2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計(jì)數(shù)原理與概率 第59講 幾何概型學(xué)案

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1、 第59講　幾何概型 考綱要求 考情分析 命題趨勢(shì) 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率． 2．了解幾何概型的意義. 2017·全國(guó)卷Ⅰ，2 2017·江蘇卷，7 幾何概型主要考查事件發(fā)生的概率與構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度、角度、面積、體積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，注重考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯思維能力. 分值：5分 1．幾何概型 如果事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的__長(zhǎng)度(面積或體積)__成比例，而與A的形狀和位置無(wú)關(guān)則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． 2．幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn) 一是__無(wú)限性__，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是__

2、等可能性__，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型求解的概率問(wèn)題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”，即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的__圖形面積(體積、長(zhǎng)度)__”與“試驗(yàn)的基本事件所占的__總面積(總體積、總長(zhǎng)度)__”之比來(lái)表示． 3．在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式 P(A)＝____. 4．幾種常見的幾何概型 (1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)． (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域

3、，即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題； (3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問(wèn)題． 1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)． (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(　√　) (2)相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值是相等的．(　×　) (3)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(　√　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　√　) 解析 (1)正確．由隨機(jī)模擬方法及幾何概型可知，該說(shuō)法正確． (2)錯(cuò)誤．雖然環(huán)境相同，但是因?yàn)殡S機(jī)模擬得到的是某一次的頻率

4、，所以結(jié)果不一定相等． (3)正確．由幾何概型的定義知，該說(shuō)法正確． (4)正確．由幾何概型的定義知，該說(shuō)法正確． 2．在區(qū)間(15,25]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)滿足17＜a＜20的概率是(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 ∵a∈(15,25]，∴P(17＜a＜20)＝＝. 3．有一杯2 L的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從水中取0.1 L水，則小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為(　C　) A．0.01　　 B．0.02 C．0.05　　 D．0.1 解析 因?yàn)槿∷请S機(jī)的，而細(xì)菌在2 L水中的任何位置是等可能的，則小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率

5、為P＝＝0.05. 4．已知x是[－4,4]上的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，則使x滿足x2＋x－2＜0的概率為(　B　) A．　　 B． C．　　 D．0 解析 x2＋x－2＜0?－2＜x＜1，則P＝＝. 5．某路公共汽車每5 min發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過(guò)3 min的概率是(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 此題可以看成向區(qū)間[0,5]內(nèi)均勻投點(diǎn)，求點(diǎn)落入[2,5]內(nèi)的概率．設(shè)A＝{某乘客候車時(shí)間不超過(guò)3 min}． 則P(A)＝＝. 一　與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型 (1)設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，點(diǎn)落在

6、線段l的概率為P＝. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，如扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段． 【例1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是　　. (2)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是(　B　) A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析 (1)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，

7、則所求概率為＝. (2)由題意得圖： 由圖得等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率為. 二　與面積有關(guān)的幾何概型 與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合． 【例2】 (1)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足y≥x2－1的概率是(　D　) A．　　 B．　　　　 C．　　 D． (2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　B　) A．　　 B

8、． C．　　 D． 解析 (1)如圖滿足y≥x2－1的概率為陰影部分面積與正方形面積的比， ∵ [1－(x2－1)]dx＝ (2－x2)dx＝|＝，,∴P＝＝＝.,(2)不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，所以黑色部分的面積為，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為＝，故選B．, 三　與體積有關(guān)的幾何概型,, 對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求． 【例3】 (1)在棱長(zhǎng)為2的正方體AB

9、CD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為__1－__. (2)在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S－APC的體積大于的概率是____. 解析 (1)正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為×πr3＝×π×13＝π，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－＝1－. (2)由題意知＞，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為△APC與△ABC的高，所以＝＝>，,又＝，所以＞，故所求

10、的概率為(即為長(zhǎng)度之比)． 1．把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為(　A　) A．－1　　 B． C．－　　 D． 解析 這是一道幾何概型概率計(jì)算問(wèn)題．星形弧半徑為2，所以點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為P＝＝－1，故選A． 2．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使cos 的值介于0到之間的概率為(　A　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為2. ∵－1≤x≤1，∴－≤x≤. 由0≤cos x≤，得≤x≤或－≤x≤－， ∴

11、≤x≤1或－1≤x≤－. 設(shè)事件A為“cos x的值介于0到之間”，則事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域長(zhǎng)度為. ∴P(A)＝＝. 3．在區(qū)間[－2,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使－≤1成立的概率為____. 解析 在區(qū)間[－2,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則－2≤x≤2，而不等式|x＋1|－|x－1|≤1的解集為x≤.又因?yàn)椋?≤x≤2， 故－2≤x≤，所以使不等式成立的概率為P＝＝. 4．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為____. 解析 根據(jù)題意，可以求得陰影部分的面積為 S＝(－x2)dx＝|＝，,故該點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝＝. 易錯(cuò)點(diǎn)　幾何概型

12、概念不清, 錯(cuò)因分析：對(duì)事件中的幾何元素認(rèn)識(shí)不清晰，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 【例1】 (1)在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為________． (2)在等腰Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM＜AC的概率為________． 解析 (1)這是一個(gè)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝P(AM＜AC′)＝＝＝. (2)這是一個(gè)與角度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，在AB上截取AC′＝AC，則∠ACC′＝＝67.5°，而∠ACB＝90°，于是P(AM＜AC)＝P(AM＜AC′)＝＝.

13、 答案 (1)　(2) 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·山東卷)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為____.　 解析 直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件為＜3，解之得－＜k＜，,故所求概率為P＝＝. 課時(shí)達(dá)標(biāo)　第59講 [解密考綱]幾何概型在高考中常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為(　B　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 區(qū)間[－2,3]的長(zhǎng)度為3－(－2)＝5，[－2,1]的長(zhǎng)度為1－(－2)＝3，故滿足條件的概率P＝.

14、 2．設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，則關(guān)于x的方程x2＋px＋1＝0有實(shí)數(shù)根的概率為(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 方程有實(shí)根，則Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率為＝. 3．在區(qū)間[0,2π]上任取一個(gè)數(shù)x，則使得2sin x>1的概率為(　C　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 ∵2sin x>1，x∈[0,2π]，∴x∈， ∴p＝＝，故選C． 4．如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是(　D　) A．　　 B．π　　 C．2π　　

15、 D．3π 解析 設(shè)陰影部分的面積為S1，圓的面積S＝π×32＝9π，由幾何概型的概率計(jì)算公式得＝，得S1＝3π. 5．(2018·北京昌平模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是(　D　) A．　　 B． C．　　 D． 解析 作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4, 3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，當(dāng)點(diǎn)在△AED區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到直線y＋2＝0的距離大于2.P＝＝＝，故選D． 6．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1

16、，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　C　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 如圖，數(shù)對(duì)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得＝?π＝.故選C． 二、填空題 7．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為____. 解析 當(dāng)VM－ABCD＝時(shí)，即×1×1×h＝，解得h＝

17、，即點(diǎn)M到底面ABCD的距離小于，所以所求概率P＝＝. 8．記集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M落在區(qū)域Ω2的概率為____. 解析 作圓O：x2＋y2＝4，區(qū)域Ω1就是圓O內(nèi)部(含邊界)，其面積為4π，區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內(nèi)部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為＝. 9．在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是____. 解析 設(shè)隨機(jī)取出的兩個(gè)數(shù)分別為x，y，則0

18、為P＝＝. 三、解答題 10．甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊時(shí)間都是4小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 解析 (1)設(shè)甲、乙兩船到達(dá)時(shí)間分別為x，y， 則0≤x<24,0≤y<24， 且y－x>4或y－x<－4. 作出區(qū)域 設(shè)“兩船無(wú)需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝＝. (2)當(dāng)甲船的停泊時(shí)間為4小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間為2小時(shí)，兩船不需等待碼頭空出，則滿

19、足x－y>2或y－x>4.設(shè)在上述條件時(shí)“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域 則P(B)＝＝＝. 11．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b. ①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A的概率； ②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率． 解析 (1)由題意共有小球n＋2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)

20、．從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是＝，解得n＝2. (2)①?gòu)拇又胁环呕氐仉S機(jī)抽取2個(gè)球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b，則取出2個(gè)小球的可能情況共有12種結(jié)果，令滿足“2≤a＋b≤3”為事件A，則事件A共有8種結(jié)果，故P(A)＝＝； ②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由幾何概型可得概率為 P＝＝1－. 12．甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開展促銷活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下： 甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤

21、，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng)． 乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng)． 問(wèn)：購(gòu)買該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？ 解析 如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為＝.所以，在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P1＝＝. 如果顧客去乙商場(chǎng)，記盒子中3個(gè)白球?yàn)閍1，a2，a3,3個(gè)紅球?yàn)閎1，b2，b3，記(x，y)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3 )，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3 )，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15種． 摸到的2個(gè)球都是紅球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3個(gè)，所以在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為P2＝＝，又P1