2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 6 回顧6 解析幾何學(xué)案

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1、回顧6　解析幾何 [必記知識] 直線方程的五種形式 (1)點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． (3)兩點(diǎn)式：＝(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)． (4)截距式：＋＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)． 直線的

2、兩種位置關(guān)系 當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí)： (1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2. (2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1. [提醒])　當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略. 三種距離公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離 |AB|＝. (2)點(diǎn)到直線的距離d＝(其中點(diǎn)P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0)． (3)兩平行線間的距離d＝(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l1：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)． 圓的方程的兩種形式 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(

3、x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法． (2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法． 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 圖形 幾 何 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 對稱性 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點(diǎn) 焦點(diǎn) F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1

4、(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0)； B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(－b，0)，B2(b，0) 軸 線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 焦距與長軸長的比值：e∈(0，1) a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2－b2 [提醒])　橢圓的離心率反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度，e的大小決定了橢圓的形狀，反映了橢圓的圓扁程度.因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以＝，因此，當(dāng)e越趨近于1時(shí)，越趨近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越趨近于0時(shí)，越趨近于1，橢圓

5、越接近于圓.所以e越大橢圓越扁；e越小橢圓越圓，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，c＝0時(shí)，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝a2（a＞0）. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形 幾 何 性 質(zhì) 范圍 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點(diǎn) 焦點(diǎn) F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 軸 線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長為2a

6、，虛軸長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 焦距與實(shí)軸長的比值：e∈(1，＋∞) 漸近線 y＝±x y＝±x a，b，c 的關(guān)系 a2＝c2－b2 [提醒])?。?）離心率e的取值范圍為（1，＋∞）.當(dāng)e越接近于1時(shí)，雙曲線開口越?。划?dāng)e越接近于＋∞時(shí)，雙曲線開口越大. （2）滿足||PF1|－|PF2||＝2a的點(diǎn)P的軌跡不一定是雙曲線，當(dāng)2a＝0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當(dāng)0＜2a＜|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

7、 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 圖形 幾何性質(zhì) 對稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) O(0，0) 焦點(diǎn)準(zhǔn)線 F F F F 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 離心率 e＝1 [必會結(jié)論] 與圓的切線有關(guān)的結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2； (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(

8、x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； (3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過A，B兩點(diǎn)的直線方程為x0x＋y0y＝r2； (4)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓的切線，切點(diǎn)為T，則|PT|＝； (5)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； (6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，則過圓外一點(diǎn)P(x0，y0

9、)的切線長d＝. 橢圓中焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論 由橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正、余弦定理． 以橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則 (1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半徑公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e為橢圓的離心率) (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3) S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|

10、＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取得最大值，為bc. (4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)． 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1)若雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則漸近線的方程為－＝0，即y＝±x. (2)若漸近線的方程為y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為－＝λ. (3)若所求雙曲線與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有公共漸近線，其方程可設(shè)為－＝λ(λ＞0，焦點(diǎn)在x軸上；λ＜0，焦點(diǎn)在y軸上)． 雙曲線常用的結(jié)論 (1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b. (2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|m

11、in＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a. (4)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則kPA·kPB＝，S△PF1F2＝，其中θ為∠F1PF2. (5)P是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)恒為a. 拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜

12、角，則 (1)焦半徑|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)x1x2＝，y1y2＝－p2. (3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)＋＝. (5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． (6)S△OAB＝(O為拋物線的頂點(diǎn))． [必練習(xí)題] 1．過圓x2＋y2－x－y＋＝0的圓心，且傾斜角為的直線方程為(　　) A．x－2y＝0　　　　　　　 B．x－2y＋3＝0 C．x－y＝0 D．x－y＋1＝0 解析：選C.由題意知圓的圓心坐標(biāo)為，所以過圓的圓心，且傾斜角為的直線方程為y＝x，即x－y＝0. 2．圓心為(4，0)且與直線x－y＝0相切的圓的方程為(　　) A

13、．(x－4)2＋y2＝1 B．(x－4)2＋y2＝12 C．(x－4)2＋y2＝6 D．(x＋4)2＋y2＝9 解析：選B.由題意，知圓的半徑為圓心到直線x－y＝0的距離，即r＝＝2，結(jié)合圓心坐標(biāo)可知，圓的方程為(x－4)2＋y2＝12，故選B. 3．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±4x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選C.由題意得e＝＝，又a2＋b2＝c2，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，選C. 4．設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在橢圓上，且∠CBA＝，若|AB|＝4，|BC|＝，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為

14、(　　) A. B. C. D. 解析：選A.不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，如圖，由題意知，2a＝4，a＝2，因?yàn)椤螩BA＝，|BC|＝，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，1)，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以＋＝1，所以b2＝，所以c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為. 5．已知⊙M經(jīng)過雙曲線S：－＝1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心M在雙曲線S上，則圓心M到原點(diǎn)O的距離為(　　) A.或 B.或 C. D. 解析：選D.因?yàn)椤袽經(jīng)過雙曲線S：－＝1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心M在雙曲線S上，所以⊙M不可能過異側(cè)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，不妨設(shè)⊙M經(jīng)過雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則圓

15、心M到雙曲線的右焦點(diǎn)(5，0)與右頂點(diǎn)(3，0)的距離相等，所以xM＝4，代入雙曲線方程可得yM＝± ＝±，所以|OM|＝＝，故選D. 6．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.易知直線AB的方程為y＝，與y2＝3x聯(lián)立并消去x得4y2－12y－9＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝3，y1y2＝－，S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.故選D. 7．已知雙曲線－＝1(a＞0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線

16、相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為4，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選D.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，A(x，y)，則解得因?yàn)樗倪呅蜛BCD 的面積為4，所以4xy＝＝4，解得a＝2，故雙曲線的方程為－＝1，選D. 8．已知圓C1：(x－1)2＋y2＝2與圓C2：x2＋(y－b)2＝2(b＞0)相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則b＝________． 解析：由題意知C1(1，0)，C2(0，b)，半徑r1＝r2＝，所以線段AB和線段C1C2相互垂直平分，則|C1C2|＝2，即1＋b2＝4，又b＞0，故b＝. 答

17、案： 9．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，以原點(diǎn)O為圓心，短半軸長為半徑作圓O，過橢圓的長軸的一端點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，若四邊形PAOB為正方形，則橢圓的離心率為________． 解析：如圖，因?yàn)樗倪呅蜳AOB為正方形，且PA，PB為圓O的切線，所以△OAP是等腰直角三角形，故a＝b，所以e＝＝. 答案： 10．已知拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝________． 解析：由題意知，經(jīng)過第一象限的雙曲線的漸近線方程為y＝x.拋物線的焦點(diǎn)為F1，雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(2，0)．又y′＝x，故拋物線C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為，即x0＝，所以x0＝p，又點(diǎn)F1，F(xiàn)2(2，0)，M三點(diǎn)共線，所以＝，即p＝. 答案： 8