九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 新人教版(VIII)
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1、九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 新人教版(VIII) 一、仔細(xì)選一選(本題有10個(gè)小題,每小題3分,共30分) 1.若=,則的值是( ?。? A. B. C. D. 2.已知點(diǎn)(﹣2,y1),(﹣4,y,2)在函數(shù)y=x2﹣4x+7的圖象上,那么y1,y2的大小關(guān)系是( ?。? A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能確定 3.下列函數(shù)圖象中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小的是( ?。? A.y=﹣ B.y=x C.y=x2 D.y=﹣(x+1)2 4.如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC和直線DF在l1,l2,l3上的交點(diǎn)分別為:A,B,C,D,E,F(xiàn).已知AB
2、=6,BC=4,DF=9,則DE=( ) A.5.4 B.5 C.4 D.3.6 5.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,:: =2:3:5,∠BAD=120°,則∠ABC的度數(shù)為( ?。? A.100° B.105° C.120° D.125° 6.在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=的圖象大致是圖中的( ?。? A. B. C. D. 7.把1到9的自然數(shù)依次寫在9張形狀相同的卡片上,打亂次序放入袋中.從中任意抽出一張卡片,則卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是( ?。? A. B. C. D. 8.下列有關(guān)圓的一些結(jié)論:①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°;②圓內(nèi)接正六邊
3、形的邊長與該圓半徑相等;③垂直于弦的直徑平分這條弦;④平分弦的直徑垂直于弦.其中正確的是( ?。? A.①②③ B.①③④ C.②③ D.②④ 9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,G是的中點(diǎn),連結(jié)AD,AG,CD,則下列結(jié)論不一定成立的是( ?。? A.CE=DE B.∠ADG=∠GAB C.∠AGD=∠ADC D.∠GDC=∠BAD 10.二次函數(shù)y=﹣(x﹣1)2+5,當(dāng)m≤x≤n且mn<0時(shí),y的最小值為2m,最大值為2n,則m+n的值為( ) A. B.2 C. D. 二、認(rèn)真填一填(本題有6個(gè)小題,每小題4分,共24分) 11.如圖,D是AB上的
4、一點(diǎn).△ABC∽△ACD,且AD=2,BD=4,∠ADC=65°,∠B=43°,則∠A= ,AC= ?。? 12.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠AOB=70°,則∠C為 度. 13.如圖,將弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O,則弧AC= 度. 14.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分,對稱軸是直線x=1,①b2>4ac;②4a﹣2b+c<0;③不等式ax2+bx+c>0的解集是x>3;④2a+b=0.其中判斷正確的是 ?。ㄖ惶顚懻_結(jié)論的序號) 15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象過正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B
5、、C,則ac的值是 ?。? 16.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,其外角平分線AD交⊙O于D,DM⊥AC于M,下列結(jié)論中正確的是 ?。? ①DB=DC; ②AC+AB=2CM; ③AC﹣AB=2AM; ④S△ABD=S△ABC. 三、全面答一答(本題有7個(gè)小題,共66分) 17.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題: (1)求出函數(shù)解析式; (2)當(dāng)x為何值時(shí),y<0. 18.已知Rt△AEC中,∠E=90°,請按如下要求進(jìn)行操作和判斷: (1)尺規(guī)作圖:作△AEC的外接圓⊙O,并標(biāo)出圓心O(不寫畫法);
6、(2)延長CE,在CE的延長線上取點(diǎn)B,使EB=EC,連結(jié)AB,設(shè)AB與⊙O的交點(diǎn)為D(標(biāo)出字母B、D),判斷:圖中與相等嗎?請說明理由. 19.已知某道判斷題的五個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)正確答案,該題滿分為4分,得分規(guī)則是:選出兩個(gè)正確答案且沒有選錯(cuò)誤答案得4分;只選出一個(gè)正確答案且沒有選錯(cuò)誤答案得2分;不選或所選答案中有錯(cuò)誤答案得0分. (1)任選一個(gè)答案,得到2分的概率是 ??; (2)請利用樹狀圖或表格求任選兩個(gè)答案,得到4分的概率; (3)如果小明只能確認(rèn)其中一個(gè)答案是正確的,此時(shí)的最佳答題策略是 A.只選確認(rèn)的那一個(gè)正確答案 B.除了選擇確認(rèn)的那一個(gè)正確答案,再任選一個(gè)
7、C.干脆空著都不選了. 20.已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.(1)求BD的長; (2)求圖中陰影部分的面積. 21.某地欲搭建一橋,橋的底部兩端間的距離AB=L,稱跨度,橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱拱高,當(dāng)L和h確定時(shí),有兩種設(shè)計(jì)方案可供選擇:①拋物線型,②圓弧型.已知這座橋的跨度L=32米,拱高h(yuǎn)=8米. (1)如果設(shè)計(jì)成拋物線型,以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求橋拱的函數(shù)解析式; (2)如果設(shè)計(jì)成圓弧型,求該圓弧所在圓的半徑; (3)在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐,在兩種
8、方案中分別求橋墩的高度. 22.若一個(gè)四邊形的兩條對角線互相垂直且相等,則稱這個(gè)四邊形為“奇妙四邊形”.如圖1,四邊形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個(gè)重要性質(zhì):“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答: (1)矩形 “奇妙四邊形”(填“是”或“不是”); (2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,若⊙O的半徑為6,∠BCD=60°.求“奇妙四邊形”ABCD的面積; (3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M.請
9、猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 23.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),平行于x軸的直線與拋物線L:y=ax2相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在第一象限),點(diǎn)D在AB的延長線上. (1)已知a=1,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2. ①如圖1,向右平移拋物線L使該拋物線過點(diǎn)B,與AB的延長線交于點(diǎn)C,求AC的長. ②如圖2,若BD=AB,過點(diǎn)B,D的拋物線L2,其頂點(diǎn)M在x軸上,求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式. (2)如圖3,若BD=AB,過O,B,D三點(diǎn)的拋物線L3,頂點(diǎn)為P,對應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3,過點(diǎn)P作PE∥x軸,交拋物線L于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求的值,并直接寫出的值. xx學(xué)年浙江
10、省杭州市青春中學(xué)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、仔細(xì)選一選(本題有10個(gè)小題,每小題3分,共30分) 1.若=,則的值是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì). 【分析】根據(jù)和比性質(zhì),可得答案. 【解答】解:由和比性質(zhì),得 ==, 故選:A. 【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì),利用和比性質(zhì)是解題關(guān)鍵. 2.已知點(diǎn)(﹣2,y1),(﹣4,y,2)在函數(shù)y=x2﹣4x+7的圖象上,那么y1,y2的大小關(guān)系是( ) A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能確定 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 【分析】求出y1
11、,y2的值即可判斷. 【解答】解:∵x=﹣2時(shí),y1=19,x=﹣4時(shí),y2=39, ∴y2>y1, 故選C. 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征,解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法,屬于基礎(chǔ)題,中考常考題型. 3.下列函數(shù)圖象中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小的是( ?。? A.y=﹣ B.y=x C.y=x2 D.y=﹣(x+1)2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象;正比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷. 【解答】解:A、∵k<0,∴y在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大; B、∵k>0,∴y隨著x的增大而增大; C、∵
12、y=x2,∴對稱軸x=0,當(dāng)圖象在對稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大;而在對稱軸左側(cè),y隨著x的增大而減?。? D、∵y=﹣(x+1)2,對稱軸為x=﹣1,a<0,∴當(dāng)x>﹣1,y隨著x的增大而減小,所以x>0時(shí),y隨x的增大而減?。? 故選D. 【點(diǎn)評】本題綜合考查二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性(單調(diào)性),是一道難度中等的題目. 4.如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC和直線DF在l1,l2,l3上的交點(diǎn)分別為:A,B,C,D,E,F(xiàn).已知AB=6,BC=4,DF=9,則DE=( ?。? A.5.4 B.5 C.4 D.3.6 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例. 【分析】
13、根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式:,代入計(jì)算即可. 【解答】解:∵l1∥l2∥l3, ∴, ∵AB=6,BC=4,DF=9, ∴, ∴DE=5.4, 故選A. 【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理,熟練掌握定理內(nèi)容是關(guān)鍵:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例. 5.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,:: =2:3:5,∠BAD=120°,則∠ABC的度數(shù)為( ) A.100° B.105° C.120° D.125° 【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);圓周角定理. 【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理求∠ABC的度數(shù)即可. 【解答】解:如圖所示:連接OA、O
14、B、OC、OD, ∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,:: =2:3:5,∠BAD=120°, ∴∠COD=150°,∠BOC=90°,∠AOB=60°, ∴∠AOD=60°, ∴∠ABC=(150°+60°)=105°; 故選:B. 【點(diǎn)評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理.熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵. 6.在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=的圖象大致是圖中的( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象得出b的范圍,看看是否相同即可. 【解答】解:A、根據(jù)反比例
15、函數(shù)得出b>0,根據(jù)二次函數(shù)得出a>0,b<0, 所以b的范圍不同,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、根據(jù)反比例函數(shù)得出b>0,根據(jù)二次函數(shù)得出a<0,b<0, 所以b的范圍不同,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; C、根據(jù)反比例函數(shù)得出b<0,根據(jù)二次函數(shù)得出a>0,b>0, 所以b的范圍不同,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、根據(jù)反比例函數(shù)得出b>0,根據(jù)二次函數(shù)得出a<0,b>0, 所以b的范圍相同,故本選項(xiàng)正確; 故選D. 【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,能理解反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵. 7.把1到9的自然數(shù)依次寫在9張形狀相同的卡片上,打亂次序放入袋中.從中
16、任意抽出一張卡片,則卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是( ?。? A. B. C. D. 【考點(diǎn)】概率公式. 【分析】先求出2的倍數(shù)和3的倍數(shù)總的個(gè)數(shù),再根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵1~9中是2的倍數(shù)有2,4,6,8四個(gè)數(shù),是3的倍數(shù)有3,6,9三個(gè)數(shù), ∴卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)共有6個(gè)數(shù), ∴從中任意抽出一張卡片,則卡片上的數(shù)是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率是=; 故選C. 【點(diǎn)評】本題考查的是概率公式,熟記隨機(jī)事件的概率公式是解答此題的關(guān)鍵. 8.下列有關(guān)圓的一些結(jié)論:①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°;②圓內(nèi)接正六邊形的邊長與該圓半徑相等;③
17、垂直于弦的直徑平分這條弦;④平分弦的直徑垂直于弦.其中正確的是( ?。? A.①②③ B.①③④ C.②③ D.②④ 【考點(diǎn)】正多邊形和圓;垂徑定理. 【分析】根據(jù)在同圓中一條弦對兩條弧可對①進(jìn)行判斷;根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)對②進(jìn)行判斷;根據(jù)垂徑定理對③進(jìn)行判斷;根據(jù)垂徑定理的推論對④進(jìn)行判斷. 【解答】解:與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°或150°,所以①錯(cuò)誤; 圓內(nèi)接正六邊形的邊長與該圓半徑相等,所以②正確; 垂直于弦的直徑平分這條弦,所以③正確; 平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦,所以④錯(cuò)誤. 故選C 【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理:判斷一件事情的語句,叫做命題.許多命
18、題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成,題設(shè)是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng),一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的,這樣的真命題叫做定理. 9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,G是的中點(diǎn),連結(jié)AD,AG,CD,則下列結(jié)論不一定成立的是( ?。? A.CE=DE B.∠ADG=∠GAB C.∠AGD=∠ADC D.∠GDC=∠BAD 【考點(diǎn)】圓周角定理;垂徑定理;圓心角、弧、弦的關(guān)系. 【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷即可. 【解答】解:∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB, ∴CE=DE,A成立; ∵
19、G是的中點(diǎn), ∴=, ∴∠ADG=∠GAB,B成立; ∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB, ∴=, ∴∠AGD=∠ADC,C成立; ∠GDC=∠BAD不成立,D不成立, 故選:D. 【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系,掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 10.二次函數(shù)y=﹣(x﹣1)2+5,當(dāng)m≤x≤n且mn<0時(shí),y的最小值為2m,最大值為2n,則m+n的值為( ?。? A. B.2 C. D. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值. 【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸以及增減性進(jìn)行解答即可. 【解答】解:二次函數(shù)y=﹣(x﹣1)2+5的大致
20、圖象如下: . ①當(dāng)m≤0≤x≤n<1時(shí),當(dāng)x=m時(shí)y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5, 解得:m=﹣2. 當(dāng)x=n時(shí)y取最大值,即2n=﹣(n﹣1)2+5, 解得:n=2或n=﹣2(均不合題意,舍去); ②當(dāng)m≤0≤x≤1≤n時(shí),當(dāng)x=m時(shí)y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5, 解得:m=﹣2. 當(dāng)x=1時(shí)y取最大值,即2n=﹣(1﹣1)2+5, 解得:n=, 所以m+n=﹣2+=. 故選:D. 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題,二次函數(shù)的增減性,根據(jù)函數(shù)解析式求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵. 二、認(rèn)真填一填(本題有6個(gè)小題,每小題4分,共24分)
21、11.如圖,D是AB上的一點(diǎn).△ABC∽△ACD,且AD=2,BD=4,∠ADC=65°,∠B=43°,則∠A= 72° ,AC= 2 . 【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì). 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出算式,計(jì)算即可. 【解答】解:∵△ABC∽△ACD, ∴∠ACD=∠B=43°,=, ∴∠A=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=72°,AC=2, 故答案為:72°;2. 【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵. 12.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠AOB=70°,則∠C為 35 度. 【考點(diǎn)】圓周角定理. 【專
22、題】計(jì)算題. 【分析】直接利用圓周角定理求解, 【解答】解:∠ACB=∠AOB=35°. 故答案35. 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑. 13.如圖,將弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O,則弧AC= 120 度. 【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);等邊三角形的判定與性質(zhì);圓心角、弧、弦的關(guān)系. 【分析】過O點(diǎn)作OD⊥AC交AC于D,交弧AC于E,連結(jié)OC,BC.根據(jù)垂徑定理可得OD=OE,AD=CD,根據(jù)三角形中位線定理可得OD=
23、BC,再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì),以及鄰補(bǔ)角的定義即可求解. 【解答】解:過O點(diǎn)作OD⊥AC交AC于D,交弧AC于E,連結(jié)OC,BC. ∴OD=OE,AD=CD, ∵AB是直徑, ∴∠ACB=90°,OD=BC, 又∵OC=OB, ∴△OBC是等邊三角形, ∴∠BOC=60°, ∴∠AOC=180°﹣60°=120°,即弧AC=120度. 故答案為:120. 【點(diǎn)評】考查了翻折變換(折疊問題),垂徑定理,三角形中位線定理,等邊三角形的判定和性質(zhì),以及鄰補(bǔ)角的定義,綜合性較強(qiáng),難度中等. 14.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分,對稱軸是直線x=1
24、,①b2>4ac;②4a﹣2b+c<0;③不等式ax2+bx+c>0的解集是x>3;④2a+b=0.其中判斷正確的是?、佗堋。ㄖ惶顚懻_結(jié)論的序號) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(組);二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系. 【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)對①進(jìn)行判斷;由于不能確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),于是可對②③進(jìn)行判斷;由拋物線的對稱軸是直線x=1可對④作出判斷. 【解答】解:∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn), ∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,所以①正確; ∵拋物線的對稱軸是直線x=1,但不能確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo), ∴4a﹣2b+c<0不確定;不等式ax2+bx+c>0的解集x>
25、3錯(cuò)誤,所以②③錯(cuò)誤; ∵拋物線的對稱軸是直線x=1, ∴﹣=1,即b=﹣2a, ∵2a+b=0,所以④正確. 故答案為:①④. 【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式,熟知二次函數(shù)的對稱軸直線方程是解答此題的關(guān)鍵. 15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象過正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C,則ac的值是 ﹣2?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題. 【專題】方程思想. 【分析】設(shè)正方形的對角線OA長為2m,根據(jù)正方形的性質(zhì)則可得出B、C坐標(biāo),代入二次函數(shù)y=ax2+c中,即可求出a和c,從而求積. 【解答】解:設(shè)正方形的對角線OA長為2m,
26、 則B(﹣m,m),C(m,m),A(0,2m); 把A,C的坐標(biāo)代入解析式可得: c=2m①,am2+c=m②, ①代入②得:m2a+2m=m,解得:a=﹣, 則ac=﹣?2m=﹣2. 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及運(yùn)用,體現(xiàn)了方程思想. 16.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,其外角平分線AD交⊙O于D,DM⊥AC于M,下列結(jié)論中正確的是?、佗冖邸。? ①DB=DC; ②AC+AB=2CM; ③AC﹣AB=2AM; ④S△ABD=S△ABC. 【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心. 【分析】由A、B、C、D四點(diǎn)共圓,可得∠FAD=∠BCD,由同弧所對的
27、圓周角相等得到圓周角相等,結(jié)合外角平分線可得∠BCD=∠CBD,可得BD=CD;過點(diǎn)D作DF⊥BE,可以通過證明三角形全等,通過邊的關(guān)系可以得到②AC﹣AB=2AM,③AC+AB=2CM都是正確的;S△ABD和S△ABC的大小無法判斷. 【解答】解:過點(diǎn)D作DF⊥BE于F, ∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓, ∴∠FAD=∠BCD, ∵外角平分線AD交⊙O于D, ∴∠FAD=∠DAC, 又∵∠DBC=∠DAC, ∴∠BCD=∠CBD, ∴①DB=DC,故此選項(xiàng)正確; ∵AD外角平分線,DF⊥BE,DM⊥AC于M, ∴DF=DM, 在△BFD≌△CMD中, , ∴Rt△BFD≌
28、Rt△CMD, ∴BF=CM, 又∵AF=AM, ∴②AC﹣AB=CM+AM﹣AB=CM+AM﹣CM+AF=CM+AM﹣CM+AM=2AM,故此選項(xiàng)正確; ∴③AC+AB=AM+MC+BF﹣FA=AM+MC+MC﹣AM=2CM,故此選項(xiàng)正確; S△ABD和S△ABC的大小無法判斷,④錯(cuò)誤, 故答案為:①②③. 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角、三角形的外角的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì);作出輔助線,利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵. 三、全面答一答(本題有7個(gè)小題,共66分) 17.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象解答下列問題: (1)求出
29、函數(shù)解析式; (2)當(dāng)x為何值時(shí),y<0. 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式. 【分析】(1)設(shè)y=a(x﹣1)2+3,再把b點(diǎn)坐標(biāo)代入可得a的值,進(jìn)而可得函數(shù)解析式; (2)根據(jù)拋物線的對稱性可得另一個(gè)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0),再根據(jù)圖象可得答案. 【解答】解:(1)設(shè)y=a(x﹣1)2+3, ∵過B(4,0), ∴0=a(4﹣1)2+3, 解得:a=﹣, ∴函數(shù)解析式為y=﹣(x﹣1)2+3; (2)∵對稱軸為x=1,B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0), ∴另一個(gè)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0), 當(dāng)y<0時(shí),圖象在x軸下方, ∴x<﹣2或x>
30、4. 【點(diǎn)評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性. 18.已知Rt△AEC中,∠E=90°,請按如下要求進(jìn)行操作和判斷: (1)尺規(guī)作圖:作△AEC的外接圓⊙O,并標(biāo)出圓心O(不寫畫法); (2)延長CE,在CE的延長線上取點(diǎn)B,使EB=EC,連結(jié)AB,設(shè)AB與⊙O的交點(diǎn)為D(標(biāo)出字母B、D),判斷:圖中與相等嗎?請說明理由. 【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖;全等三角形的判定與性質(zhì);圓心角、弧、弦的關(guān)系;圓周角定理. 【分析】(1)先作出AC的中垂線,交AC于O,再以O(shè)為圓心,AO的長為半徑畫圓即可; (2)延長CE,在CE的延長線上取點(diǎn)B,使EB=
31、EC,連結(jié)AB,先判定△AEC≌△AEB(SAS),得出∠CAE=∠DAE即可得出結(jié)論. 【解答】解:(1)如圖所示,⊙O即為所求; (2)延長CE,在CE的延長線上取點(diǎn)B,使EB=EC,連結(jié)AB,則△AEB即為所求, ∵BE=EC,AE=AE,AE⊥BC, ∴△AEC≌△AEB(SAS), ∴∠CAE=∠DAE, ∴與相等. 【點(diǎn)評】本題主要考查了圓心角與弧的關(guān)系,全等三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖的運(yùn)用,解題時(shí)注意:在同圓和等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等. 19.已知某道判斷題的五個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)正確答案,該題滿分為4分,得分規(guī)則是:選出兩個(gè)正確答
32、案且沒有選錯(cuò)誤答案得4分;只選出一個(gè)正確答案且沒有選錯(cuò)誤答案得2分;不選或所選答案中有錯(cuò)誤答案得0分. (1)任選一個(gè)答案,得到2分的概率是 ??; (2)請利用樹狀圖或表格求任選兩個(gè)答案,得到4分的概率; (3)如果小明只能確認(rèn)其中一個(gè)答案是正確的,此時(shí)的最佳答題策略是 A A.只選確認(rèn)的那一個(gè)正確答案 B.除了選擇確認(rèn)的那一個(gè)正確答案,再任選一個(gè) C.干脆空著都不選了. 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法. 【分析】(1)直接根據(jù)概率公式計(jì)算; (2)不妨設(shè)五個(gè)選項(xiàng)分別為A、B、C、D、E,其中A、B為正確選項(xiàng),再列表展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù),找出AB所占結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公
33、式求解; (3)易得只選確認(rèn)的那一個(gè)正確答案可得2分,再計(jì)算除了選擇確認(rèn)的那一個(gè)正確答案,再任意選擇剩下的四個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)所得的分?jǐn)?shù),然后比較兩個(gè)的得分后確定最佳答題策略. 【解答】解:(1)五個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)正確答案,任選一個(gè)答案,選對正確答案的概率=; (2)不妨設(shè)五個(gè)選項(xiàng)分別為A、B、C、D、E,其中A、B為正確選項(xiàng) 列表如下: 共有20種等可能的結(jié)果數(shù),其中AB占2個(gè)結(jié)果數(shù), 所以得4分的概率==; (3)只選確認(rèn)的那一個(gè)正確答案,則可得2分; 若除了選擇確認(rèn)的正確答案A,再從B、C、D、E中任意選擇剩下的四個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè), 則再選正確答案的概率為,選錯(cuò)誤答案的概率為,
34、 所以此時(shí)得分=4×+0×=1, 所以此時(shí)的最佳答題策略是只選確認(rèn)的那一個(gè)正確答案. 故答案為A. 【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A與B的概率. 20.已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.(1)求BD的長; (2)求圖中陰影部分的面積. 【考點(diǎn)】圓周角定理;勾股定理;扇形面積的計(jì)算. 【分析】(1)由AB為⊙O的直徑,得到∠ACB=90°,由勾股定理求得AB,OB=5cm.連OD,得到等腰直角三
35、角形,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論; (2)根據(jù)S陰影=S扇形﹣S△OBD即可得到結(jié)論. 【解答】解:(1)∵AB為⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°, ∵BC=6cm,AC=8cm, ∴AB=10cm. ∴OB=5cm. 連OD, ∵OD=OB, ∴∠ODB=∠ABD=45°. ∴∠BOD=90°. ∴BD==5cm. (2)S陰影=S扇形﹣S△OBD=π?52﹣×5×5=cm2. 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),扇形的面積,三角形的面積,連接OD構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵. 21.某地欲搭建一橋,橋的底部兩端間的距離AB=L
36、,稱跨度,橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱拱高,當(dāng)L和h確定時(shí),有兩種設(shè)計(jì)方案可供選擇:①拋物線型,②圓弧型.已知這座橋的跨度L=32米,拱高h(yuǎn)=8米. (1)如果設(shè)計(jì)成拋物線型,以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求橋拱的函數(shù)解析式; (2)如果設(shè)計(jì)成圓弧型,求該圓弧所在圓的半徑; (3)在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐,在兩種方案中分別求橋墩的高度. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用. 【分析】(1)拋物線的解析式為y=ax2+c,把點(diǎn)C(0,8)和點(diǎn)B(16,0),代入即可求出拋物線解析式; (2)設(shè)弧AB所在的圓心為O,C為弧AB的中點(diǎn),CD⊥AB于D,
37、延長CD經(jīng)過O點(diǎn),設(shè)⊙O的半徑為R,利用勾股定理求出即可; (3)根據(jù)題意畫出圖形,利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長,再求出EF的長即可. 【解答】解:(1)拋物線的解析式為y=ax2+c, 又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,8)和點(diǎn)B(16,0), ∴0=256a+8,a=﹣. ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+8(﹣16≤x≤16); (2)設(shè)弧AB所在的圓心為O,C為弧AB的中點(diǎn),CD⊥AB于D,延長CD經(jīng)過O點(diǎn),設(shè)⊙O的半徑為R, 在Rt△OBD中,OB2=OD2+DB2 ∴R2=(R﹣8)2+162,解得R=20; (3)①在拋物線型中設(shè)點(diǎn)F(x,y)在拋物線上,x=OE=1
38、6﹣4=12, EF=y=3.5米; ②在圓弧型中設(shè)點(diǎn)F′在弧AB上,作F′E′⊥AB于E′, OH⊥F′E′于H,則OH=D E′=16﹣4=12,O F′=R=20, 在Rt△OH F′中,H F′=, ∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12,E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4(米) ∴在離橋的一端4米處,拋物線型橋墩高3.5米; 圓弧型橋墩高4米. 【點(diǎn)評】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理得出是解題關(guān)鍵. 22.若一個(gè)四邊形的兩條對角線互相垂直且相等,則稱這個(gè)四邊形為“奇妙四邊形”.如圖1,四邊形ABCD中,
39、若AC=BD,AC⊥BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個(gè)重要性質(zhì):“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答: (1)矩形 不是 “奇妙四邊形”(填“是”或“不是”); (2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,若⊙O的半徑為6,∠BCD=60°.求“奇妙四邊形”ABCD的面積; (3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M.請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 【考點(diǎn)】圓的綜合題. 【專題】綜合題. 【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和“奇妙四
40、邊形”的定義進(jìn)行判斷; (2)連結(jié)OB、OD,作OH⊥BD于H,如圖2,根據(jù)垂徑定理得到BH=DH,根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°,則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠OBD=30°,在Rt△OBH中可計(jì)算出BH=OH=3,BD=2BH=6,則AC=BD=6,然后根據(jù)奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解; (3)連結(jié)OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如圖3,根據(jù)垂徑定理得到AE=DE,再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC,∠AOE=∠ABD,再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE,則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE,于是有OM=AD. 【解答】解:(
41、1)矩形的對角線相等但不垂直, 所以矩形不是“奇妙四邊形”; 故答案為不是; (2)連結(jié)OB、OD,作OH⊥BD于H,如圖2,則BH=DH, ∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°, ∴∠OBD=30°, 在Rt△OBH中,∵∠OBH=30°, ∴OH=OB=3, ∴BH=OH=3, ∵BD=2BH=6, ∴AC=BD=6, ∴“奇妙四邊形”ABCD的面積=×6×6=54; (3)OM=AD.理由如下: 連結(jié)OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如圖3, ∵OE⊥AD, ∴AE=DE, ∵∠BOC=2∠BAC, 而∠BOC=2∠BOM, ∴∠BOM
42、=∠BAC, 同理可得∠AOE=∠ABD, ∵BD⊥AC, ∴∠BAC+∠ABD=90°, ∴∠BOM+∠AOE=90°, ∵∠BOM+∠OBM=90°, ∴∠OBM=∠AOE, 在△BOM和△OAE中 , ∴△BOM≌△OAE, ∴OM=AE, ∴OM=AD. 【點(diǎn)評】本題考查了圓的綜合題:熟練掌握圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì);會(huì)利用三角形全等解決線段相等的問題. 23.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),平行于x軸的直線與拋物線L:y=ax2相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在第一象限),點(diǎn)D在AB的延長線上. (1)已知a=1,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)
43、為2. ①如圖1,向右平移拋物線L使該拋物線過點(diǎn)B,與AB的延長線交于點(diǎn)C,求AC的長. ②如圖2,若BD=AB,過點(diǎn)B,D的拋物線L2,其頂點(diǎn)M在x軸上,求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式. (2)如圖3,若BD=AB,過O,B,D三點(diǎn)的拋物線L3,頂點(diǎn)為P,對應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3,過點(diǎn)P作PE∥x軸,交拋物線L于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求的值,并直接寫出的值. 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),求出AC的長; ②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點(diǎn)N,根據(jù)拋物線的軸對稱性求出OM,利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)過點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K,
44、設(shè)OK=t,得到OG=4t,利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)拋物線過點(diǎn)B(t,at2),求出的值,根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值. 【解答】解:(1)①二次函數(shù)y=x2,當(dāng)y=2時(shí),2=x2, 解得x1=,x2=﹣, ∴AB=2. ∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過點(diǎn)B, ∴BC=AB=2, ∴AC=4. ②作拋物線L2的對稱軸與AD相交于點(diǎn)N,如圖2, 根據(jù)拋物線的軸對稱性,得BN=DB=, ∴OM=. 設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x﹣)2, 由①得,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2), ∴2=a(﹣)2, 解得a=4. 拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=4(x﹣)2;
45、(2)如圖3,拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G,其對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q, 過點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K, 設(shè)OK=t,則AB=BD=2t,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t,at2), 根據(jù)拋物線的軸對稱性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t. 設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x(x﹣4t), ∵該拋物線過點(diǎn)B(t,at2), ∴at2=a3t(t﹣4t), ∵t≠0, ∴=﹣, 由題意得,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2t,﹣4a3t2), 則﹣4a3t2=ax2, 解得,x1=﹣t,x2=t, EF=t, ∴=. 【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、掌握拋物線的對稱性、正確理解拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.
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