2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 章末復習教學案 新人教A版必修第一冊

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1、第4章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 知識系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏 1．指數(shù)式、對數(shù)式的運算、求值、化簡、證明等問題主要依據指數(shù)式、對數(shù)的運算性質，在進行指數(shù)、對數(shù)的運算時還要注意相互間的轉化． 2．指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質及圖象特點是這部分知識的重點，而底數(shù)a的不同取值對函數(shù)的圖象及性質的影響則是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)兩個區(qū)間取值時，函數(shù)的單調性及圖象特點． 3．比較幾個數(shù)的大小是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質的應用，在具體比較時，可以首先將它們與零比較，分出正數(shù)、負數(shù)；再將正數(shù)與1比較，分出大于1還是小于1；然后在各類中兩兩相比較． 4．求含有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的

2、復合函數(shù)的最值或單調區(qū)間時，首先要考慮指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域，再由復合函數(shù)的單調性來確定其單調區(qū)間，要注意單調區(qū)間是函數(shù)定義域的子集．其次要結合函數(shù)的圖象，觀察確定其最值或單調區(qū)間． 5．函數(shù)圖象是高考考查的重點內容，在歷年高考中都有涉及．考查形式有知式選圖、知圖選式、圖象變換以及用圖象解題．函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質．在解方程或不等式時，特別是非常規(guī)的方程或不等式，畫出圖象，利用數(shù)形結合能快速解決問題． 6．方程的解與函數(shù)的零點：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點． 7．零點判斷法：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是

3、一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)內至少有一個變號零點c，除此之外，還可能有其他的變號零點或不變號零點．若f(a)f(b)>0，則f(x)在(a，b)內可能有零點，也可能無零點． 8．二分法只能求出其中某一個零點的近似值，另外應注意初始區(qū)間的選擇． 9．用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的基本過程如下： 學科思想培優(yōu) 一、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的典型問題及求解策略 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質主要是指函數(shù)

4、的定義域、值域、單調性等，其中單調性是高考考查的重點，并且經常以復合函數(shù)的形式考查，求解此類問題時，要以已學函數(shù)的單調性為主，結合復合函數(shù)單調性的判斷法則，在函數(shù)定義域內進行討論． 1．求定義域 [典例1]　(1)函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] (2)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 解析　(1)由題意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指數(shù)函數(shù)y＝x為R上的單調減函數(shù)，所以2x－

5、1≤－3，解得x≤－1. (2)要使函數(shù)式有意義，需 即得x∈(－1,0)∪(0,2]． 答案　(1)C　(2)B 2．比較大小問題 比較幾個數(shù)的大小是指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的又一重要應用，其基本方法是：將兩個需要比較大小的實數(shù)看成某類函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該類函數(shù)的單調性進行比較；有時也采用搭橋法、圖象法、特殊值法、作圖法等方法． [典例2]　若0

6、gax的影響：當0logy3，錯誤． 對于C，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調遞增，故log4xy，錯誤． 答案　C [典例3]　比較三個數(shù)0.32，log20.3,20.3的大?。? 解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.320＝1，∴l(xiāng)og20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函數(shù)y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致圖象，如圖所示，畫出直線x＝0.3，根據直線與三個函數(shù)圖象的交點

7、位置，即可看出log20.3<0.32<20.3. 3．與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)相關的單調性問題 [典例4]　是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上單調遞增？如果存在，求出a的取值范圍；如果不存在，請說明理由． 解　設g(x)＝ax2－x，假設符合條件的a存在． 當a>1時，為使函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上單調遞增，只需g(x)＝ax2－x在區(qū)間[2,4]上單調遞增，故應滿足解得a>，∴a>1. 當0

8、應滿足此不等式組無解． 綜上可知，存在實數(shù)a，使f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上單調遞增，a的取值范圍是a>1. 二、函數(shù)的圖象問題 對于給定的函數(shù)圖象，要能從函數(shù)左右、上下的分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質．注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系，能夠通過變換畫出函數(shù)的圖象． 1．圖象的變換 [典例5]　為了得到函數(shù)y＝lg 的圖象，只需把函數(shù)y＝lg x的圖象上所有的點(　　) A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C．向左平移3個單位長度，再向下平

9、移1個單位長度 D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 解析　∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需將y＝lg x 的圖象上所有的點向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，即可得到函數(shù)y＝lg 的圖象． 答案　C 2．根據函數(shù)解析式確定圖象 [典例6]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐標系內的大致圖象是(　　) 解析　由f(4)g(4)<0知a2·loga4<0，∴l(xiāng)oga4<0，∴0

10、 三、等價轉化思想的體現(xiàn) 一般來說，小題對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的考查，僅限于這兩類函數(shù)本身的概念、圖象與性質．而解答題往往注重考查與這兩類函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質．這類題目的解題思想是：通過換元轉化成其他函數(shù)，或是將其他函數(shù)通過轉化與化歸，變成這兩類函數(shù)來處理． [典例7]　已知函數(shù)f(x)＝x，當x∈[－1,1]時，求函數(shù)y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)． 解　∵x∈[－1,1]，∴x∈. ∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝2x－2ax＋3 ＝2＋3－a2. 令t＝x，則t∈. 若a<，則當t＝，即x＝1時， ymin＝－＋3＝－. 若≤a≤3，則

11、當t＝a，即x＝loga時，ymin＝3－a2. 若a>3，則當t＝3，即x＝－1時， ymin＝9－6a＋3＝12－6A． 綜上可知：g(a)＝ 四、函數(shù)零點與方程的解 根據函數(shù)零點的定義，函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的解，判斷一個方程是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)＝0是否有解，有幾個解．從圖形上說，函數(shù)的零點就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標三者之間有著內在的本質聯(lián)系，利用它們之間的關系，可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問題．在高考中有許多問題涉及三者的相互轉化，應引起我們的重視． [典例8

12、]　關于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分別為α，β，則α＋β等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　將方程變形為lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐標系中分別作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的圖象，如圖所示．這樣方程lg x＝3－x的解可以看成函數(shù)y1＝lg x和y3＝3－x的圖象的交點A的橫坐標，方程10x＝3－x的解可以看成函數(shù)y2＝10x和y3＝3－x的圖象交點B的橫坐標．因為函數(shù)y1＝lg x和y2＝10x互為反函數(shù)，所以y1＝lg x和y2＝10x的圖象關于直線y＝x對稱

13、，由題意可得出A，B兩點也關于直線y＝x對稱，于是A，B兩點的坐標分別為A(α，β)，B(β，α)．而A，B兩點都在直線y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3. 答案　D [典例9]　已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是________． 答案　x1＜x2＜x3 解析　令x＋2x＝0，得2x＝－x； 令x＋ln x＝0，得ln x＝－x； 在同一平面直角坐標系內畫出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的圖象，如圖可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，則()2－－1＝0，所

14、以＝，即x3＝2＞1.所以x1＜x2＜x3. 五、函數(shù)模型的應用 針對一個實際問題，我們應該選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫．這當然需要我們深刻理解已學函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握已學函數(shù)的特點，并對一些重要的函數(shù)模型要有清晰的認識．對于一個具體的應用題，原題中的數(shù)量間的關系，一般是以文字和符號的形式給出，也有的是以圖象的形式給出，此時我們要分析數(shù)量變化的特點和規(guī)律，選擇較為接近的函數(shù)模型進行模擬，從而解決一些實際問題或預測一些結果． [典例10]　為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度x與當年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如表所示． (1)

15、描點畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象； (2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象； (3)根據所建立的函數(shù)模型，估計若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？ 解　(1)描點、作圖，如圖甲所示： (2)從圖甲中可以看到，數(shù)據點大致落在一條直線附近，由此，我們假設灌溉面積y與最大積雪深度x滿足一次函數(shù)模型y＝a＋bx(a，b為常數(shù)且b≠0)．取其中的兩組數(shù)據(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用計算器可得a≈2.2，b≈1.8.這樣，得到一個函數(shù)模型： y＝2.2＋1.8x，作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與

16、已知數(shù)據的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關系． (3)由(2)得到的函數(shù)模型為y＝2.2＋1.8x，則由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即當最大積雪深度為25 cm 時，可以灌溉土地約為47.2公頃． [典例11]　載人飛船是通過火箭發(fā)射的．已知某型號火箭的起飛重量M t是箭體(包括搭載的飛行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考慮空氣阻力的條件下，假設火箭的最大速度y km/s關于x的函數(shù)關系為y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2(其中k≠0，ln x是以e為底x的對數(shù))．當燃料重量為(－1)m t時，該火箭的最大速度為4 k

17、m/s. (1)求此型號火箭的最大速度y km/s與燃料重量x t之間的函數(shù)解析式； (2)若此型號火箭的起飛重量是479.8 t，則應裝載多少噸燃料(精確到0.1 t，取e＝2.718)才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s，順利地把飛船發(fā)送到預定的橢圓軌道？ 解　(1)由題意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8， 所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln . (2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，則m＝479.8－x. 將y＝8代入(1)中所得式中，得 8＝8ln . 解得x≈303.3. 答：應裝載約303.3 t燃料，才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s，順利地把飛船送到預定的橢圓軌道． - 10 -