2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 章末復(fù)習(xí)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 知識系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏 1.同一函數(shù)的判定方法 (1)定義域相同; (2)對應(yīng)關(guān)系相同(兩點(diǎn)必須同時具備). 2.函數(shù)解析式的求法 (1)定義法; (2)換元法; (3)待定系數(shù)法; (4)解方程(組)法; (5)賦值法. 3.函數(shù)的定義域的求法 (1)已給出函數(shù)解析式:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合. (2)實(shí)際問題:求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義,還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義. (3)復(fù)合函數(shù)問題 ①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由a≤g(x)≤b解出; ②若函數(shù)f

2、[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)g(x)在[a,b]上的值域. 注意:①函數(shù)f(x)中的x與函數(shù)f[g(x)]中的g(x)地位相同. ②定義域所指永遠(yuǎn)是x的范圍. 4.函數(shù)值域的求法 (1)配方法(二次或四次); (2)判別式法; (3)換元法; (4)函數(shù)的單調(diào)性法. 5.判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟 (1)設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量的值,且x1

3、(x)之間的關(guān)系:①若函數(shù)f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù);若函數(shù)f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù);②若f(-x)-f(x)=0,則f(x)為偶函數(shù);若f(x)+f(-x)=0,則f(x)為奇函數(shù);③若=1(f(-x)≠0),則f(x)為偶函數(shù);若=-1(f(-x)≠0),則f(x)為奇函數(shù). 7.冪函數(shù)的圖象特征 (1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi),圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi),至于是否在第二、三象限內(nèi)出現(xiàn),則要看冪函數(shù)的奇偶性. (2)冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的變化規(guī)律為:在第一象限內(nèi)直線x=1的右側(cè),圖象從下到上,相應(yīng)的指數(shù)由小

4、到大,直線x=1的左側(cè),圖象從下到上,相應(yīng)的指數(shù)由大到?。? 8.函數(shù)的應(yīng)用 解決函數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵在于理解題意,提高閱讀能力.一方面要加強(qiáng)對常見函數(shù)模型的理解,弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景,把數(shù)學(xué)問題生活化;另一方面,要不斷拓寬知識面,增加間接的生活閱歷,諸如了解一些物價、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實(shí)際問題,及有關(guān)角度、面積、體積、造價的問題,培養(yǎng)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的意識和能力. 學(xué)科思想培優(yōu) 一、函數(shù)的定義域 函數(shù)的定義域是指函數(shù)y=f(x)中自變量x的取值范圍.確定函數(shù)的定義域是進(jìn)一步研究函數(shù)其他性質(zhì)的前提,而研究函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分.所以熟悉函數(shù)定義域

5、的求法,對于函數(shù)綜合問題的解決起著至關(guān)重要的作用. [典例1] (1)函數(shù)f(x)=+(3x-1)0的定義域是(  ) A. B. C. D.∪ (2)已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-1)的定義域是(  ) A. B.[-1,4] C.[-5,5] D.[-3,7] 解析 (1)由題意,得解得x<1且x≠. (2)設(shè)u=x+1,由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4,所以y=f(u)的定義域?yàn)閇-1,4].再由-1≤2x-1≤4,解得0≤x≤,即函數(shù)y=f(2x-1)的定義域是. 答案 (1)D (2)A 二、分段函數(shù)問題 所謂

6、分段函數(shù)是指在定義域的不同子區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù).分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù),其定義域是各子區(qū)間的并集,值域是各段上值域的并集.分段函數(shù)求值等問題是高考常考的問題. [典例2] 已知實(shí)數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),則a的值為________. 解析?、佼?dāng)1-a<1,即a>0時,此時a+1>1, 由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-(舍去); ②當(dāng)1-a>1,即a<0時,此時a+1<1,由f(1-a)=f(1+a),得-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-,符合題意.綜上所述,a=-. 答案?。?/p>

7、 三、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),某些數(shù)學(xué)問題,通過函數(shù)的單調(diào)性可將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系進(jìn)行研究,從而達(dá)到化繁為簡的目的,特別是在比較大小、證明不等式、求值或求最值、解方程(組)等方面應(yīng)用十分廣泛. 奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì),利用奇偶函數(shù)圖象的對稱性可以縮小問題研究的范圍,常能使求解的問題避免復(fù)雜的討論. [典例3] 定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足: ①對任意的x,y∈(-1,1),均有f(x)+f(y)=f;②當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>0. (1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性; (2)判定函數(shù)f(x)在(-1,0)上的單調(diào)性.

8、 解 (1)令x=y(tǒng)=0,得2f(0)=f(0),∴f(0)=0. 再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù). (2)設(shè)-10. f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f. ∵-10,1+x2>0,且00. ∵x2-x1-1+x1x2=(x2-1)+x1(x2-1) =(1+x1)(x2-1)<0, ∴0

9、>0,且f(x)為奇函數(shù), ∴x∈(0,1)時,f(x)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)

10、說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性; (4)求函數(shù)的值域. 解 (1)證明:∵函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱, 且f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù). (2)當(dāng)0≤x≤3時, f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2. 當(dāng)-3≤x<0時,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2. 即f(x)= 根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法,可得函數(shù)圖象如下圖. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在區(qū)間[-3,-1)和[0,1)上單調(diào)遞減,

11、 在[-1,0)和[1,3]上單調(diào)遞增. (4)當(dāng)0≤x≤3時,函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2; 當(dāng)-3≤x<0時,函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,2]. 五、冪函數(shù)的圖象問題 對于給定的冪函數(shù)圖象,能從函數(shù)圖象的分布、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì).注意圖象與函數(shù)解析式中指數(shù)的關(guān)系,能夠根據(jù)圖象比較指數(shù)的大?。? [典例5] 如圖是冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限內(nèi)的圖象,則a,b,c,d的大小關(guān)系為(  ) A.a

12、

13、為保證不影響兩城市的環(huán)境,垃圾處理廠與市區(qū)距離不得少于10 km.已知垃圾處理費(fèi)用和距離的平方與垃圾量之積的和成正比,比例系數(shù)為0.25.若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20 t,B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10 t. (1)求x的取值范圍; (2)把每天的垃圾處理費(fèi)用y表示成x的函數(shù); (3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠(yuǎn)處,才能使每天的垃圾處理費(fèi)用最少? 解 (1)由題意可得x≥10,100-x≥10. 所以10≤x≤90. 所以x的取值范圍為[10,90]. (2)由題意,得y=0.25[20x2+10(100-x)2], 即y=x2-500x+25000(10≤x≤90). (3)由y=x2-500x+25000=2+(10≤x≤90),則當(dāng)x=時,y最?。? 即當(dāng)垃圾處理廠建在距離A城市 km時,才能使每天的垃圾處理費(fèi)用最少. - 7 -

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