2019版高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第四章 平面向量與復數(shù)學案

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1、 第四章　平面向量與復數(shù) 第1課時　平面向量的概念與線性運算 ① 了解向量的實際背景；理解平面向量的基本概念和幾何表示；理解向量相等的含義. ② 掌握向量加、減法和數(shù)乘運算，理解其幾何意義；理解向量共線定理. ③ 了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義． 　　掌握向量加、減法、數(shù)乘的運算，以及兩個向量共線的充要條件． 1. (必修4P62習題5改編)下列命題：① 零向量的長度為零，方向是任意的；② 若a，b都是單位向量，則a＝b；③ 向量與相等．則所有正確的命題是________．(填序號) 答案：① 解析：根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位

2、向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量與互為相反向量，故③錯誤． 2. 在四邊形ABCD中，若＝＋，則四邊形ABCD的形狀是__________． 答案：平行四邊形 解析：依題意知AC是以AB，AD為相鄰兩邊的平行四邊形的對角線，所以四邊形ABCD是平行四邊形． 3. 在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則＝____________． 答案：b＋c 解析：如圖，因為在△ABC中，＝c，＝b，且點D滿足＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c. 4. 設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝_____

3、___． 答案： 解析：因為向量λa＋b與a＋2b平行，設λa＋b＝k(a＋2b)，則所以λ＝. 5. (必修4P73習題15改編)已知向量i與j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j.若A，B，D三點共線，則實數(shù)m，n應該滿足的條件是________．(填序號) ① m＋n＝1；② m＋n＝－1；③ mn＝1；④ mn＝－1. 答案：③ 解析：由A，B，D共線可設＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此即有mn＝1. 1. 向量的有關概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)，記作||. (2) 零向量：

4、長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量． (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上． 規(guī)定：0與任一向量平行． (5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：與向量a長度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量． 2. 向量加法與減法運算 (1) 向量的加法 ① 定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法． ② 法則：三角形法則；平行四邊形法則． ③ 運算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)

5、＋c＝a＋(b＋c)． (2) 向量的減法 ① 定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法． ② 法則：三角形法則． 3. 向量的數(shù)乘運算及其幾何意義 (1) 實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ② 當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0. (2) 運算律：設λ，μ∈R，則： ① λ(μa)＝(λμ)a； ② (λ＋μ)a＝λa＋μa； ③ λ(a＋b)＝λa＋λb． 4. 向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa．

6、 ,　　　　　　　　　1　平面向量的基本概念) ,　　　　　1)　(1) 給出下列六個命題： ① 兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ② 若|a|＝|b|，則a＝b； ③ 若＝，則A，B，C，D四點構成平行四邊形； ④ 在?ABCD中，一定有＝； ⑤ 若m＝n，n＝p，則m＝p； ⑥ 若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中錯誤的命題是________．(填序號) (2) 給出以下命題： ① 對于實數(shù)p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb； ② 對于實數(shù)p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa； ③ 若pa＝pb(p∈R)，則a＝b； ④ 若pa

7、＝qa(p，q∈R，a≠0)，則p＝q. 其中正確的命題是__________．(填序號) 答案：(1) ①②③⑥　(2) ①②④ 解析：(1) 兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點，故①不正確；|a|＝|b|，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確；＝，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以③不正確；零向量與任一向量平行，故a∥b，b∥c時，若b＝0，則a與c不一定平行，故⑥不正確． (2) 根據(jù)實數(shù)與向量乘積的定義及其運算律，可知①②④正確；③不一定正確，因為當p＝0時，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b. 設a0

8、為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題個數(shù)是________． 答案：3 解析：向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②、③也是假命題． ,　　　　　　　　　2　平面向量的線性表示) ,　　　　　2)　如圖，在△ABC中，＝＝.若＝λ＋μ，則λ＋μ＝__________． 答案： 解析：由題意，＝，＝，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 又

9、＝λ＋μ，∴ λ＝μ＝，λ＋μ＝. 變式訓練 已知點M是△ABC的邊BC的中點，點E在邊AC上，且＝2，則向量＝__________．(用，表示) 答案：＋ 解析：∵ ＝2，∴ ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. ,　　　　　　　　　3　共線向量) ,　　　　　3)　(1) (2017·鎮(zhèn)江期末)設向量a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________． (2) 已知D為△ABC邊BC的中點，點P滿足＋＋＝0，＝λ，則實數(shù)λ的值為__________． 答案：(1) －1　(2) －2 解析：(1) ∵ ＝a＋b，＝a－2b，∴

10、＝＋＝2a－b.∵ A，B，D三點共線，∴ ，共線．設＝λ，∴ 2a＋pb＝λ(2a－b)，∴ 2＝2λ，p＝－λ，∴ λ＝1，p＝－1. (2) 如圖所示，由＝λ且＋＋＝0，可知P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此＝－2，則λ＝－2. 變式訓練 已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b.若c與d同向，則實數(shù)λ的值為__________． 答案：1 解析：由于c與d同向，設c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.

11、因為k＞0，所以λ＞0，故λ＝1. ,　　　　　　　　　4　向量共線的應用) ,　　　　　4)　已知D為△ABC的邊AB的中點．點M在DC上且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為__________． 答案：3∶5 解析：由5＝＋3，得2＝2＋3－3，即2(－)＝3(－)，即2＝3，故＝，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5. 如圖，△ABC中，在AC上取一點N，使AN＝AC；在AB上取一點M，使AM＝AB；在BN的延長線上取點P，使得NP＝BN；在CM的延長線上取點Q，使得＝λ時，＝，試確定λ的值． 解：∵ ＝－＝(－)＝(＋

12、)＝，＝－＝＋λ， 又＝， ∴ ＋λ＝，即λ＝， ∴ λ＝. 1. 下列各式不能化簡為的是________．(填序號) ① (＋)＋；② (＋)＋(＋)；③ ＋－；④ －＋. 答案：③ 解析：對于①，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；對于②，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；對于③，＋－＝＋2；對于④，－＋＝＋＝. 2. (2017·南京模擬)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝AB，BQ＝BC.用，表示，則＝________． 答案：＋ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 3. 如圖，已知＝，用，表示，則＝________． 答案：－＋ 解析：∵ ＝，∴

13、 －＝(－)， ∴ ＝－＋. 4. 如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段AB交于圓內(nèi)一點D.若＝x＋y，則x＋y的取值范圍是__________． 答案：(－∞，－1) 解析：由于A，B，D三點共線，設＝α，則＝＋＝＋α＝＋α(－)＝(1－α)＋α.由于O，C，D三點共線，且點D在圓內(nèi)，點C在圓上，與方向相反，則存在λ＜－1，使得＝λ＝λ[(1－α)·＋α]＝λ(1－α)＋λα＝x＋y，因此x＝λ(1－α)，y＝λα，所以x＋y＝λ＜－1. 1. 已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：① ＝a－b；② ＝a＋b；

14、③ ＝－a＋b；④ ＋＋＝0. 其中正確的命題為________．(填序號) 答案：②③④ 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴ ＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴ 正確的命題為②③④. 2. 已知m，n滿足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，則|m＋n|＝________． 答案：3 解析：由平行四邊形的對角線與邊的關系，得|m－n|與|m＋n|為以m，n為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26.又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3. 3. 如

15、圖，半徑為的扇形AOB的圓心角為120°，點C在弧AB上，且∠COB＝30°.若＝λ＋μ，求λ＋μ的值． 解：如圖，作CD∥OB，交OA于點D，作CE∥OA，交OB的延長線于點E，則＝＋. 由題意知，∠COD＝90°， ∴ 在△OCE中，∠OCE＝90°，∠COB＝30°. ∵ ||＝，∴ ||＝||＝1，||＝2， ∴ ＝＝，＝＝，即λ＝，μ＝，故λ＋μ＝. 4. (2017·鹽城模擬)如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設＝m，＝n，m，n∈R，則＋的值為________． 答案：3 解析：設＝a，＝b，由題意知＝×(＋)＝(a＋b)，

16、＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b.由P，G，Q三點共線，得存在實數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，從而消去λ，得＋＝3. 1. 解決與平面向量的概念有關的命題真假的判定問題，其關鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足：①模相等；②方向相同． 2. 在進行向量線性運算時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解． 3. 平行向量定理的條件和結論是充要條件關系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)．利用兩向量

17、共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點．[備課札記] 第2課時　平面向量的基本定理及 坐標表示(對應學生用書(文)、(理)75～76頁) ① 了解平面向量的基本定理及其意義. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 　　能正確用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算，以及熟練掌握用坐標表示的平面向量共線的條件． 1. (2017·蘇州期末)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a

18、＋b＝________． 答案：(3，9) 解析：2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)． 2. (必修4P79練習9改編)已知M(3，－2)，N(－5，2)，且＝，則P點的坐標為____________． 答案：(－1，0) 解析：設P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)，而＝(－8，4)＝(－4，2)，∴解得 3. (必修4P82練習8改編)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝__________． 答案：－6 解析：因為a∥b，所以－2m－4×3＝0，解得m＝－6. 4. (必修4P79練習4改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(

19、3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________． 答案：(1，5) 解析：設D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 5. 設e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 答案：?。? 解析：由題意，設e1＋e2＝ma＋nb. 因為a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理，得所以 1. 平面向量基本定理

20、 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2．我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這個平面內(nèi)所有向量的一組基底． 如果作為基底的兩個基向量互相垂直，則稱其為正交基底，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2. 平面向量的直角坐標運算 (1) 已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (2) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a(chǎn)∥

21、b?x1y2－x2y1＝0. [備課札記] ,　　　　　　　　　1　平面向量的坐標表示與坐標運算) ,　　　　　1)　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1) 求3a＋b－3c； (2) 求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3) 求M，N的坐標及向量的坐標． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2) ∵ mb＋nc

22、＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴ 解得 (3) 設O為坐標原點，∵ ＝－＝3c， ∴ ＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴ M的坐標為(0，20)． 又＝－＝－2b， ∴ ＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴ N的坐標為(9，2)， ∴ ＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 變式訓練 如圖，已知點A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標． 解：如圖，以A，B，C為頂點的平行四邊形可以有三種情況：① ?ABCD；② ?ADBC；③ ?ABDC.設D

23、的坐標為(x，y)， ① 若是?ABCD，則由＝，得 (0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x，y)， 即(－1，2)＝(－1－x，－2－y)， ∴ ∴ ∴ D點的坐標為(0，－4)(如圖中所示的D1點)． ② 若是?ADBC，則由＝，得 (0，2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1，0)， 即(1，4)＝(x－1，y)， 解得x＝2，y＝4. ∴ D點的坐標為(2，4)(如圖中所示的D2點)． ③ 若是?ABDC，則由＝，得 (0，2)－(1，0)＝(x，y)－(－1，－2)， 即(－1，2)＝(x＋1，y＋2)． 解得x＝－2，y＝0. ∴ D點的

24、坐標為(－2，0)(如圖中所示的D3點)． ∴ 以A，B，C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標為(0，－4)或(2，4)或(－2，0)． ,　　　　　　　　　2　向量共線充要條件的坐標表示及應用) ,　　　　　2)　已知向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2)． (1) 若D，求證：對任意實數(shù)m，都有∥； (2) 若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m應滿足什么條件？ (1) 證明：由題意，＝－＝(2，1)，＝－＝. 因為2－1·(m－4)＝0，所以∥. (2) 解：＝－＝(2，1)，＝－＝(1－m，m＋6)． 若點A，B，C能構成三角形，則A，B，C三點不

25、共線． 當A，B，C三點共線時，存在λ使＝λ，即(2，1)＝λ(1－m，m＋6)，得解得m＝－. 所以當m≠－時，點A，B，C能構成三角形． 變式訓練 已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點不能構成三角形，則實數(shù)k的取值集合為__________． 答案：{1} 解析：若點A，B，C不能構成三角形，則向量與共線． 因為＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. ,　　　　　　　　　3　平面向量基本定理及應用) ,　　　　　3)　如圖所示，在

26、△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點F，設＝a，＝b，＝xa＋yb，則x，y分別為__________． 答案：， 解析：令＝λ，由題意，可知＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)a＋λb；同理，令＝μ，則＝＋＝＋μ＝＋μ＝μa＋(1－μ)b. 因為a，b不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以＝a＋b.故x＝，y＝. (2017·南通調(diào)研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________． 答案： 解析：設＝k，k∈R. 因為＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k＝(1－k)＋， 且＝m＋， 所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.

27、 1. 已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，則c＝__________． 答案：(－23，－12) 解析：3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，則c＝(－23，－12)． 2. 如圖，向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________． 答案：4 解析：以向量a，b的交點為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴ a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)． ∵ c＝λa＋μb，∴ 解得∴

28、 ＝＝4. 3. 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且c>b>a，若向量m＝(a－b，1)和n＝(b－c，1)平行，且sin B＝，則當△ABC的面積為時，b＝________． 答案：2 解析：由向量m和n平行知a＋c＝2b?、?， 由acsin B＝?ac＝?、?， 由c>b>a知B為銳角，則cos B＝， 即＝?、郏? 由①②③可得b＝2. 4. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O.若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為__________． 答案： 解析：∵ AO為△ABC的角平分線，∴ 存在實數(shù)λ(λ≠0)使＝

29、λ，即＝λ＋λ， ∴ ?、? 設AB邊上的中線與AB交于點D，則＝2x＋y. ∵ C，O，D三點共線，∴ 2x＋y＝1　②. 由①②得x＝，y＝，∴ x＋y＝. 1. 已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x的值為__________． 答案：4 解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，顯然2a＋b≠0， 則有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， ∴ ?x＝4(x＝－4舍去)． 2. (2017·南京、鹽城模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點．若＝

30、λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________． 答案： 解析：由題意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝. 3. 在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為________． 答案： 解析：∵ M為邊BC上任意一點， ∴ 可設＝x＋y(x＋y＝1)． ∵ N為AM的中點，∴ ＝＝x＋y＝λ＋μ.∴ λ＋μ＝(x＋y)＝. 4. 如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動點P在邊BC上，且滿足＝m＋n(m，n均為正實數(shù))，則＋的最小值為________． 答案： 解

31、析：(解法1)設＝a，＝b，則＝－a＋b； 設＝λ，則＝＋＝a＋λb. 因為＝ma＋nb，所以有 1－λ＝m，λ＝n， 消去λ得m＋n＝1， ＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝. (解法2)以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)， 設＝λ＝(－3λ，4λ)，則＝＋＝(4－3λ，4λ)． 因為＝m＋n＝(4m，4n), 所以有 4－3λ＝4m，4λ＝4n，消去λ得m＋n＝1(下同解法1)． 1. 應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關

32、重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是惟一的． 2. 利用向量的坐標運算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標． 3. 向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據(jù)方程求解其中的參數(shù)值．[備課札記] 第3課時　平面向量的數(shù)量積及平面向量的 應用舉例(對應學生用書(文)、(理)77～79頁)

33、 ① 理解平面向量數(shù)量積的含義.② 掌握數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的運算；能利用數(shù)量積表示兩個向量夾角的余弦，會用數(shù)量積判斷兩個非零向量是否垂直． ① 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，數(shù)量積的性質(zhì)及運算律，數(shù)量積的坐標表示.② 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題． 1. (必修4P90習題19(2)改編)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數(shù)x＝____________． 答案：9 解析：由a⊥(a－b)知，a2＝a·b，即5＝x－4，則x＝9. 2. 已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與

34、b夾角的大小為__________． 答案： 解析：設a與b夾角為θ，由已知，a·b＝2，|a|＝|b|＝2，cos θ＝＝.因為θ∈[0，π]，所以θ＝. 3. (2017·蘇北四市調(diào)研)已知平面向量a與b的夾角等于，若|a|＝2，|b|＝3，則|2a－3b|＝________． 答案： 解析：由題意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝. 4. (必修4P89習題第8(1)題改編)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________． 答案：－6 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1

35、＋4e2，則b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因為e1，e2為單位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6. 5. (必修4P90習題21改編)已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足(－)·(－)＝0，則△ABC的形狀是__________． 答案：等腰三角形 解析： (－)·(－)＝(－)·＝0，所以·＝·，所以acos B＝bcos A，利用余弦定理化簡得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形． 1. 向量數(shù)量積的定義 (1) 向量a與b的夾角． (2) 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為

36、θ，我們把數(shù)量|a||b|cos_θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2. 向量數(shù)量積的性質(zhì) 設a，b都是非零向量，e是單位向量，θ是a與b的夾角，則 (1) e·a＝a·e. (2) a⊥b ?a·b＝0． (3) 當a與b同向時，a·b＝|a|·|b|； 當a與b反向時，a·b＝－|a|·|b|； 特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝. (4) cos θ＝. (5) |a·b|≤|a|·|b|. 3. 向量數(shù)量積的運算律 (1) 交換律：a·b＝b·a. (2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (3) 數(shù)

37、乘結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 4. 平面向量數(shù)量積的坐標表示 (1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (2) 設a＝(x，y)，則|a|＝． (3) 若向量a＝(x1，y1)與向量b＝(x2，y2)的夾角為θ，則有cos θ＝＝. [備課札記] ,　　　　　　　　　1　平面向量數(shù)量積的運算) ,　　　　　1)　(1) (2017·第三次全國大聯(lián)考江蘇卷)在四邊形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，若|AC|＝4，·＝12，＝，＝2，則·＝________．

38、 (2) 已知邊長為6的正三角形ABC，＝，＝，AD與BE交于點P，則·的值為__________． 答案：(1) 0　(2) 解析：(1) 因為·＝2－2＝2－4＝12，2＝16，2＝4，所以·＝2－2＝4－4＝0. (2) 以D點為坐標原點，直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，則B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，E(1，2)，P，則·的值為. 變式訓練 (2017·南通、揚州、泰州調(diào)研)如圖，已知△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若||＝3，||＝5，則(＋)·(－)的值為__________． 答案：－16 解析：由＝－，·＝0，則(＋

39、)·(－)＝(2－)·＝2·＝(＋)·(－)＝ 2－ 2＝32－52＝－16. ,　　　　　　　　　2　平面向量的平行與垂直問題) ,　　　　　2)　(2017·鎮(zhèn)江一模)已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n. (1) 求cos 2α的值； (2) 若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值． 解：(解法一)(1) 由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，且α∈，則cos α＝，sin α＝， 則cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. (2) 由α∈，

40、β∈得，α－β∈. 因為sin(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 因為β∈，則β＝. (解法2)(1) 由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2， 故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. 且cos2α＋sin2α＝1，α∈， 則sin α＝，cos α＝，則cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. (2) 由α∈，β∈得，α－β∈. 因為sin(α－β)＝，則cos(α－β)＝. 則sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin

41、αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 因為β∈，則β＝. 變式訓練 平面直角坐標系xOy中，已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥. (1) 求x與y之間的關系式； (2) 若⊥，求四邊形ABCD的面積． 解：(1) 由題意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)． 因為∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0， 即x＋2y＝0. (2) 由題意＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)． 因為⊥， 所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， 即x2＋y2＋4x－2y－15＝0， 聯(lián)立 解得或 當時，

42、＝(8，0)，＝(0，－4)， S四邊形ABCD＝×AC×BD＝16； 當時，＝(0，4)，＝(－8，0)，S四邊形ABCD＝×AC×BD＝16. 所以四邊形ABCD的面積為16. ,　　　　　　　　　3　平面向量的模與夾角問題) ,　　　　　3)　(1) 已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則α的模的取值范圍是____________； (2) (2017·鹽城模擬)已知||＝||＝，且·＝1.若點C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是____________． 答案：(1) (0，]　(2) [－1，＋1] 解析：(1) 設△ABC中，a＝|β|＝

43、1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得＝，則＝c，即c＝sin C．又0

44、DC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3| 的最小值為__________． 答案：(1) 　(2) 5 解析：(1) |b|＝1，|a|＝5，對|a－b|＝兩邊平方，得2a·b＝5，2|a||b|cos θ＝5，cos θ＝，則向量a，b的夾角為. (2) (解法1)以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系． 設DC＝a，DP＝x，∴ D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴ ＋3＝(5，3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小

45、值為5. (解法2)設＝x(0

46、n，所以cos α－sin α＝0，即tan α＝. 又α∈(0，π)，所以α＝. (2) 因為m＋n＝(cos α＋，sin α－1)， 所以|m＋n|＝＝＝. 因為α∈(0，π)，所以α＋∈，故當α＋＝π時，|m＋n|取到最小值1. ●總結歸納 解決向量與三角函數(shù)綜合問題的關鍵是根據(jù)向量間的條件，利用數(shù)量積的性質(zhì)，將問題轉化為三角函數(shù)的條件求解，然后利用三角恒等變換或三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題． ●題組練透 1. 已知m＝(cos α，sin α)，n＝(2，1)，α∈，若m·n＝1，則sin(2α＋)＝____________． 答案：－ 解析：由m·n

47、＝2cos α＋sin α＝1，cos2α＋sin2α＝1，且α∈，得cos α＝，則sin＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－. 2. 若向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值為____________． 答案：4 解析：因為向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，所以|a|＝1，|b|＝2，a·b＝cos θ－sin θ，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝8－4(cos θ－sin θ)＝8－8cos ，所以|2a－b|2的最大值為16，因此|2a－b|的最大值為4. 3. 在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b

48、，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝. (1) 求sin A的值； (2) 若a＝4，b＝5，AD⊥BC于D，求·的值． 解：(1) 由m·n＝，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝，所以cos A＝. 因為0

49、已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)． (1) 當x＝時，求m·n的值； (2) 若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值． 解：(1) 當x＝時，m＝，n＝， 所以m·n＝－＝. (2) m·n＝cos xsin x－cos2x ＝sin 2x－cos 2x－＝sin－. 若m·n＝－，則sin－＝－，即sin＝. 因為x∈，所以－≤2x－≤，所以cos＝， 則cos 2x＝cos＝cos×－sin×＝×－×＝. 1. 在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，則·＝________． 答案：－2 解析：由余弦定理得cos A＝＝＝－

50、， 所以·＝||·||cos A＝2×2×＝－2. 2. (2017·南通調(diào)研)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a與b反向，則|b|＝________． 答案：2 解析：∵ a與b反向，∴ a與b共線，∴ m(2m＋1)－2×3＝0?2m2＋m－6＝0?m＝－2或m＝.當m＝－2時，a＝(－3，3)，b＝(2，－2)，a與b反向，此時|b|＝2；當m＝時，a＝(4，3)，b＝，a與b同向，不合題意． 3. (2017·第一次全國大聯(lián)考江蘇卷)已知四邊形ABCD，若·＝·＝2，則·的值為________． 答案：0 解析：因為·＝(＋)·(＋)＝·＋(＋＋)·＝

51、·＋·，所以·＝·－·＝0. 4. (2016·江蘇卷)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，·＝4，·＝－1，則·的值是__________． 答案： 解析：因為·＝·＝＝＝4，·＝(－)·＝＝－1， 因此 2＝， 2＝， ·＝· ＝＝＝. 1. 在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是線段AC的三等分點，則·的值為________． 答案： 解析：設＝a，＝b，·＝·＝(a2＋b2)＋a·b＝－＝. 2. (2017·鎮(zhèn)江期末)已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|a－b|＝________．

52、 答案： 解析：|a－b|＝＝＝＝. 3. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 答案： 解析：以A為坐標原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系，則P(1，4)，C(t，0)，B，BC：＋ty＝1，x＋t2y－t＝0. S△PBC＝××＝|4t＋－1|≥|2－1|＝，△PBC面積的最小值為. 4. 已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1) 當a∥b時，求tan的值； (2) 設函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，當x∈時，求f(x)的值域． 解：(1)

53、 ∵ a∥b，∴ cos x＋sin x＝0，∴ tan x＝－， ∴ tan＝＝＝－7. (2) f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋. ∵ x∈，∴ ≤2x＋≤， ∴ －≤sin≤1，∴ ≤f(x)≤＋， 即函數(shù)f(x)的值域為. 1. 在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，是求距離常用的公式． 2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值．在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標求出來，再計算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運算法則進行整體計算，把這個數(shù)量積的

54、計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算． 3. 應用向量運算將問題轉化為與代數(shù)函數(shù)有關的問題，其中轉化是關鍵． 4. 向量與三角函數(shù)的交匯是高考最常見的題型之一，其中用向量運算進行轉化，化歸三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題是常規(guī)的解題思路和基本方法． 第4課時　復　 數(shù)(對應學生用書(文)、(理)80～81頁) ① 理解復數(shù)的基本概念、代數(shù)表示法以及復數(shù)相等的充要條件. ② 理解復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算. ③ 了解復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)代數(shù)形式加、減運算的幾何意義． 　　能準確用復數(shù)的四則運算法則進行復數(shù)加減乘除的運算．

55、 1. 設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(1－i)(1＋2i)＝__________． 答案：3＋i 解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i. 2. (2017·蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)第三次調(diào)研)設a，b∈R，＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，則b的值為________． 答案：1 解析：＝＝i，故a＋bi＝i，b＝1. 3. 在復平面內(nèi)，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是__________． 答案：2＋4i 解析：∵ A(6，5)，B(－2，3)，∴ 線段AB的中點C(2，4)，則點C對應

56、的復數(shù)為z＝2＋4i. 4. 已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足＋4＝3i，則復數(shù)z的模為__________． 答案：5 解析：z＝－3－4i，則復數(shù)z的模為5. 5. 已知?ABCD的三個頂點A，B，C分別對應復數(shù)3＋3i，－2＋i，－5i，則第四個頂點D對應的復數(shù)為________． 答案：5－3i 解析：對應復數(shù)為(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，對應復數(shù)為zD－(3＋3i)．在?ABCD中，＝，則zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i. 1. 復數(shù)的概念 (1) 虛數(shù)單位i：i2＝－1；i和實數(shù)在一起，服從實數(shù)的運算律．　 (2) 代數(shù)形式：a＋bi(a，b

57、∈R)，其中a叫實部，b叫虛部． 2. 復數(shù)的分類 復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中， z是實數(shù)?b＝0，z是虛數(shù)?b≠0， z是純虛數(shù)?a＝0，b≠0． 3. a＋bi與a－bi(a，b∈R)互為共軛復數(shù)． 4. 復數(shù)相等的條件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，且b＝d. 特殊的，a＋bi＝0(a，b∈R)?a＝0，且b＝0. 5. 設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，z在復平面內(nèi)對應點為Z，則的長度叫做復數(shù)z的模(或絕對值)，即|z|＝||＝. 6. 運算法則 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． (1) z1±z2＝(a±c)＋(

58、b±d)i； (2) z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) ＝＋i.[備課札記] ,　　　　　　　　　1　復數(shù)的運算) ,　　　　　1)　(1) 已知復數(shù)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為__________； (2) 若復數(shù)z滿足(z＋i)(2＋i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z＝__________； 答案：(1) 3＋4i　(2) 2－2i 解析：(1) z＝3－4i，則z的共軛復數(shù)為3＋4i. (2) z＝－i＝2－2i. 變式訓練 (1) (2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z1＝

59、3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且＝1＋i，則y＝________． (2) (2017·南京、鹽城一模)設復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為________． 答案：(1) 1　(2) －1 解析：(1) ＝1＋i?3＋yi＝(2－i)(1＋i)?3＋yi＝3＋i，y∈R?y＝1. (2) z(1＋i)＝2?z＝1－i，所以虛部為－1. ,　　　　　　　　　2　復數(shù)的有關概念) ,　　　　　2)　(1) 若(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝__________； (2) (2017·第一次全國大聯(lián)考江蘇卷)已知復數(shù)(1＋2i)

60、z＝2－i，其中i為虛數(shù)單位，則z的共軛復數(shù)的模為________． 答案：(1) －3 　(2) 1 解析：(1) ∵ (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i， ∴ a－2＝2a＋1，解得a＝－3. (2) ∵ z＝＝－i，z＝i，則|z|＝|i|＝1. 本題若用模的性質(zhì)，則能簡化運算：|z|＝|z|＝||＝＝＝1. 變式訓練 (1) 若復數(shù)z滿足(1＋2i)·z＝3(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的實部為__________； (2) (2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(一))若復數(shù)z滿足z＋i＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________． 答案：(1) 　(2) 解析：(

61、1) 由z＝＝－i，則復數(shù)z的實部為. (2) ∵ z＝－i＝1－3i，∴ |z|＝＝. ,　　　　　　　　　3　復數(shù)的相等) ,　　　　　3)　(1) 若復數(shù)z滿足2z＋z＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝__________； (2) 若復數(shù)z滿足z(1－i)＝2i(i是虛數(shù)單位)，z是z的共軛復數(shù)，則z·z＝________． 答案：(1) 1－2i　(2) 2 解析：(1) 設z＝a＋bi，(a，b∈R)，則由已知得2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，即3a＋bi＝3－2i，所以解得 故z＝1－2i. (2) 因為z＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i，所以z·z＝(

62、－1＋i)(－1－i)＝2. 變式訓練 (1) 若復數(shù)z滿足＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝__________； (2) 已知復數(shù)z滿足z2＝－4.若z的虛部大于0，則z＝__________． 答案：(1) 1－i　(2) 2i 解析：(1) 設z＝a＋bi(a，b∈R)．∵ ＝i，∴ ＝i，∴ a＋bi＝i(1－i)＝1＋i，∴ z＝1＋i，∴ z＝1－i. (2) 設復數(shù)z＝x＋yi，則z2＝x2－y2＋2xyi＝－4, 得x2－y2＝－4，xy＝0，則x＝0，y＝±2.又∵ z的虛部大于0，∴ y＝2，∴ z＝2i. ,　　　　　　　　　4　復數(shù)的幾何意義) ,　　　　

63、　4)　(1) 如圖，在復平面內(nèi)，點A對應的復數(shù)為z1.若＝i(i為虛數(shù)單位)，則z2＝__________； (2) 已知復數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為__________． 答案：(1) －2－i　(2) 解析：(1) z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i. (2) ∵ |z－2|＝＝，∴ (x－2)2＋y2＝3. 由圖可知＝＝. (1) 若復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點分別為(1，1)，(0，－2)，則復數(shù)z＝z1·z2在復平面內(nèi)的對應點位于第______象限； (2) 滿足條件|z－i|＝|3＋4i|的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是_

64、_______． 答案：(1) 三　(2) 以(0，1)為圓心，5為半徑的圓 解析：(1) 由題意，z1＝1＋i，z2＝－2i，則z1＝1－i，z1·z2＝(1－i)·(－2i)＝－2i＋2i2＝－2－2i，即z＝－2－2i，因而對應點位于第三象限． (2) 因為|3＋4i|＝5，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得． 1. (2016·江蘇卷)復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是__________． 答案：5 解析：因為z＝5＋5i，所以z的實部是5. 2. 已知復數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝__________． 答案： 解析：z＝＝＋i，|z|＝

65、＝. 3. 設復數(shù)z＝1＋i，若1，對應的向量分別為和，則||＝________． 答案： 解析：＝－＝－1＝(1－i)－1＝－－i，||＝. 4. 若z＝4＋3i，則＝__________． 答案：－i 解析：z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i. 1. 設復數(shù)z滿足z(1＋i)＝2＋4i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z的共軛復數(shù)為________． 答案：3－i 解析：z＝＝＝3＋i，z的共軛復數(shù)是3－i. 2. 設復數(shù)z＝(m＞0，i為虛數(shù)單位)，若z＝，則m的值為________． 答案： 解析：z＝＝＝，它與其共軛復數(shù)相等，則其虛部為0.又m>0，所以m＝.

66、3. 已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，z1，z2∈C，定義：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.給出下列命題： ① 對任意z∈C，都有D(z)>0； ② 若z是復數(shù)z的共軛復數(shù)，則D(z)＝D(z)恒成立； ③ 若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，則z1＝z2. 其中，真命題是________．(填序號) 答案：② 解析：若z＝0，則D(z)＝0，所以①錯誤；因為D(z)＝D(a－bi)＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝D(z)，所以②正確；設z1＝1＋i，z2＝1－i，則有D(z1)＝D(z2)，但z1≠z2，所以③錯誤． 4. 若復數(shù)z＝a＋2i(i為虛數(shù)單位，a∈R)滿足|z|＝3，則a的值為________． 答案：± 解析：|z|＝＝3，則a＝±. 5. 已知集合A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，i為虛數(shù)單位．若A∩B＝{2}，則純虛數(shù)z為________． 答案：－2i 解析：∵ A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}． ∴ 2z2＝2或zi＝2，解得z＝±