2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式 第二講 算法、復數(shù)、推理與證明學案 理

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1、 第二講　算法、復數(shù)、推理與證明 考點一　復數(shù)的概念與運算 1．復數(shù)的乘法 復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類項，不含i的看作另一類項，分別合并同類項即可． 2．復數(shù)的除法 除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題時要注意把i的冪寫成最簡形式．復數(shù)的除法類似初中所學化簡分數(shù)常用的“分母有理化”，其實質(zhì)就是“分母實數(shù)化”． 3．復數(shù)運算中常見的結(jié)論 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i； (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0. [對點訓練]

2、 1．(2018·全國卷Ⅰ)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B． C．1 D． [解析]　∵z＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1，故選C． [答案]　C 2．(2018·安徽安慶二模)已知復數(shù)z滿足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虛數(shù)單位，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．－i B．＋i C．－i D．＋i [解析]　由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i.故選B． [答案]　B 3．(2018·安徽馬鞍山二模)已知復數(shù)z滿足zi＝3＋4i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．

3、第四象限 [解析]　由zi＝3＋4i，得z＝＝＝4－3i，∴復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(4，－3)，該點位于第四象限．故選D． [答案]　D 4．(2018·江西師大附中、臨川一中聯(lián)考)若復數(shù)z＝，為z的共軛復數(shù)，則()2017＝(　　) A．i B．－i C．－22017i D．22017i [解析]　由題意知z＝＝＝i，可得＝－i，則()2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i.故選B． [答案]　B [快速審題]　(1)看到題目的虛數(shù)單位i，想到i運算的周期性；看到z·，想到公式z·＝|z|2＝||2. (2)看到復數(shù)的除法，想到把分母實數(shù)化處理

4、，即分子、分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，再利用乘法法則化簡． 　復數(shù)問題的解題思路 以復數(shù)的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎，結(jié)合四則運算，利用復數(shù)的代數(shù)形式列方程或方程組解決問題． 考點二　程序框圖 1．當需要對研究的對象進行邏輯判斷時，要使用條件結(jié)構(gòu)，它是根據(jù)指定條件選擇執(zhí)行不同指令的控制結(jié)構(gòu)． 2．注意直到型循環(huán)和當型循環(huán)的本質(zhì)區(qū)別：直到型循環(huán)是先執(zhí)行再判斷，直到滿足條件才結(jié)束循環(huán)；當型循環(huán)是先判斷再執(zhí)行，若滿足條件，則進入循環(huán)體，否則結(jié)束循環(huán)． 3．循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復計算的算法中，如累加求和、累乘求積等． [對點訓練] 1．執(zhí)行如圖所示的程序

5、框圖，運行相應的程序，若輸出的結(jié)果是4，則常數(shù)a的值為(　　) A．4 B．2 C． D．－1 [解析]　S和n依次循環(huán)的結(jié)果如下：S＝，n＝2；S＝1－，n＝4.所以1－＝2，a＝－1.故選D． [答案]　D 2．若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的i的值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [解析]　根據(jù)程序框圖，程序執(zhí)行中的數(shù)據(jù)變化如下：n＝12，i＝1；n＝6，i＝2；6≠5；n＝3，i＝3；3≠5；n＝10，i＝4；10≠5；n＝5，i＝5；5＝5成立，程序結(jié)束，輸出i＝5.故選B． [答案]　B 3．(2018·全國卷

6、Ⅱ)為計算S＝1－＋－＋…＋－，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入(　　) A．i＝i＋1 B．i＝i＋2 C．i＝i＋3 D．i＝i＋4 [解析]　S＝1－＋－＋…＋－＝－，當不滿足判斷框內(nèi)的條件時，S＝N－T，所以N＝1＋＋＋…＋，T＝＋＋…＋，所以空白框中應填入i＝i＋2.故選B． [答案]　B 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值是________． [解析]　由程序框圖可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋＋(－1)＋

7、＋0＝－1－，n＝2015，輸出S. [答案]　－1－ [快速審題]　(1)看到循環(huán)結(jié)構(gòu)，想到循環(huán)體的結(jié)構(gòu)；看到判斷框，想到程序什么時候開始和終止． (2)看到根據(jù)程序框圖判斷程序執(zhí)行的功能，想到依次執(zhí)行n次循環(huán)體，根據(jù)結(jié)果判斷． (3)看到求輸入的值，想到利用程序框圖得出其算法功能，找出輸出值與輸入值之間的關系，逆推得輸入值． 　求解程序框圖2類?？紗栴}的解題技巧 (1)程序框圖的運行結(jié)果問題 先要找出控制循環(huán)的變量及其初值、終值．然后看循環(huán)體，若循環(huán)次數(shù)較少，可依次列出即可得到答案；若循環(huán)次數(shù)較多，可先循環(huán)幾次，找出規(guī)律．要特別注意最后輸出的是什么，不要出現(xiàn)多一次

8、或少一次循環(huán)的錯誤，尤其對于以累和為限定條件的問題，需要逐次求出每次迭代的結(jié)果，并逐次判斷是否滿足終止條件． (2)程序框圖的填充問題 最常見的是要求補充循環(huán)結(jié)構(gòu)的判斷條件，解決此類問題的方法是創(chuàng)造參數(shù)的判斷條件為“i>n？”或“i

9、甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 [解析]　由題意可知，“甲看乙、丙的成績，不知道自己的成績”說明乙、丙兩人是一個優(yōu)秀一個良好，則乙看了丙的成績，可以知道自己的成績；丁看了甲的成績，也可以知道自己的成績．故選D． [答案]　D 2．(2018·山西孝義期末)我們知道：在平面內(nèi)，點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為(　　) A．3 B．

10、5 C． D．3 [解析]　類比平面內(nèi)點到直線的距離公式，可得空間中點(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離公式為 d＝， 則所求距離d＝＝5，故選B． [答案]　B 3．(2018·安徽合肥模擬)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：2＝ ，3＝ ，4＝ ，5＝ ，…，則按照以上規(guī)律，若9 ＝ 具有“穿墻術”，則n＝(　　) A．25 B．48 C．63 D．80 [解析]　由2 ＝ ，3 ＝ ，4 ＝ ，5 ＝ ，…， 可得若9

11、＝ 具有“穿墻術”，則n＝92－1＝80，故選D． [答案]　D [快速審題]　看到由特殊到一般，想到歸納推理；看到由特殊到特殊，想到類比推理． (1)破解歸納推理題的思維3步驟 ①發(fā)現(xiàn)共性：通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)； ②歸納推理：把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題(猜想)； ③檢驗，得結(jié)論：對所得的一般性命題進行檢驗，一般地，“求同存異”“逐步細化”“先粗后精”是求解由特殊結(jié)論推廣到一般結(jié)論型創(chuàng)新題的基本技巧． (2)破解類比推理題的3個關鍵 ①會定類，即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； ②會推測，即用一類事物的性質(zhì)去推測

12、另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的猜想； ③會檢驗，即檢驗猜想的正確性．要將類比推理運用于簡單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力． 1．(2018·全國卷Ⅱ)＝(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i [解析]?。剑剑剑玦，故選D． [答案]　D 2．(2018·浙江卷)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i [解析]　∵＝＝1＋i，∴的共軛復數(shù)為1－i. [答案]　B 3．(2018·北京卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　) A． B．

13、 C． D． [解析]　k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝1－＝，k＝2,2<3；s＝＋(－1)2×＝＋＝，k＝3，此時跳出循環(huán)，∴輸出.故選B． [答案]　B 4．(2018·天津卷)閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　第一次循環(huán)T＝1，i＝3；第二次循環(huán)T＝1，i＝4；第三次循環(huán)T＝2，i＝5，滿足條件i≥5，結(jié)束循環(huán)．故選B． [答案]　B 5．(2016·全國卷Ⅱ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：

14、“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是________． [解析]　由丙說的話可知丙的卡片上的數(shù)字一定不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則乙的卡片上的數(shù)字是2和3，甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則乙的卡片上的數(shù)字是2和3，此時，甲的卡片上的數(shù)字只能是1和2，不滿足題意．故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. [答案]　1和3 1.高考對復數(shù)的考查重點是其代數(shù)形式的四則運算(特別是乘、除法)，也涉及復數(shù)的概念及幾何意義等知識，題目多出現(xiàn)在

15、第1～3題的位置，難度較低，純屬送分題目． 2．高考對算法的考查，每年平均有一道小題，一般出現(xiàn)在第6～9題的位置上，難度中等偏下，均考查程序框圖，熱點是循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)，有時綜合性較強，其背景涉及數(shù)列、函數(shù)、數(shù)學文化等知識． 3．在全國課標卷中很少直接考查“推理與證明”，特別是合情推理，而演繹推理，則主要體現(xiàn)在對問題的證明上． 熱點課題2　數(shù)學歸納法的應用 [感悟體驗] 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)證明：＋＋…＋<7. [解]　(1)由a1＝1，得b1＝； 由a1＝

16、1，得a2＝0，b2＝1； 由a2＝0，得a3＝－，b3＝； 由a3＝－，得a4＝－，b4＝2， 由此猜想bn＝. 下面用數(shù)學歸納法加以證明： ①當n＝1時， b1＝符合通項公式bn＝； ②假設當n＝k(k∈N，k≥1)時猜想成立， 即bk＝＝，ak＝－1， 那么當n＝k＋1時 ak＋1＝＝＝， bk＋1＝＝＝， 即n＝k＋1時猜想也能成立，綜合①②可知，對任意的n∈N*都有bn＝. (2)證明：當n＝1時，左邊＝＝4<7不等式成立； 當n＝2時，左邊＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立； 當n≥3時， ＝<＝4， 左邊＝＋＋…＋<4＋1＋4＝5＋4＝7－<7，不等

17、式成立． 專題跟蹤訓練(八) 一、選擇題 1．已知z＝1＋2i，則復數(shù)的虛部是(　　) A． B．－ C．i D．－i [解析]?。剑剑剑璱，該復數(shù)的虛部為－.故選B． [答案]　B 2．若復數(shù)z＝1＋2i，則等于(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i [解析]　＝＝i.故選C． [答案]　C 3．已知z(＋i)＝－i(i是虛數(shù)單位)，那么復數(shù)z對應的點位于復平面內(nèi)的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　z＝＝＝＝－－，z對應的點位于復平面內(nèi)的第三象限．故選C． [答案]　C 4

18、．(2018·大連模擬)下列推理是演繹推理的是(　　) A．由于f(x)＝ccosx滿足f(－x)＝－f(x)對任意的x∈R都成立，推斷f(x)＝ccosx為奇函數(shù) B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出數(shù)列{an}的前n項和的表達式 C．由圓x2＋y2＝1的面積S＝πr2，推斷：橢圓＋＝1的面積S＝πab D．由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì) [解析]　由特殊到一般的推理過程，符合歸納推理的定義；由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程，符合類比推理的定義；由一般到特殊的推理符合演繹推理的定義．A是演繹推理，B是歸納推理，C和D為類比推理，故選A． [答案

19、]　A 5．(2018·江西南昌三模)中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝3，n＝2，依次輸入的a為2,2,5，則輸出的s＝(　　) A．8 B．17 C．29 D．83 [解析]　根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量s的值．模擬程序的運行過程：輸入的x＝3，n＝2，當輸入的a為2時，s＝2，k＝1，不滿足退出循環(huán)的條件；當再次輸入的a為2時，s＝8，k＝2，不滿足退出循環(huán)的條件；當輸入的a為5時，s＝29，k＝3，滿足退出循環(huán)的條件．故輸出的s的值為29.故選C． [答案]　C 6

20、．用反證法證明命題：“已知a，b是自然數(shù)，若a＋b≥3，則a，b中至少有一個不小于2”．提出的假設應該是(　　) A．a(chǎn)，b至少有兩個不小于2 B．a(chǎn)，b至少有一個不小于2 C．a(chǎn)，b都小于2 D．a(chǎn)，b至少有一個小于2 [解析]　根據(jù)反證法可知提出的假設為“a，b都小于2”．故選C． [答案]　C 7．(2018·廣東汕頭一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是(　　) A．56 B．54 C．36 D．64 [解析]　模擬程序的運行，可得：第1次循環(huán)，c＝2，S＝4，c<20，a＝1，b＝2；第2次循環(huán)，c＝3，S＝7，c<20，a＝2，b＝3；第3次

21、循環(huán)，c＝5，S＝12，c<20，a＝3，b＝5；第4次循環(huán)，c＝8，S＝20，c<20，a＝5，b＝8；第5次循環(huán)，c＝13，S＝33，c<20，a＝8，b＝13；第6次循環(huán)，c＝21，S＝54，c>20，退出循環(huán)，輸出S的值為54.故選B． [答案]　B 8．(2018·廣東茂名一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是(　　) A． B．－1 C．2008 D．2 [解析]　模擬程序的運行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝，k＝2；S＝2，k＝3；…，可見S的值每3個一循環(huán)，易知k＝2008對應的S值是第2009個，又2009＝3×669＋2，∴輸

22、出的S值是－1，故選B． [答案]　B 9．(2018·湖南長沙模擬)如圖，給出的是計算1＋＋＋…＋的值的一個程序框圖，則圖中判斷框內(nèi)(1)處和執(zhí)行框中的(2)處應填的語句是(　　) A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3 C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3 [解析]　算法的功能是計算1＋＋＋…＋的值，易知1,4,7，…，100成等差數(shù)列，公差為3，所以執(zhí)行框中(2)處應為n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴終止程序運行的i值為35，∴判斷框內(nèi)(1)處應為i>34，故選C． [答案]　C 10．(2018·武漢調(diào)研)

23、一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”．經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 [解析]　由題可知，乙、丁兩人的觀點一致，即同真同假，假設乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個結(jié)論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，

24、由甲、丙供述可得，乙是罪犯． [答案]　B 11．(2018·昆明七校調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸出S的值為1，則判斷框內(nèi)為(　　) A．i>6? B．i>5? C．i≥3? D．i≥4? [解析]　依題意，執(zhí)行程序框圖，進行第一次循環(huán)時，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；進行第二次循環(huán)時，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；進行第三次循環(huán)時，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此當輸出的S的值為1時，判斷框內(nèi)為“i≥4？”，選D． [答案]　D 12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝時代的偉大數(shù)學家，5世紀末提出體積計算原

25、理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．現(xiàn)有以下四個幾何體：圖①是從圓柱中挖去一個圓錐所得的幾何體，圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺和半球，則滿足祖暅原理的兩個幾何體為(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．①④ [解析]　設截面與底面的距離為h，則①中截面內(nèi)圓的半徑為h，則截面圓環(huán)的面積為π(R2－h(huán)2)；②中截面圓的半徑為R－h(huán)，則截面圓的面積為π(R－h(huán))2；③中截面圓的半徑為R－，則截面圓的面積為π(R－)2；④中截面圓的半徑為，則

26、截面圓的面積為π(R2－h(huán)2)．所以①④中截面的面積相等，故其體積相等，選D． [答案]　D 二、填空題 13．i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________． [解析]　∵(1－2i)(a＋i)＝2＋a＋(1－2a)i為純虛數(shù)，∴解得a＝－2. [答案]?。? 14．如圖是一個三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，第16行從左到右的第2個數(shù)為________． [解析]　前15行共有＝120(個)數(shù)，故所求的數(shù)為a122＝＝. [答案]　 15．(2018·河南三市聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入m＝30，n＝18，則輸出的m的值

27、為________． [解析]　如果輸入m＝30，n＝18，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，r＝12，m＝18，n＝12，不滿足輸出條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，r＝6，m＝12，n＝6，不滿足輸出條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，r＝0，m＝6，n＝0，滿足輸出條件，故輸出的m值為6. [答案]　6 16．“求方程x＋x＝1的解”，有如下解題思路：設f(x)＝x＋x，則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2，類比上述解題思路，可得不等式x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2的解集是________． [解析]　因為x6－(x＋2)>(x＋2)3－x2，所以x6＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)，所以(x2)3＋x2>(x＋2)3＋(x＋2)．令f(x)＝x3＋x，所以不等式可轉(zhuǎn)化為f(x2)>f(x＋2)．因為f(x)在R上單調(diào)遞增，所以x2>x＋2，解得x<－1或x>2.故原不等式的解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [答案]　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 19