《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.2 函數(shù)的單調性 第2課時 函數(shù)的平均變化率學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.2 函數(shù)的單調性 第2課時 函數(shù)的平均變化率學案 新人教B版必修第一冊(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2課時 函數(shù)的平均變化率
(教師獨具內(nèi)容)
課程標準:1.了解函數(shù)平均變化率的幾何意義.2.理解函數(shù)遞增和遞減的充要條件,并能夠運用函數(shù)遞增和遞減的充要條件判斷函數(shù)的單調性.
教學重點:函數(shù)遞增和遞減的充要條件.
教學難點:運用函數(shù)遞增和遞減的充要條件證明函數(shù)的增減性.
【情境導學】(教師獨具內(nèi)容)
上節(jié)課我們學習了從函數(shù)單調性的定義來證明函數(shù)單調性的方法,那么證明函數(shù)的單調性還有沒有其他方法呢?這節(jié)課我們就來研究證明函數(shù)單調性的另一種方法——函數(shù)的平均變化率.
【知識導學】
知識點一 函數(shù)平均變化率的定義
一般地,對于函數(shù)y=f(x),當x1≠x2時,稱=,為函數(shù)y=
2、f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1x2時)上的平均變化率.
知識點二 函數(shù)遞增和遞減的充要條件
一般地,若I是函數(shù)y=f(x)的定義域的子集,對任意x1,x2∈I且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),=,則:
(1)y=f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是>0在I上恒成立;
(2)y=f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是<0在I上恒成立.
1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于給定平面直角坐標系中的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),若記Δx=x2-x1,Δy=y(tǒng)2-y1,則表示直線AB的斜率.( )
3、(2)若函數(shù)y=f(x)在(a,b)上是增函數(shù),則在(a,b)上一定有>0.( )
(3)在增函數(shù)和減函數(shù)的充要條件中,可以把“任意x1,x2”改為“存在x1,x2”.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)
(1)函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都________0,函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點連線的斜率都________0.
(2)函數(shù):①f(x)=x2,②f(x)=,③f(x)=|x|,④f(x)=2x+1中,滿足對任意x1,x2∈(0,+∞),都有<0的是________.
(3)函數(shù)f(x)=-x2-2x
4、的最大值是________.
答案 (1)> < (2)② (3)1
題型一 函數(shù)單調性的證明及應用
例1 證明:函數(shù)f(x)=(x>0)在(0,1]上是增函數(shù),在[1,+∞)上是減函數(shù),并求這個函數(shù)的最值.
[證明] 設x1≠x2,則
==
=.
當x1,x2∈(0,1]時,有1-x1x2>0,從而>0,
因此f(x)在(0,1]上是增函數(shù).
當x1,x2∈[1,+∞)時有1-x1x2<0,從而<0,
因此f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù).
由函數(shù)的單調性可知,函數(shù)沒有最小值;
而且,當x∈(0,1]時,有f(x)≤f(1),
當x∈[1,+∞)時,不等式
5、f(x)≤f(1)也成立.
因此f(1)=是函數(shù)的最大值.
金版點睛
函數(shù)的最值與單調性的關系
(1)運用函數(shù)的單調性求最值是求解函數(shù)最值問題的重要方法,特別是當函數(shù)圖像不好作或作不出來時,單調性幾乎成為首選方法.
(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是增函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是減函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最大值f(b).
(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是減函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最小值f(b).
(4)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間[a,b]
6、的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值.
(5)若函數(shù)y=f(x)有多個單調區(qū)間,那就先求出各區(qū)間上的最值,再從各區(qū)間的最值中決出最大(小).函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)最大(小)的.
(6)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間,則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調性,還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢.
判斷函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,6]上的單調性,并求函數(shù)在該區(qū)間上的最值.
解 設x1≠x2,則
==
=.
當x1,x2∈[2,6]時,有x2-1>0,x1-1>0,
從而<0,因此f(x)在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù).
由函數(shù)的單調性可知,函數(shù)f(x)=在區(qū)間[
7、2,6]上的兩個端點處分別取得最大值和最小值,即當x=2時取得最大值,最大值是2,當x=6時取得最小值,最小值是.
題型二 函數(shù)平均變化率的應用
例2 向高為H的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)關系的圖像如圖所示,那么水瓶的形狀可以是( )
[解析] 由函數(shù)圖像可知,固定的Δh內(nèi),隨著h的增大,ΔV逐漸減少,由此可以判斷水瓶的下半部分體積大,上半部分體積?。蔬xB.
[答案] B
金版點睛
解決這類問題的關鍵是要弄清隨著自變量的改變,函數(shù)平均變化率的變化情況,然后由函數(shù)平均變化率的變化情況確定容器的形狀.
一高為H、滿缸水量為V的魚缸截面如圖
8、所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出.若魚缸水深為h時的水的體積為v,則函數(shù)v=f(h)的大致圖像可能是圖中的( )
答案 B
解析 由魚缸的形狀可知,水的體積隨著h的減小,先減少得越來越快,后減少得越來越慢.故選B.
1.在函數(shù)平均變化率的定義中,Δx應滿足( )
A.Δx>0 B.Δx<0
C.Δx≠0 D.Δx=0
答案 C
解析 由函數(shù)平均變化率的定義,知Δx≠0.故選C.
2.函數(shù)f(x)=1-x2在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為( )
A.-3 B.-4
C.2 D.-2
答案 D
解析 函數(shù)f(x)
9、=1-x2在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為==-2.
3.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù),其圖像可能是( )
答案 A
解析 汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛直至停車,在行進過程中s隨時間t的增大而增大,故排除C,D.因為汽車在加速行駛的過程中行駛路程s隨時間t的變化越來越快,在減速行駛直至停車的過程中行駛路程s隨時間t的變化越來越慢,排除B.故選A.
4.函數(shù)f(x)=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是________,最小值是________.
答案 10?。?
解析 因為函數(shù)f(x)=3x2-6x+1=3(x-1)2-2,當x∈[0,3]時,f(x)在[0,1]上是減函數(shù),在[1,3]上是增函數(shù).故函數(shù)f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)=10,最小值是f(1)=-2.
5.證明:函數(shù)f(x)=2x2+4x在(-∞,-1]上是減函數(shù).
證明 設x1≠x2,則=
==2(x1+x2)+4.
當x1,x2∈(-∞,-1]時,
有x1+x2<-2,2(x1+x2)<-4,
從而<0,因此f(x)在(-∞,-1]上是減函數(shù).
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