《2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專(zhuān)題4.1 簡(jiǎn)單的二次方程組的解法精講深剖學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專(zhuān)題4.1 簡(jiǎn)單的二次方程組的解法精講深剖學(xué)案(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第1講 簡(jiǎn)單的二次方程組的解法
本專(zhuān)題在初中學(xué)習(xí)方程、不等和函數(shù)的基礎(chǔ)上,根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要,共同學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的二次方程組及一元二次不等式的解法。
探究一 簡(jiǎn)單的二次方程組的解法
在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法,掌握了用消元法解二元一次方程組.高中學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)時(shí),需要用到二元二次方程組的解法.因此,本講講介紹簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法.
【知識(shí)梳理】
1.含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程,叫做二元二次方程.
2.由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組,或由兩個(gè)二元二次方程組組成的方程組,
2、叫做二元二次方程組。
3.解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”,這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和 “降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元,將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次,這是轉(zhuǎn)化的基本方法。因此,掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。
探究1: 由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組
一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解.其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想:將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解.
【典例解析】解方程組
【分析】由于方程(1)是二元一次方程,故可由方程(1),得,代入方程(2)消去.
【解析】 由(1)
3、變形得: (3)
將(3)代入(2)得:,解得:
把代入(3)得:;把代入(3)得:.
∴原方程組的解是:.
【解題反思】 (1) 解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟:
①由二元一次方程變形為用表示的方程,或用表示的方程(3);
②把方程(3)代入二元二次方程,得一個(gè)一元二次方程;
③解消元后得到的一元二次方程;
④把一元二次方程的根,代入變形后的二元一次方程(3),求相應(yīng)的未知數(shù)的值;
⑤寫(xiě)出答案.
(2) 消,還是消,應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來(lái)決定.若系數(shù)均為整數(shù),那么最好消去系數(shù)絕對(duì)值較小的,如方程,可以消去,變形得,再代入消元.
(3) 消
4、元后,求出一元二次方程的根,應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值,不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值,因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根,這一點(diǎn)切記.
【變式訓(xùn)練】解方程組
【分析】本題可以用代入消元法解方程組,但注意到方程組的特點(diǎn),可以把、看成是方程
的兩根,則更容易求解.
【點(diǎn)評(píng)】(1) 對(duì)于這種對(duì)稱(chēng)性的方程組,利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí),未知數(shù)要換成異于、的字母,如.
(2) 對(duì)稱(chēng)形方程組的解也應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的,即有解,則必有解.
探究2:由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組
(1)可因式分解型的方程組
方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程,則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)
5、方程組,其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成.
【典例解析】解方程組
【分析】注意到方程,可分解成,即得或,則可得到兩個(gè)二元二次方程組,且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程.
【解題反思】由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中,有一個(gè)方程可以通過(guò)因式分解,化為兩個(gè)二元一次方程,則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組,其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程.
【變式訓(xùn)練】解方程組
【分析】本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng),我們可以消去常數(shù)項(xiàng),可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程.對(duì)其因式分解,就可以轉(zhuǎn)化為上例.
【解析】(1) –(2)得:
即
∴
∴ 原方
6、程組可化為兩個(gè)二元一次方程組:.
用代入法解這兩個(gè)方程組,得原方程組的解是:.
【點(diǎn)評(píng)】若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng),則消去常數(shù)項(xiàng),得到一個(gè)二元二次方程.此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立,得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組.
(2)可消二次項(xiàng)型的方程組
【典例解析】解方程組
【分析】注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng),所以可用加減法消之,得到一個(gè)二元一次方程,即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.
【解題反思】若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例,則可用加減法消去二次項(xiàng),得到一個(gè)二元一次方程,把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立,解此方程組,即得原方程組的解.二元二次
7、方程組類(lèi)型多樣,消元與降次是兩種基本方法,具體問(wèn)題具體解決。
【變式訓(xùn)練】1.解二元二次方程組.
【分析】,②﹣①×2可得:y=2﹣3x,
代入①化為:11x2﹣46x+8=0,解得x,進(jìn)而解得y.
【解答】,
②﹣①×2可得:y=2﹣3x,
代入①化為:11x2﹣46x+8=0,
解得x=,x=4.
∴,或.
∴原方程組的解為:,或.
【點(diǎn)評(píng)】觀察方程組通過(guò)加減消元法,消去二次項(xiàng),得到二元一次方程,代入可解,先降次再消元。
2.解二元二次方程組.
【分析】,①﹣②×2可得:x2﹣x=0,解得x,進(jìn)而解得y.
【解答】解:,
①﹣②×2可得:x2﹣x=0,解得x=0或1.
∴,,,.
∴原方程組的解為:,,,.
【點(diǎn)評(píng)】觀察方程組通過(guò)加減消元法,消去二次項(xiàng),進(jìn)而求解??疾榱送评砟芰εc計(jì)算能力。
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