序，結(jié)合整體法與隔離法分析物體的受力情況。 3.處理平衡問題的基本思路 4.求解平衡問題的常用方法：二力平衡法、合成法、正交分解法、相似三角形法、正弦定理法、圖解法等。 　力學(xué)中的平衡問題 【真題示例1 (2017·全國卷Ⅱ，16)如圖1，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)。物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(　　) 圖1 A.2－ B. C. D. 解析　當(dāng)F水平時(shí)，根據(jù)

3、平衡條件得F＝μmg；當(dāng)保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角時(shí)，由平衡條件得Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)，聯(lián)立解得μ＝，故選項(xiàng)C正確。 答案　C 【真題示例2】 (2017·全國卷Ⅲ，17)一根輕質(zhì)彈性繩的兩端分別固定在水平天花板上相距80 cm的兩點(diǎn)上，彈性繩的原長(zhǎng)也為80 cm。將一鉤碼掛在彈性繩的中點(diǎn)，平衡時(shí)彈性繩的總長(zhǎng)度為100 cm；再將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點(diǎn)，則彈性繩的總長(zhǎng)度變?yōu)?彈性繩的伸長(zhǎng)始終處于彈性限度內(nèi))(　　) A.86 cm B.92 cm C.98 cm D.104 cm 解析　設(shè)彈性繩的勁度系數(shù)為k。掛鉤碼后，

4、彈性繩兩端點(diǎn)移動(dòng)前，左、右兩段繩的伸長(zhǎng)量ΔL＝＝10 cm，兩段繩的彈力F＝kΔL，對(duì)鉤碼受力分析，如圖甲所示，sin α＝，cos α＝。根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得，鉤碼的重力為G＝2kΔLcos α。將彈性繩的兩端緩慢移至天花板上的同一點(diǎn)時(shí)，受力圖如圖乙所示。設(shè)彈性繩伸長(zhǎng)量為ΔL′，彈力為F′＝kΔL′，鉤碼的重力為G＝2kΔL′，聯(lián)立解得ΔL′＝ΔL＝6 cm。彈性繩的總長(zhǎng)度變?yōu)長(zhǎng)0＋2ΔL′＝92 cm，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。 　　 甲　　　 乙 答案　B 【真題示例3】 (2017·全國卷Ⅰ，21)如圖2，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點(diǎn)M拴一重物，用手拉住繩的另

5、一端N，初始時(shí)，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α(α＞)。現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中(　　) 圖2 A.MN上的張力逐漸增大 B.MN上的張力先增大后減小 C.OM上的張力逐漸增大 D.OM上的張力先增大后減小 解析　以重物為研究對(duì)象，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1，由題意知，三個(gè)力合力始終為零，矢量三角形如圖所示，F(xiàn)1、F2的夾角為π－α不變，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，矢量三角形在同一外接圓上，由圖可知，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確，B、C錯(cuò)誤。 答案　A

6、D 真題感悟 1.高考考查特點(diǎn) (1)共點(diǎn)力的單物體動(dòng)態(tài)平衡及連接體的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)平衡問題是高考命題的熱點(diǎn)(2016年考查了連接體平衡，2017年考查了單個(gè)物體的平衡)。 (2)做好物體的受力分析，畫出力的示意圖，并靈活運(yùn)用幾何關(guān)系和平衡條件是解題的關(guān)鍵。 2.解題常見誤區(qū)及提醒 (1)不能靈活選取研究對(duì)象，不能準(zhǔn)確把握求解問題的切入點(diǎn)。 (2)對(duì)一些常見物理語言(如輕繩、輕環(huán))不理解其內(nèi)涵。 (3)不能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)系求解物理問題。 預(yù)測(cè)1 共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用 預(yù)測(cè)2 整體法、隔離法的應(yīng)用 預(yù)測(cè)3 物體的動(dòng)態(tài)平衡 1.(多選)如圖3所示，在粗糙的水平桌面上靜

7、止放著一盞臺(tái)燈，該臺(tái)燈可通過支架前后調(diào)節(jié)從而可將燈頭進(jìn)行前后調(diào)節(jié)，下列對(duì)于臺(tái)燈的受力分析正確的是(　　) 圖3 A.臺(tái)燈受到水平向左的摩擦力 B.若將燈頭向前調(diào)一點(diǎn)(臺(tái)燈未倒)，則桌面對(duì)臺(tái)燈的支持力將變大 C.支架對(duì)燈頭的支持力方向豎直向上 D.整個(gè)臺(tái)燈所受的合外力為零 解析　以整個(gè)臺(tái)燈為研究對(duì)象，臺(tái)燈受到重力和桌面的支持力，且處于平衡狀態(tài)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；根據(jù)二力平衡可知燈頭所受支架的支持力豎直向上，故選項(xiàng)C正確；若將燈頭向前調(diào)一點(diǎn)(臺(tái)燈未倒)，臺(tái)燈仍然處于平衡狀態(tài)，故桌面對(duì)臺(tái)燈的支持力大小不變，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。 答案　CD 2.如圖4所示，一質(zhì)量為M、傾

8、角為θ的斜面體置于水平面上，一質(zhì)量為m的滑塊通過一跨過兩定滑輪的輕繩與一重力為G的鉤碼相連(兩滑輪間的輕繩水平)，現(xiàn)將滑塊置于斜面上，滑塊在斜面上勻速上滑，且發(fā)現(xiàn)在滑塊運(yùn)動(dòng)過程中，斜面一直保持不動(dòng)，則下列說法中正確的是(　　) 圖4 A.地面對(duì)斜面體的摩擦力方向水平向右，大小為Gsin θ B.滑塊對(duì)斜面體的摩擦力方向沿斜面向上，大小為G－mgcos θ C.地面對(duì)斜面體的支持力大小為(M＋m)g＋G D.地面對(duì)斜面體的支持力大小為(M＋m)g 解析　以滑塊和斜面體為整體進(jìn)行研究，其受力分析如圖甲所示，由平衡條件可知地面對(duì)斜面體的支持力大小為FN＝(M＋m)g，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正

9、確；地面對(duì)斜面體的摩擦力水平向右，大小為f＝G，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；再以滑塊為研究對(duì)象，受力分析如圖乙所示，由力的平衡可知斜面體對(duì)滑塊的滑動(dòng)摩擦力為f′＝G－mgsin θ，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。 答案　D 3.(多選)如圖5所示，A為靜止在水平地面上的斜面，斜面光滑，輕繩一端與B球相連，另一端與一輕質(zhì)彈簧測(cè)力計(jì)相連，再用另一輕繩與彈簧測(cè)力計(jì)相連后固定在天花板上，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，B球靠近斜面底端位置，現(xiàn)用一水平向左的推力F′緩慢推動(dòng)斜面。當(dāng)B快要到達(dá)斜面頂端時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)接近于水平位置，在推動(dòng)過程中兩輕繩都處于拉伸狀態(tài)。設(shè)斜面對(duì)小球的支持力為FN，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F，則在該過程中下列說法正確

10、的是(　　) 圖5 A.FN與F的合力變大 B.FN與F的合力方向始終不變 C.FN保持不變，F(xiàn)先增大后減小 D.FN不斷增大，F(xiàn)先減小后增大 解析　B球在三個(gè)共點(diǎn)力作用下達(dá)到平衡狀態(tài)，其中重力G的大小和方向均不發(fā)生變化，拉力F的方向改變，支持力FN方向不變，大小改變。利用力的三角形定則作出如圖所示的示意圖，由圖可知選項(xiàng)D正確，C錯(cuò)誤；根據(jù)共點(diǎn)力平衡的特點(diǎn)可知FN與F的合力大小始終等于B球的重力G的大小，且與G方向相反，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確。 答案　BD 歸納總結(jié) 1.共點(diǎn)力作用下的物體平衡問題，涉及受力分析、力的合成與分解、建立平衡方程等，其思維與解題過程如下：

11、→→→ 2.解決動(dòng)態(tài)平衡問題的一般思路：把“動(dòng)”化為“靜”，“靜”中求“動(dòng)”。動(dòng)態(tài)平衡問題的分析過程與處理方法如下： 　電學(xué)中的平衡問題 【真題示例1】 (2017·天津理綜，3)如圖6所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，導(dǎo)軌之間接有電阻R。金屬棒ab與兩導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，整個(gè)裝置放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向下?，F(xiàn)使磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻減小，ab始終保持靜止，下列說法正確的是(　　) 圖6 A.ab中的感應(yīng)電流方向由b到a B.ab中的感應(yīng)電流逐漸減小 C.ab所受的安培力保持不變 D.ab所受的靜摩擦力逐漸減小 解析　導(dǎo)體棒ab、電阻R、導(dǎo)軌構(gòu)成閉

12、合回路，磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻減小(＝k為一定值)，則閉合回路中的磁通量減小，根據(jù)楞次定律，可知回路中產(chǎn)生順時(shí)針方向的感應(yīng)電流，ab中的電流方向由a到b，故A錯(cuò)誤；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝＝＝kS，回路面積S不變，即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為定值，根據(jù)閉合電路歐姆定律I＝，所以ab中的電流大小不變，故B錯(cuò)誤；安培力F＝BIL，電流大小不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度減小，則安培力減小，故C錯(cuò)誤；導(dǎo)體棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所受合力為零，對(duì)其受力分析，水平方向靜摩擦力f與安培力F等大反向，安培力減小，則靜摩擦力減小，故D正確。 答案　D 【真題示例2】 (2016·全國卷Ⅰ，24)如圖7，兩固定的絕緣斜面傾角均為θ，上沿相

13、連。兩細(xì)金屬棒ab(僅標(biāo)出a端)和cd(僅標(biāo)出c端)長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為2m和m；用兩根不可伸長(zhǎng)的柔軟輕導(dǎo)線將它們連成閉合回路abdca，并通過固定在斜面上沿的兩光滑絕緣小定滑輪跨放在斜面上，使兩金屬棒水平。右斜面上存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于斜面向上，已知兩根導(dǎo)線剛好不在磁場(chǎng)中，回路電阻為R，兩金屬棒與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度大小為g，已知金屬棒ab勻速下滑。求 圖7 (1)作用在金屬棒ab上的安培力的大?。? (2)金屬棒運(yùn)動(dòng)速度的大小。 解析　(1)由ab、cd棒被平行于斜面的導(dǎo)線相連，故ab、cd速度總是大小相等，cd也做勻速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩導(dǎo)線上

14、拉力的大小為T，右斜面對(duì)ab棒的支持力的大小為FN1，作用在ab棒上的安培力的大小為F，左斜面對(duì)cd棒的支持力大小為FN2，對(duì)于ab棒，受力分析如圖甲所示，由力的平衡條件得 　 甲　　　　　　　乙 2mgsin θ＝μFN1＋T＋F① FN1＝2mgcos θ② 對(duì)于cd棒，受力分析如圖乙所示，由力的平衡條件得 mgsin θ＋μFN2＝T③ FN2＝mgcos θ④ 聯(lián)立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ)⑤ (2)設(shè)金屬棒運(yùn)動(dòng)速度大小為v，ab棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E＝BLv⑥ 回路中電流I＝⑦ 安培力F＝BIL⑧ 聯(lián)立⑤⑥⑦⑧得：v＝(sin θ－

15、3μcos θ) 答案　(1)mg(sin θ－3μcos θ)　(2)(sin θ－3μcos θ) 真題感悟 1.高考考查特點(diǎn) 電學(xué)中的平衡問題是指在電場(chǎng)力、安培力參與下的平衡問題。 處理電學(xué)中的平衡問題的方法與純力學(xué)問題的分析方法一樣，把方法和規(guī)律進(jìn)行遷移應(yīng)用。 2.解題常見誤區(qū)及提醒 (1)安培力方向的判斷要先判斷磁場(chǎng)方向、電流方向，再用左手定則判斷，同時(shí)注意立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖。 (2)電場(chǎng)力或安培力的出現(xiàn)，可能會(huì)對(duì)壓力或摩擦力產(chǎn)生影響。 (3)涉及電路問題時(shí)，要注意閉合電路歐姆定律的使用。 預(yù)測(cè)1 電場(chǎng)力作用下的平衡問題 預(yù)測(cè)2 電磁場(chǎng)中

16、的平衡問題 預(yù)測(cè)3 電磁感應(yīng)中的平衡問題 1.如圖8所示，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電小球A用絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，帶有電荷量也為q的小球B固定在O點(diǎn)正下方絕緣柱上，其中O點(diǎn)與小球A的間距為l，O點(diǎn)與小球B的間距為l，當(dāng)小球A平衡時(shí)，懸線與豎直方向夾角θ＝30°，帶電小球A、B均可視為點(diǎn)電荷，靜電力常量為k，則(　　) 圖8 A.A、B間庫侖力大小F＝ B.A、B間庫侖力大小F＝ C.細(xì)線拉力大小FT＝ D.細(xì)線拉力大小FT＝mg 解析　帶電小球A受力如圖所示，OC＝l，即C點(diǎn)為OB中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性AB＝l。由庫侖定律知A、B間庫侖力大小F＝，細(xì)線拉力FT＝F＝，選項(xiàng)A、C錯(cuò)

17、誤；根據(jù)平衡條件得Fcos 30°＝mg，得F＝，繩子拉力FT＝，選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤。 答案　B 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2. (2017·陜西省寶雞市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖9所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向與水平方向夾角為30°且斜向右上方，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直于紙面(圖中未畫出)。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電小球(可視為質(zhì)點(diǎn))以與水平方向成30°角斜向左上方的速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g。則(　　) 圖9 A.勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向可能垂直于紙面向外 B.小球一定帶正電荷 C.電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 D.磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 解析　小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受到的合

18、力為零，假設(shè)小球帶正電，則小球的受力情況如圖甲所示，小球受到的洛倫茲力沿虛線但方向未知，小球受到的重力與電場(chǎng)力的合力與洛倫茲力不可能平衡，故小球不可能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)不成立，小球一定帶負(fù)電，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球的受力情況如圖乙所示，小球受到的洛倫茲力一定斜向右上方，根據(jù)左手定則，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向一定垂直于紙面向里，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)幾何關(guān)系，電場(chǎng)力大小qE＝mg，洛倫茲力大小qvB＝mg，解得E＝，B＝，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。 答案　C 3.如圖10所示的平行金屬導(dǎo)軌，傾角θ＝37°，導(dǎo)體棒MN、PQ分別與導(dǎo)軌垂直放置，質(zhì)量分別為m1和m2，MN與導(dǎo)軌的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，PQ與導(dǎo)軌無摩擦

19、，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，裝置整體置于方向垂直傾斜導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，現(xiàn)將導(dǎo)體棒PQ由靜止釋放(設(shè)PQ離底端足夠遠(yuǎn))。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。試分析m1與m2應(yīng)該滿足什么關(guān)系，才能使導(dǎo)體棒MN在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)。 圖10 解析　釋放PQ，回路中產(chǎn)生由P—Q—N—M—P的感應(yīng)電流，對(duì)MN棒受力分析如圖甲所示。 令F1cos θ－μ(m1g＋F1sin θ)＝0，解得F1＝m1g 要使MN能夠運(yùn)動(dòng)必須滿足F安≥m1g 兩導(dǎo)體棒所受到的安培力大小相同，對(duì)PQ棒受力分析如圖乙所示。 當(dāng)導(dǎo)體棒PQ有最大速度時(shí)有F2＝m2gsin θ

20、 即PQ受到的安培力F安≤m2gsin θ 故要使導(dǎo)體棒MN在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)須滿足m2≥m1 答案　m2≥m1 練后反思 (1)電荷在電場(chǎng)中一定受電場(chǎng)力作用，電流或電荷在磁場(chǎng)中不一定受磁場(chǎng)力作用。 (2)分析電場(chǎng)力或洛倫茲力時(shí)，一定要注意帶電體是正電荷還是負(fù)電荷。 　平衡中的臨界極值問題 【模擬示例】 一個(gè)質(zhì)量為1 kg的物體放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知這個(gè)最小拉力大小為6 N，取g＝10 m/s2，則下列關(guān)于物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值，正確的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.μ＝ B.μ＝ C.μ＝

21、 D.μ＝ 解析　物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可知拉力在水平方向的分力與滑動(dòng)摩擦力相等。以物體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài)。水平方向有Fcos α＝μFN，豎直方向有Fsin α＋FN＝mg。聯(lián)立可解得：F＝＝，當(dāng)α＋φ＝90°時(shí)，sin(α＋φ)＝1，F(xiàn)有最小值，F(xiàn)min＝，代入數(shù)值得μ＝。 答案　C 預(yù)測(cè)1 摩擦力作用下的臨界問題 預(yù)測(cè)2 連接體平衡中的極值問題 1.如圖11所示，楔形木塊M固定在水平桌面上，它的兩底角α和β分別為37°和53°，兩個(gè)物塊a和b放在兩側(cè)的斜面上，由繞過木塊頂端的光滑定滑輪的細(xì)繩相連接，并處于靜止?fàn)顟B(tài)，兩物塊與斜面

22、的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.2。如果a的質(zhì)量為m1，b的質(zhì)量為m2，物塊與斜面間的滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力，則可能為(　　) 圖11 A. B. C.2 D.3 解析　當(dāng)a剛好不下滑時(shí)，m1gsin α－μm1gcos α＝m2gsin β＋μm2gcos β，求得＝；當(dāng)b剛好不下滑時(shí)，m1gsin α＋μm1gcos α＝m2gsin β－μm2gcos β，求得＝，因此，介于和之間，選項(xiàng)C正確。 答案　C 2.(2017·廣東佛山二模，15)如圖12所示，兩個(gè)小球a、b質(zhì)量均為m，用細(xì)線相連并懸掛于O點(diǎn)，現(xiàn)用一輕質(zhì)彈簧給小球a施加一個(gè)拉力F，使整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，且Oa

23、與豎直方向夾角為θ＝45°，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，則彈簧形變量最小值是(　　) 圖12 A. B. C. D. 解析　對(duì)a球進(jìn)行受力分析，利用圖解法可判斷：當(dāng)彈簧上的拉力F與細(xì)線上的拉力垂直時(shí)，彈簧的拉力F最小，為Fmin＝2mgsin θ＝mg，再根據(jù)胡克定律得彈簧的最小形變量Δx＝，所以應(yīng)該選A。 答案　A 歸納總結(jié) 解決臨界極值問題的三種方法 (1)解析法：根據(jù)物體的平衡條件列出平衡方程，在解方程時(shí)采用數(shù)學(xué)方法求極值。通常用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有二次函數(shù)求極值、討論分式求極值、三角函數(shù)求極值以及幾何法求極值等。 (2)圖解法：此種方法通常適用于物體只在三個(gè)力作用下的平衡問題。首先根據(jù)平衡條件作出力的矢量三角形，然后根據(jù)矢量三角形進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定其最大值或最小值。 (3)極限法：極限法是一種處理極值問題的有效方法，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理量將問題推向極端(如“極大”“極小”等)，從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，快速求解。 - 14 -