高三數(shù)學(xué)名校尖子生培優(yōu)大專題向量與復(fù)數(shù)試題新人教A版

上傳人:沈*** 文檔編號:102055064 上傳時間:2022-06-06 格式:DOC 頁數(shù):4 大?。?61.50KB
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1、第三講 平面向量與復(fù)數(shù) 一、 向量有關(guān)的概念及運算 例1、已知向量與的對應(yīng)關(guān)系用表示。 (1)證明:對于任意向量及常數(shù)m,n恒有成立; (2)設(shè),求向量及的坐標; (3)求使,(p,q為常數(shù))的向量的坐標 解析:(1)設(shè),則,故 , ∴ (2)由已知得=(1,1),=(0,-1) (3)設(shè)=(x,y),則, ∴y=p,x=2p-q,即=(2P-q,p)。 例2、已知非零向量與滿足= 0且,則△ABC為_____________三角形。 解:由= 0,知角A的平分線垂直于BC,故△ABC為等腰三角形,即|AB| = |AC|;由, ∴= 600 . 所以△ABC為

2、等邊三角形。 例3、(1)已知, , 與的夾角為1200,求使與的夾角為銳角的實數(shù)k的取值范圍. (2) 已知,,且與的夾角為鈍角,求實數(shù)m的取值范圍. 解:(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 , 依題意,得 – k2 + 5k –1>0,∴. 又當與同向時,仍有>0,此時設(shè),顯然、不共線,所以,k =, k ==, 取k ==1. A B C M O N E ∴且k≠1 . 例4、如圖,在△ABC中,點O是BC的 中點,過點O的直線分別交直線AB、AC于不同 的兩點M、N,若,,則 m +

3、n =______. 解1:取特殊位置. 設(shè)M與B重合,N與C 重合,則m=n=1, 所以m+n=2. 解2:=,∵M、O、N三點共線,∴,∴m + n = 2. 解3:過點B作BE∥AC, 則,. 又,∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 . 二、向量與三角結(jié)合 例5、已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a-kb|,其中k>0, (1)用k表示a·b; (2)求a·b的最小值,并求此時a·b的夾角的大小。 解 (1)要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a-kb|,故采用兩邊平方,得 |ka+b|

4、2=(|a-kb|)2 k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2-2ka·b) ∴8k·a·b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2 a·b = ∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a2=1, b2=1, ∴a·b == (2)∵k2+1≥2k,即≥= ∴a·b的最小值為, 又∵a·b =| a|·|b |·cos,|a|=|b|=1 ∴=1×1×cos。 ∴=60°,此時a與b的夾角為60°。 例6、已知向量,且滿足, (1) 求證 ; (2)將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù); (3)求函數(shù)的最小值及取得最小值時向量與向量的夾角.

5、 解:(1) , 故 (2) , 故. (3) ,此時當最小值為. ,量與向量的夾角 三、復(fù)數(shù) 例7、已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),,求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程. [解法一] ,∴. 若實系數(shù)一元二次方程有虛根,則必有共軛虛根. , 所求的一個一元二次方程可以是. [解法二] 設(shè) , 得 , 以下解法同[解法一]. 例8、設(shè)z∈C,求滿足z+∈R且|z-2|=2的復(fù)數(shù)z. 分析:設(shè)z=a+bi(a、b∈R),代入條件,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,易得a、b的兩個方程 解法一:設(shè)z=a+bi, 則z+=a+bi+=a+bi+ =a++(b-)i∈R ∴b=∴b=0或a2+b2=1 當b=0時,z=a, ∴|a-2|=2 ∴a=0或4 a=0不合題意舍去,∴z=4 當b≠0時,a2+b2=1 又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4 解得a=,b=,∴z=±i 綜上,z=4或z=±i 解法二:∵z+∈R, ∴z+ = + ∴(z-)-=0,(z-)·=0 ∴z=或|z|=1,下同解法一

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