《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點(diǎn)2 解三角形學(xué)案 文》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點(diǎn)2 解三角形學(xué)案 文(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
突破點(diǎn)2 解三角形
[核心知識(shí)提煉]
提煉1 常見(jiàn)解三角形的題型及解法
(1)已知兩角及一邊,利用正弦定理求解.
(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情況可能不唯一.
(3)已知兩邊及其夾角,利用余弦定理求解.
(4)已知三邊,利用余弦定理求解.
提煉2 三角形的常用面積公式
設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c ,其面積為S.
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高).
(2)S=absin C=bcsin A=casin B.
(3)S=r(a+b+c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑).
2、
[高考真題回訪(fǎng)]
回訪(fǎng)1 正、余弦定理的應(yīng)用
1.(2016·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=( )
A. B.
C.2 D.3
D [由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,
解得b=3或b=-(舍去),故選D.]
2.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=________.
75° [如圖,由正弦定理,得=,∴sin B=.
又c>b,∴B=45°,
∴A=180°-60°-45°=75°.]
3.
3、(2016·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=________.
[在△ABC中,∵cos A=,cos C=,
∴sin A=,sin C=,∴sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.
又∵=,∴b===.]
回訪(fǎng)2 三角形的面積問(wèn)題
4.(2013·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為( )
A.2+2 B.+1
C.2-2 D.-1
B [∵B=,C=,∴A=π-B-C=π--=.
4、
由正弦定理=,得=,
即=,∴c=2.
∴S△ABC=bcsin A=×2×2sin =+1.故選B.]
回訪(fǎng)3 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
5.(2014·全國(guó)卷Ⅰ)如圖2-1,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,則山高M(jìn)N=________m.
圖2-1
150 [根據(jù)圖示,AC=100 m.
在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得=?AM=100 m.
在△AMN中,=sin 6
5、0°,
∴MN=100×=150(m).]
熱點(diǎn)題型1 正、余弦定理的應(yīng)用
題型分析:利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn),也是必考點(diǎn),求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化.
【例1】 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且+=.
(1)證明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024038】
[解] (1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)===k(k>0).
則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,
代入+=中,有
+=, 2分
即sin Asin B=sin
6、Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 4分
在△ABC中,由A+B+C=π,
有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C. 6分
(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有
cos A==,8分
所以sin A==. 9分
由(1)知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+ sin B, 11分
故tan B==4. 12分
[方法指津]
關(guān)于解三角形問(wèn)題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),常見(jiàn)的三角變
7、換方法和原則都適用,同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”,這是使問(wèn)題獲得解決的突破口.
[變式訓(xùn)練1] (1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=________.
[法一:由2bcos B=acos C+ccos A及正弦定理,
得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A.
∴2sin Bcos B=sin(A+C).
又A+B+C=π,∴A+C=π-B.
∴2sin Bcos B=sin(π-B)=sin B.
又sin B≠0,∴cos B
8、=,∴B=.
法二:∵在△ABC中,acos C+ccos A=b,
∴條件等式變?yōu)?bcos B=b,∴cos B=.
又0<B<π,∴B=.]
(2)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acos B+bcos(B+C)=0.
①證明:△ABC為等腰三角形;
②若2(b2+c2-a2)=bc,求cos B+cos C的值.
[解]?、僮C明:∵acos B+bcos (B+C)=0,
∴由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos(π-A)=0,
即sin Acos B-sin Bcos A=0, 3分
∴sin(A-B)=0,∴A-B=kπ,k
9、∈Z. 4分
∵A,B是△ABC的兩內(nèi)角,
∴A-B=0,即A=B, 5分
∴△ABC是等腰三角形. 6分
②由2(b2+c2-a2)=bc,
得=, 7分
由余弦定理得cos A=, 8分
cos C=cos(π-2A)=-cos 2A=1-2cos2 A=. 10分
∵A=B,∴cos B=cos A=, 11分
∴cos B+cos C=+=. 12分
熱點(diǎn)題型2 三角形面積的求解問(wèn)題
題型分析:三角形面積的計(jì)算及與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一,本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形,難度中等.
【例2】 設(shè)f(x)
10、=sin xcos x-cos2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面積的最大值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024039】
[解] (1)由題意知
f(x)=-
=-=sin 2x-. 2分
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 4分
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). 6分
(2)由f=sin A-=0,得sin A=, 7分
由題意知A為銳角,所以co
11、s A=. 8分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c2≥2bc, 10分
即bc≤2+,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.
因此bcsin A≤,
所以△ABC面積的最大值為. 12分
[方法指津]
1.在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B)的形式,進(jìn)而利用函數(shù)y=sin x(或y=cos x,y=tan x)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題.
2.在三角形中,正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化,尤其在余弦定理a2=b2+c2-2bccos A中
12、,有a2+c2和ac兩項(xiàng),二者的關(guān)系a2+c2=(a+c)2-2ac經(jīng)常用到,有時(shí)還可利用基本不等式求最值.
[變式訓(xùn)練2] (2017·深圳二模)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,2b=asin B+bcos A,c=4.
(1)求A;
(2)若D是BC的中點(diǎn),AD=,求△ABC的面積.
[解] (1)由2b=asin B+bcos A及正弦定理,
又0<B<π,
可得2=sin A+cos A, 2分
即有sin=1, 4分
∵0<A<π,∴<A+<,
∴A+=,∴A=. 6分
(2)設(shè)BD=CD=x,則BC=2x,
由余弦定理得cos∠BAC==,
得4x2=b2-4b+16.?、? 7分
∵∠ADB=180°-∠ADC,
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0, 8分
由余弦定理得+=0,
得2x2=b2+2.?、? 9分
聯(lián)立①②,得b2+4b-12=0,解得b=2(舍負(fù)), 11分
∴S△ABC=bcsin∠BAC=×2×4×=2. 12分
7