2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點帶面 5 回顧5 立體幾何學(xué)案

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1、回顧5　立體幾何 [必記知識] 空間幾何體的表面積和體積 幾何體 側(cè)面積 表面積 體積 圓柱 S側(cè)＝2πrl S表＝2πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h 圓錐 S側(cè)＝πrl S表＝πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h 圓臺 S側(cè)＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l) V＝(S上＋S下＋)h＝π(r2＋r′2＋rr′)h 直棱柱 S側(cè)＝Ch(C為底面周長) S表＝S側(cè)＋S上＋S下(棱錐的S上＝0) V＝S底h 正棱錐 S側(cè)＝Ch′(C為底面周長，h′為斜高) V＝S底h 正棱臺 S側(cè)＝(C＋C′)h′(C，C′分

2、別為上、下底面周長，h′為斜高) V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 空間線面位置關(guān)系的證明方法 (1)線線平行：?a∥b，?a∥b， ?a∥b，?c∥b. (2)線面平行：?a∥α，?a∥α，?a∥α.　 (3)面面平行：?α∥β，?α∥β， ?α∥γ. (4)線線垂直：?a⊥b. (5)線面垂直：?l⊥α，?a⊥β，?a⊥β，?b⊥α. (6)面面垂直：?α⊥β，?α⊥β. [提醒])　要注意空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理中的條件.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的

3、限制條件. 用空間向量證明平行垂直 設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．則有： (1)線面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥υ?μ＝λυ?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥υ?μ·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 用向量求空間角 (1)直線l1，l2的夾角θ有cos θ＝|cos〈l1，

4、l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)． (2)直線l與平面α的夾角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夾角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，則α-l-β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)． [提醒])　在處理實際問題時，要注意異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍，要根據(jù)具體圖形確定二面角的平面角是銳角還是鈍角. [必會結(jié)論] 三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面

5、，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣． 平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖 球的組合體 (1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長． (2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長． (3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為a(正四面體高a的)，外接球的半徑為a(正四面體高a的)． [必練習(xí)題] 1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有下列四個命題： ①若m?β，α⊥β，則m⊥α； ②若α∥β，m?α，則m∥

6、β； ③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β； ④若m∥α，m∥β，則α∥β. 其中正確命題的序號是(　　) A．①③　　　　　　　　B．①② C．③④ D．②③ 解析：選D.對于①，注意到直線m可能與平面α，β的交線平行，此時結(jié)論不成立，因此①不正確；對于②，直線m與平面β必沒有公共點，因此m∥β，②正確；對于③，由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，因此m⊥β，③正確；對于④，平面α，β可能是相交平面，因此④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是②③，選D. 2．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：選A.由幾何體的

7、三視圖知，幾何體是底面為直角梯形，高為的四棱錐，如圖所示，則V＝××(1＋2)×2×＝，故選A. 3．已知一個圓錐底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(　　) A．π B. C．2π D．3π 解析：選C.依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此＝，解得r＝，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×＝2π，故選C. 4．中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一個標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為(　　) A．1.2 B．1.

8、6 C．1.8 D．2.4 解析：選B.該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為，高為x的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4－x，3，1的長方體，所以組合體的體積V＝V圓柱＋V長方體＝π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故選B. 5．已知S，A，B、C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球O的表面積為4π，則SA＝(　　) A. B．1 C. D. 解析：選B.根據(jù)已知把S-ABC補成如圖所示的長方體．因為球O的表面積為4π，所以球O的半徑R＝1，2R＝＝2，解得SA＝1，故選B. 6．棱長都為2

9、的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.過點A1作直線A1M⊥D1C1，交C1D1的延長線于點M，連接CM，可得A1M⊥平面DD1C1C，則∠A1CM就是直線A1C與面DD1C1C所成的角．由所有棱長均為2及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin 60°＝，又A1C＝＝＝4， 所以sin∠A1CM＝＝，故選C. 7．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，(　　) A．存在某個位置，使得直線AC與直

10、線BD垂直 B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D．對任意位置，三對直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直 解析：選B.若存在某個位置，使得AC⊥BD，作AE⊥BD于E，則BD⊥平面AEC，所以BD⊥EC，在△ABD中，AB2＝BE·BD，BE＝，而在△BCD中，BC2＝BE·BD，BE＝，兩者矛盾．故A錯誤． 若存在某個位置，使得AB⊥CD，又因為AB⊥AD，則AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，故AC＝1，故B正確，D錯誤． 若存在某個位置．使得AD⊥BC，又因為AD⊥AB，則AD⊥平面ABC，所以AD⊥

11、AC，而斜邊CD小于直角邊AD，矛盾，故C錯誤． 8.如圖，在四棱錐P-ACBD中，底面ACBD為正方形，PD⊥平面ACBD，BC＝AC＝a，PA＝PB＝a，PC＝a，則點C到平面PAB的距離為________． 解析：根據(jù)條件可以將四棱錐置于一個正方體中進行研究，如圖所示，易知AB＝a，設(shè)點C到平面PAB的距離為h，因為VP-ABC＝VC-PAB，即×S△ABC·PD＝S△PAB·h，所以×a2×a＝××(a)2×h，解得h＝a，所以點C到平面PAB的距離為a. 答案：a 9．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動，則·的取值范圍是________．

12、 解析：以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz. 則D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)． 所以＝(0，1，0)，＝(－1，－1，1)． 因為點P在線段BD1上運動， 所以設(shè)＝λ＝(－λ，－λ，λ)，且0≤λ≤1. 所以＝＋＝＋＝(－λ，1－λ，λ)， 所以·＝1－λ∈[0，1]． 答案：[0，1] 10.如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H分別為DE，AF的中點，將△ABC沿DE，EF，DF折成四面體P-DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為________． 解析：折成的四面體是正四面體，如圖連接HE，取HE的中點K，連接GK，PK，則GK∥DH.故∠PGK即為所求的異面直線所成的角．設(shè)這個正四面體的棱長為2，在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，故cos∠PGK＝＝，即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是. 答案： 6