五年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)練習(xí)14 數(shù)列的分組（B）

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1、數(shù)列的分組(B) 年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題 1. 有一列由三個(gè)數(shù)組成的數(shù)組,它們依次是 (1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);……第99個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和是______. 2. 有數(shù)組:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,第100組的三個(gè)數(shù)之和是___. 3. 有數(shù)組{1,2,3,4},{2,4,6,8},{3,6,9,12},……,那么第100個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)的和是______. 4. 將自然數(shù)按下面的規(guī)律分組:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,

2、12),(13, 14,15,16,17,18,19,20),……,第1991組的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)各是______. 5. 將奇數(shù)按下列方式分組: (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),……. (1) 第15組中第一個(gè)數(shù)是______; (2) 第15組中所有數(shù)的和是______; (3) 999位于第____組第____號(hào). 6. 自然數(shù)列1,2,3,…,,…,它的第組含有2-1個(gè)數(shù),第10組中各數(shù)的和是______. 7. 給定以下數(shù)列: ,,,,,,,,,,…, (1)是第____項(xiàng); (2)第244項(xiàng)是__

3、__; (3)前30項(xiàng)之和是____. 8. 在以下數(shù)列: ,,,,,,,,,,,,…中,居于第___項(xiàng). 9. 設(shè)自然數(shù)按下圖的格式排列: 1 2 5 10 17 … 4 3 6 11 18 … 9 8 7 12 19 … 16 15 14 13 20 … 25 24 23 22 21 … … … … … … … (1) 200所在的位置

4、是第____行,第____列; (2) 第10行第10個(gè)數(shù)是______. 10. 緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字,寫下的數(shù)字都是它們前面兩個(gè)數(shù)字之積的個(gè)位數(shù),例如8×9=72,在9后面寫2,2×9=18,在2后面寫8,…,這樣得到一串?dāng)?shù)字,從1開始,第1989個(gè)數(shù)字是______. 二、解答題 11. 將1到1989的自然數(shù)從頭開始,依次第四個(gè)數(shù)一組,第一組各數(shù)間添上“+”號(hào),第二組各數(shù)間添上“一”號(hào),以后各組以“+”,“一”號(hào)相間隔,列成一個(gè)算式: 1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-….問: (1) 1989前添什么號(hào)? (2)

5、 求這個(gè)算式的結(jié)果. 12. 把由1開始的自然數(shù)依次寫下來: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…. 重新分組,按三個(gè)數(shù)字為一組: 123,456,789,101,112,131,…, 問第10個(gè)數(shù)是幾? 13. 根據(jù)下圖回答: (1) 第一行的第8個(gè)數(shù)是幾? (2) 第五行第六列上的數(shù)是幾? (3) 200的位置在哪一格(說出所在行和列的序號(hào))? 14. 已知自然數(shù)組成的數(shù)列: 1,2,3,…,9,10,11,12,…, 把這個(gè)數(shù)列的10和大于10的數(shù),全部用逗號(hào)

6、隔成一位數(shù),做成一個(gè)新的數(shù)列: 1,2,3,…,9,1,0,1,1,1,2,…. 問: (1) 中100這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的“0”在中是第幾個(gè)數(shù)? (2) 中第100個(gè)數(shù)是幾?這個(gè)數(shù)在中的哪個(gè)數(shù)內(nèi)?是它的哪一位數(shù)? (3) 到的第100個(gè)數(shù)為止,“3”這個(gè)數(shù)字出現(xiàn)了幾次? (4) 中前100個(gè)數(shù)的和是多少? ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1. 解法一 這串?dāng)?shù)組,各組數(shù)的和是16,32,48,….各組數(shù)的和分別是按16的1倍,2

7、倍,3倍,……的規(guī)律遞增.因此,第99個(gè)數(shù)組的和是16×99=16×(100-1)=1600-16=1584. 解法二 通過觀察可以發(fā)現(xiàn),每一組括號(hào)中的三個(gè)數(shù)的關(guān)系是:第一個(gè)數(shù)表示組數(shù),第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的5倍,第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的10倍.因此,第99組內(nèi)三個(gè)數(shù)應(yīng)為:(99,99×5,99×10).所以,第99個(gè)數(shù)組的和是: 99+99×5+99×10=99×(1+5+10) =99×16 =1584 2. 解法一 通過觀察可以發(fā)現(xiàn),每一組括號(hào)中三個(gè)數(shù)的關(guān)系是:第一個(gè)數(shù)表示組數(shù),第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)自乘的積,

8、第三個(gè)數(shù)是第一、二兩數(shù)的乘積,因此,第100組中的三個(gè)數(shù)應(yīng)分別是: 第一個(gè)數(shù)是100; 第二個(gè)數(shù)是100×100=10000; 第三個(gè)數(shù)是100×10000=1000000, 所以,第100組的三個(gè)數(shù)的和為: 100+10000+1000000=1010100. 解法二 通過觀察可發(fā)現(xiàn)每一組的三個(gè)數(shù)的和可以用通項(xiàng)公式 表示,=1,2,3,….因此,第100組的三個(gè)數(shù)之和是: . 3. 解法一 這串?dāng)?shù)組,各組數(shù)的和是10,20,30,40,….因此,第100個(gè)數(shù)中的四個(gè)數(shù)的和是100×10=1000. 解法二 通過觀察可以發(fā)現(xiàn),每一組數(shù)括號(hào)中四個(gè)數(shù)的關(guān)系

9、是:第一個(gè)數(shù)表示組數(shù),第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的2倍,第三個(gè)數(shù)是第一個(gè)的3倍,第四個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的4倍.因此,第100個(gè)數(shù)組內(nèi)的四個(gè)數(shù)分別是:(100,200,300,400). 所以,第100個(gè)數(shù)組的四個(gè)數(shù)的和是:100+200+300+400=1000. 4. 仔細(xì)觀察找出這些自然數(shù)分組的規(guī)律,再找出每一組的第一個(gè)數(shù)與該組的序數(shù)之間的關(guān)系. 第1組的第1個(gè)數(shù)是:1=(1-1)×1+1; 第2組的第1個(gè)數(shù)是:3=(2-1)×2+1; 第3組的第1個(gè)數(shù)是:7=(3-1)×3+1; 第4組的第1個(gè)數(shù)是:13=(4-1)×4+1; …… 根據(jù)這一規(guī)律,可求出第1991組的第

10、1個(gè)數(shù)是:(1991-1)×1991+1=3962091. 第1992組的第一個(gè)數(shù)是: (1992-1)×1992+1=3966073. 因此,第1991組的最后一個(gè)數(shù)是:3966073-1=3966072. 5. (1)從第1組到第14組的奇數(shù)有1+2+3+…+14==105(個(gè)). 因此,第15組最初一個(gè)數(shù)是第106個(gè)奇數(shù):2×106-1=211. (2)在第15組中的數(shù)是以211為首項(xiàng),公差為2,項(xiàng)數(shù)等于15的等差數(shù)列,其和是15×211+×2=3375. (3)設(shè)999位于第組,因31×32=992,32×33=1056,所以=32,第32組最初一個(gè)數(shù)

11、是:[2×(1+2+…+31)-1]+2=993. 因此,999是第32組的第4號(hào)數(shù). 6. 第1組到第9組共有自然數(shù):1+3+5+…+(2×9-1)==18(個(gè)). 因此,第10組第1號(hào)數(shù)是82,第10組有2×10-1=19個(gè)數(shù),所以第10組各數(shù)之和為 . 7. (1)以分母相同的分?jǐn)?shù)分組,并記分母為的分?jǐn)?shù)屬于第組,從而是第29組的第13號(hào)數(shù),第組由個(gè)分?jǐn)?shù)組成,從第1組到第28組有 1+2+3+…+28==406 個(gè)分?jǐn)?shù),因此位于第406+13=419項(xiàng). (2)因21×20=4

12、20,22×21=462,23×22=506,故第244項(xiàng)在第22組,前21組有=231個(gè)分?jǐn)?shù),從而第244項(xiàng)是居于第22組中的第13號(hào)數(shù),是. (3)前30項(xiàng)之和為 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+7)++ =1++…++ =(2+3+4+…+8)+ =×+ = =17. 8. 將分子與分母之和相等者歸于同一組: ,,,,…， 其中在7+19-1=25組,是第19號(hào)數(shù).1至24組共有分?jǐn)?shù) 1+2+3+…+24==300(個(gè)). 所以在原數(shù)列中是第300+19=319項(xiàng)

13、. 9. 注意到第一列是完全平方數(shù): 1,4,9,16,25,…. 按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…分組,則200在196與225之間,屬第15組,倒數(shù)第4個(gè)數(shù),在第4行、第15列上. 第10行第10個(gè)數(shù)是位于第10行第10列上的數(shù)91. 10. 寫出前面幾個(gè)數(shù)字: 198928688428688428…, 1989后面的六位數(shù)字出現(xiàn)循環(huán). (1989-4)÷6=330…5, 所以第1989位數(shù)字是8. 11.

14、 1989÷8=248…5,所以1989前添的是“-”號(hào).觀察到,從第3個(gè)數(shù)起,每8個(gè)數(shù)之和為0: 3+4-5-6-7-8+9+10=0, 11+12-13-14-15-16+17+18=0, ………………………… (1989-2)÷8=248…3, 所以,這個(gè)算式的結(jié)果是: 1+2+1987+1988-1989=1989. 12. 1到9有9個(gè)數(shù)字

15、,10到19有20個(gè)數(shù)字,第10個(gè)三位數(shù)是192. 13. (1)所有自然數(shù)按自右上至左下以斜線分組: (1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…, 第組第1號(hào)數(shù)是第一行的第個(gè)數(shù).從第1組到第(-1)組有: 1+2+3+…+(-1)= 個(gè)數(shù),從而第組第1號(hào)數(shù)是+1.因此,第1行第8個(gè)數(shù)是+1=29. (2)一般地,自上至下第行,自左至右第列上的數(shù)在第(+-1)組中,第五行第六列上的數(shù)在第10組中,第10組

16、第1號(hào)數(shù)是+1=46,第10組在第五行的數(shù)是46+5-1=50. (3)19×20=380,20×21=420,故200在第20組中,第20組第一個(gè)數(shù)是 +1=191,因此數(shù)200在第10行第11列的位置上. 14. (1)數(shù)100之前有數(shù)字9+2×90=189(個(gè)),所以數(shù)100的個(gè)位上的“0”在中是第189+3=192個(gè)數(shù). (2)中第9+2×40=89個(gè)數(shù)是中數(shù)49的“9”:4950515253545556…, 中第100個(gè)數(shù)是中數(shù)55的十位數(shù)上的“5”. (3)到的第100個(gè)數(shù)為止,數(shù)字“3”一共出現(xiàn)了1+1+1+11+1+1=16(次). (4)中前100個(gè)數(shù)字之和為 (1+2+…+9)×5+10×(1+2+3+4)+6×5+(0+1+2+3+4) =225+100+30+10 =365.