2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)課教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第二單元 圓錐曲線與方程 學(xué)習(xí)目標　1.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會用定義求標準方程.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及其求法.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.4.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法． 知識點一　橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì) 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于定長(大于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的點的軌跡 平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F?

2、l)距離相等的點的軌跡 標準方程 ＋＝1或＋＝1(a>b>0) －＝1或－＝1(a>0，b>0) y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0) 關(guān)系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 圖形 封閉圖形 無限延展，但有漸近線y＝±x或y＝±x 無限延展，沒有漸近線 變量范圍 |x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b |x|≥a或|y|≥a x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 對稱性 對稱中心為原點 無對稱中心 兩條對稱軸 一條對稱軸 頂點 四個 兩個 一個 離心率 e＝，且01 e＝1

3、 決定形狀的因素 e決定扁平程度 e決定開口大小 2p決定開口大小 知識點二　橢圓的焦點三角形 設(shè)P為橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點(不在x軸上)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點且∠F1PF2＝α，則△PF1F2為焦點三角形(如圖)． (1)焦點三角形的面積S＝b2tan . (2)焦點三角形的周長L＝2a＋2c. 知識點三　雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧 1．由雙曲線標準方程求其漸近線方程時，最簡單實用的辦法是：把標準方程中的1換成0，即可得到兩條漸近線的方程．如雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為－＝0(a>0，b>0)，即y＝________；雙曲線－＝1(a>0，

4、b>0)的漸近線方程為－＝0(a>0，b>0)，即y＝________. 2．如果雙曲線的漸近線方程為±＝0，它的雙曲線方程可設(shè)為________________． 知識點四　求圓錐曲線方程的一般步驟 一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟． (1)定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置． (2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． (3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大?。? 知識點五　三法

5、求解離心率 1．定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上，都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法． 2．方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法． 3．幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀． 知識點六　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1．直線與雙曲線、直線與拋物線有一個公共點應(yīng)有兩種情

6、況：一是相切；二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對稱軸平行． 2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識，形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題．解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，根與系數(shù)的關(guān)系以及“點差法”等． 類型一　圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例1　已知橢圓＋y2＝1(m>1)和雙曲線－y2＝1(n>0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是它們的一個交點，則△F1PF2的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨m，n變化而變化 反思與感悟　涉及橢

7、圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決． 跟蹤訓(xùn)練1　拋物線y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點，F(xiàn)是它的焦點，若|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則(　　) A．x1，x2，x3成等差數(shù)列 B．y1，y2，y3成等差數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．y1，y3，y2成等差數(shù)列 類型二　圓錐曲線的方程及幾何性質(zhì) 命題角度1　求圓錐曲線的方程 例2　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心

8、率為2，△AOB的面積為，則p等于(　　) A．1 B. C．2 D．3 反思與感悟　一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟． (1)定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置． (2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)． (3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點A(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝

9、4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 命題角度2　求圓錐曲線的離心率 例3　如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是________． 反思與感悟　求圓錐曲線離心率的三種方法 (1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法． (2)方

10、程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法． (3)幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀． 跟蹤訓(xùn)練3　已知拋物線y2＝4x的準線與雙曲線－y2＝1交于A，B兩點，點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形，則該雙曲線的離心率是________． 類型三　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例4　已知橢圓＋＝1(a>b>0)上的點P到左，右兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為2，離心率為. (1)求橢圓的標準方程； (2)

11、過右焦點F2的直線l交橢圓于A，B兩點，若y軸上一點M(0，)滿足|MA|＝|MB|，求直線l的斜率k的值． 　 　 反思與感悟　解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法： (1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解． (2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A，B，且與n＝(，－1)共線． (1)求橢圓E的標準方程； 　 (2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)m

12、的取值范圍． 　 1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，則方程表示(　　) A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線 C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是(　　) A．2 B. C. D. 3．設(shè)橢圓＋＝1 (m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4．有一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個頂點在原點，則該三角形的邊長是(　　)

13、A．2p B．4p C．6p D．8p 5．過拋物線y2＝4x的焦點，作傾斜角為的直線交拋物線于P、Q兩點，O為坐標原點，則△POQ的面積等于________． 在解決圓錐曲線問題時，待定系數(shù)法，“設(shè)而不求”思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是最常用的幾種思想方法，設(shè)而不求，在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題中匠心獨具，很好的解決了計算的繁雜、瑣碎問題． 答案精析 知識梳理 知識點三 1．±x　±x 2.－＝λ(λ≠0) 題型探究 例1　B　[設(shè)P為雙曲線右支上的一點． 對于橢圓＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1， |PF1|＋|PF2|＝2， 對于雙曲線－y2＝1，c

14、2＝n＋1， |PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－， |F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)， 而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2 ＝|F1F2|2， ∴△F1PF2是直角三角形，故選B.] 跟蹤訓(xùn)練1　A　[如圖，過A、B、C分別作準線的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，由拋物線定義可知 |AF|＝|AA′|， |BF|＝|BB′|， |CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|， ∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋， |CC′|＝x3＋， ∴2(x

15、2＋)＝x1＋＋x3＋ ?2x2＝x1＋x3， 故選A.] 例2　C　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，y2＝2px的準線方程為x＝－. ∵雙曲線的離心率為2， ∴e＝ ＝2， 即＝±， ∴漸近線方程為y＝±x， 由得y＝－p， ∴|AB|＝p， S△OAB＝××p＝， 解得p＝2.] 跟蹤訓(xùn)練2　C　[由拋物線C的方程為 y2＝2px(p＞0)， 知焦點F(，0)． 設(shè)M(x，y)，由拋物線性質(zhì)|MF|＝x＋＝5， 可得x＝5－. 因為圓心是MF的中點，所以根據(jù)中點坐標公式，可得圓心橫坐標為＝. 由已知，得圓半徑也為，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(0

16、,2)，故圓心縱坐標為2，則M點縱坐標為4， 則M(5－，4)，代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8. 所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.] 例3　 解析　由橢圓可知|AF1|＋|AF2|＝4， |F1F2|＝2. 因為四邊形AF1BF2為矩形， 所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12， 所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4， 所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8， 所以|AF2|－|AF1|＝2

17、， 因此對于雙曲線有a＝，c＝， 所以C2的離心率e＝＝. 跟蹤訓(xùn)練3　 解析　拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，又△FAB為直角三角形，則只有∠AFB＝90°，如圖，則A(－1,2)應(yīng)在雙曲線上，代入雙曲線方程可得a2＝， 于是c＝ ＝. 故e＝＝. 例4　解　(1)由題意知， |PF1|＋|PF2|＝2a＝2， 所以a＝. 又因為e＝＝， 所以c＝×＝1， 所以b2＝a2－c2＝2－1＝1， 所以橢圓的標準方程為＋y2＝1. (2)已知F2(1,0)，直線斜率顯然存在， 設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立

18、直線與橢圓的方程得 化簡得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝. 所以AB的中點坐標為(，)． ①當(dāng)k≠0時，AB的中垂線方程為 y－＝－(x－)， 因為|MA|＝|MB|， 所以點M在AB的中垂線上， 將點M的坐標代入直線方程得， ＋＝， 即2k2－7k＋＝0， 解得k＝或k＝； ②當(dāng)k＝0時，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意． 所以斜率k的取值為0，或. 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)因為2c＝2， 所以c＝1. 又＝(－a，b)，且∥n， 所以b＝a，所以2b2＝b2＋1， 所以b2＝1，

19、a2＝2. 所以橢圓E的標準方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直線方程y＝kx＋m代入橢圓方程＋y2＝1， 消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. Δ＝16k2－8m2＋8>0， 即m2<2k2＋1.(*) 因為原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部， 所以·<0， 即x1x2＋y1y2<0. 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝. 由＋<0， 得m2