2019年高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學案 理 北師大版

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1、 第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． (對應學生用書第47頁) [基礎知識填充] 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (4)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限

2、角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度的角，它的單位符號是rad.正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0. (2)公式： 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(u，v)，那么 v叫作α的正弦，記作sin α

3、 u叫作α的余弦，記作cos α 叫作α的正切，記作tan α 各象限符號 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 [知識拓展]　1.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(y≠0)． 2．單位圓上任意一點可設為(cos θ，sin θ)(θ∈R)． 3．若α∈，則sin α＜α＜tan α. [基本能力自測] 1．(思考辨

4、析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)小于90°的角是銳角．(　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角．(　　) (4)角α的三角函數(shù)值與終邊上點P的位置無關．(　　) (5)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　　) (6)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ 2．若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，則角θ的終邊所在象限為(　　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　[由c

5、os θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，則角θ的終邊在第四象限，故選D．] 3．(教材改編)已知角α的終邊與單位圓的交點為M，則sin α＝(　　) A． B．± C． D．± B　[由題意知|r|2＝＋y2＝1，所以y＝±.由三角函數(shù)定義知sin α＝y(tǒng)＝±.] 4．已知圓的一條弦的長等于半徑長，則這條弦所對的圓心角的大小為________弧度． 　[∵弧長等于半徑長． ∴該弦與兩半徑構成的三角形為正三角形． 故該弦所對的圓心角的大小為.] 5．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 四　一　

6、[∵3 900°＝10×360°＋300°，∴3 900°是第四象限角． ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角．] (對應學生用書第48頁) 角的有關概念及其集合表示 　(1)若角α是第二象限角，則是(　　) A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 (2)終邊在直線y＝x上的角的集合是________． (1)C　(2){β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}　[(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當k為偶數(shù)時，是第一象限角；

7、當k為奇數(shù)時，是第三象限角． 綜上，是第一或第三象限角． (2)如圖，直線y＝x過原點，傾斜角為60°， 在0°～360°范圍內(nèi)， 終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合為： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}， S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以角β的集合S＝S1∪S2 ＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β

8、＝60°＋k·180°，k∈Z}．] [規(guī)律方法]　1.終邊在某直線上角的求法四步驟 (1)數(shù)形結合，在平面直角坐標系中畫出該直線. (2)按逆時針方向寫出[0，2π)內(nèi)的角. (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合. (4)求并集化簡集合. 2.確定kα，(k∈N＋)終邊位置的步驟 (1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍. (2)再寫出kα或的范圍. (3)然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或的終邊所在位置. 3.注意角度與弧度不能混用. 4.終邊落在x軸上角的集合. 終邊落在y軸上角的集合. 終邊落在坐標軸上的角的集合 [跟蹤訓練]　(1)設集合M＝

9、，N＝，那么(　　) A．M＝N　　　　　 B．M?N C．N?M D．M∩N＝? (2)已知角α＝45°，在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β＝________. 【導學號：79140099】 (1)B　(2)－675°或－315°　[(1)法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N，故選B． 法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)； 而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝

10、(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N，故選B． (2)由終邊相同的角的關系知β＝k·360°＋45°，k∈Z， 所以取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.] 扇形的弧長、面積公式 　(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角； (2)已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？ [解]　(1)設圓心角是θ，半徑是r，則 解得(舍去)或 ∴扇形的圓心角為. (2)設圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 當且僅當r

11、＝10時，Smax＝100，此時2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴當r＝10，θ＝2時，扇形的面積最大． [規(guī)律方法]　解決有關扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項 (1)解決有關扇形的弧長和面積問題時，要注意角的單位，一般將角度化為弧度. (2)求解扇形面積的最值問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決. (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形. [跟蹤訓練]　(1)扇形弧長為20 cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________ cm2. (2)如圖3-1-1，已知扇形的圓心角α＝120°，弦AB長12 cm，則該扇

12、形的弧長l＝________ cm. 圖3-1-1 (1)　(2)π　[(1)由弧長公式l＝|α|r，得r＝＝， ∴S扇形＝lr＝×20×＝. (2)設扇形的半徑為r cm，如圖． 由sin 60°＝，得r＝4， ∴l(xiāng)＝|α|·r＝×4＝π cm.] 三角函數(shù)的定義 ◎角度1　三角函數(shù)定義的應用 　(2017·河南八市聯(lián)考)已知角α的頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合，點P(－4m,3m)(m＞0)是角α終邊上的一點，則2sin α＋cos α＝________. 　[∵|OP|＝＝5|m|＝5m(m＞0)， ∴sin α＝＝，cos α＝＝－， ∴

13、2sin α＋cos α＝2×－＝.] ◎角度2　三角函數(shù)值符號的判定 　若sin αtan α＜0，且＜0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 C　[由sin αtan α＜0可知sin α，tan α異號，從而可判斷角α為第二或第三象限角． 由＜0可知cos α，tan α異號，從而可判斷角α為第三或第四象限角． 綜上可知，角α為第三象限角．] ◎角度3　三角函數(shù)線的應用 　函數(shù)y＝的定義域為________． (k∈Z)　[∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)．

14、 ∴x∈(k∈Z)．] [規(guī)律方法]　1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況. (1)已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題. 2.確定三角函數(shù)值的符號，可以從確定角的終邊所在象限入手進行判斷. [跟蹤訓練]　(1)(2018·陜西質檢(一))已知角α的終邊過點P(4，－3)，則cos的值為(　　) A．－ B． C．－ D． (2)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　) A．－ B． C．－ D． (1)B　(2)B　[(1)∵角α的終邊過點P(4，－3)，∴r＝5，由三角函數(shù)的定義得sin α＝－，cos α＝，∴cos＝cos α cos－sin α sin ＝×－×＝，故選B． (2)∵r＝， ∴cos α＝＝－， ∴m＞0，∴＝，因此m＝.] 8