2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 概率 6 正態(tài)分布學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、6.1　 連續(xù)型隨機(jī)變量 6.2　正態(tài)分布 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.了解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念以及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)．(難點(diǎn)) 2．認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．(重點(diǎn)) 通過(guò)對(duì)正態(tài)分布的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 1．正態(tài)分布 (1)在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區(qū)間會(huì)分得更細(xì)，如果將區(qū)間無(wú)限細(xì)分，最終得到一條曲線，這條曲線稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布密度曲線，這條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為X的分布密度函數(shù)． (2)若隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為f(x)＝·e，其中μ與σ分別是隨機(jī)變量X的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，則稱(chēng)

2、X服從參數(shù)μ和σ2的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)． 2．正態(tài)曲線的性質(zhì) (1)函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)； (2)σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的胖、瘦； (3)P(μ－σ

3、分布N(2，σ2)，則P(X<2)＝(　　) A． B． C． D． D　[由題意知X的均值為2，因此P(X<2)＝.] 4．正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則它所對(duì)應(yīng)的正態(tài)總體均值為(　　) A．1 B．－1 C．0 D．不確定 C　[由正態(tài)曲線性質(zhì)知均值為0.] 5．正態(tài)分布的概率密度函數(shù)P(x)＝e在(3,7]內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______. 0.683　[由題意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P(3

4、如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的一項(xiàng)是(　　) A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小 B．丙科總體的平均數(shù)最小 C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中 D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同 A　[由題中圖像可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙．故選A.] 用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ，σ (1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，由此性質(zhì)結(jié)合圖像求μ. (2)正態(tài)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值，由此性質(zhì)結(jié)合圖像可求σ.

5、(3)由σ的大小區(qū)分曲線的胖瘦. 1．(1)如圖是一個(gè)正態(tài)曲線，總體隨機(jī)變量的均值μ＝________，方差σ2＝________. (2)某正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，則總體落入?yún)^(qū)間(0,2)內(nèi)的概率為_(kāi)_______． (1)20　2　(2)0.477　[(1)從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱(chēng)，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝， 因此總體隨機(jī)變量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. (2)正態(tài)分布密度函數(shù)是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函數(shù)，則μ＝0， ∵f(x)的最大值為f(μ)＝＝，∴σ＝1， ∴P(

6、0

7、＝0.3.故選C.] (2)由題意得μ＝1，σ＝2， 所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.683 0. 又因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341 5. 1．求解本類(lèi)問(wèn)題的解題思路是充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，把待求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的概率． 2．常用結(jié)論有： (1)對(duì)任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)． 2．設(shè)X～N(1,22)，試求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P

8、(3＜X≤5)． [解]　因?yàn)閄～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683. (2)因?yàn)镻(3＜X≤5)＝P(－3

9、零件外直徑的均值，標(biāo)準(zhǔn)差分別是什么？ [提示]　零件外直徑的均值為μ＝4，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝0.5. 2．某工廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑ε～N(4,0.25)，若零件的外直徑在(3.5,4.5]內(nèi)的為一等品．試問(wèn)1 000件這種零件中約有多少件一等品？ [提示]　P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.683 0，所以1 000件產(chǎn)品中大約有1 000×0.683 0＝683(件)一等品． 【例3】　在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)X服從一個(gè)正態(tài)分布，即X～N(90,100)． (1)試求考試成績(jī)X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？ (2)若這次考試共有2 000名考生，

10、試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)之間的考生大約有多少人． 思路探究：→→→ [解]　∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10. (1)P(70

11、σ，μ＋3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想. 3．某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布N(4,0.052)，質(zhì)量檢查人員從該廠生產(chǎn)的1 000個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，測(cè)得它的外直徑為3.7 cm，該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？ [解]　由于X服從正態(tài)分布N(4,0.052)， 由正態(tài)分布的性質(zhì)，可知 正態(tài)分布N(4,0.052)在(4－3×0.05,4＋3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027,3.7?(3.85,4.15)， 這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為該批零

12、件是不合格的． 1．正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ就是隨機(jī)變量X的均值，它可以用樣本的均值去估計(jì)；參數(shù)σ就是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)． 2．因?yàn)镻(μ－3σ

13、 2.如圖是當(dāng)ξ取三個(gè)不同值ξ1，ξ2，ξ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖像，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是(　　) A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 D　[當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，正態(tài)曲線f(x)＝e.在x＝0時(shí)，取最大值，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.] 3．若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________. 　[由于隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，其正態(tài)密度曲線關(guān)于

14、直線X＝μ對(duì)稱(chēng)，故P(X≤μ)＝.] 4．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，則P(X≤0)＝________. 0.16　[由X～N(2，σ2)，可知其正態(tài)曲線如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，則P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.] 5．一批燈泡的使用時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(10 000,4002)，求這批燈泡中“使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)”的概率． [解]　依題意得μ＝104，σ＝400. ∴P(104－800104＋800)． 故2P(X>10 800)＋P(104－80010 800)＝＝0.023， 故使用時(shí)間超過(guò)10 800小時(shí)的概率為0.023. - 7 -