2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教案 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教案 理 教材分析 這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義,導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式sin2a+cos2a=1與,并初步進(jìn)行這些公式的兩類基本應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)是公式sin2a+cos2a=1與的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用: (1)已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè),求其余兩個(gè)三角函數(shù). (2)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明簡(jiǎn)單的三角恒等式. 其中,已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值時(shí),正負(fù)號(hào)的選擇是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn),正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵;證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問題,優(yōu)化自

2、己的解題過程. 教學(xué)目標(biāo) 1. 讓學(xué)生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力. 2. 理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明等問題,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,邏輯推理能力. 3. 通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學(xué)習(xí),揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀. 任務(wù)分析 這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式:sin2a+cos2a=1及,并進(jìn)行初步的應(yīng)用.由于該節(jié)內(nèi)容比較容易,所以,課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習(xí)題的解決都可以放手讓學(xué)生獨(dú)立完成,

3、即由學(xué)生自己把要學(xué)的知識(shí)探索出來,并用以解決新的問題.必要時(shí),教師可以在以下幾點(diǎn)上加以強(qiáng)調(diào):(1)“同角”二字的含義.(2)關(guān)系式的適用條件.(3)化簡(jiǎn)題最后結(jié)果的形式.(4)怎樣優(yōu)化解題過程. 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 教師出示問題:上一節(jié)內(nèi)容,我們學(xué)習(xí)了任意角α的六個(gè)三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線,你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎?你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎? 二、建立模型 1. 引導(dǎo)學(xué)生寫出任意角α的六個(gè)三角函數(shù),并探索它們之間的關(guān)系 在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離是r(r>0),則角α的六個(gè)三角函數(shù)值是 2. 推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式 引導(dǎo)學(xué)生通過觀察

4、、分析和討論,消元(消去x,y,r),從而獲取下述基本關(guān)系. (1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=1. (2)商數(shù)關(guān)系:t: 說明:①當(dāng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時(shí),部分學(xué)生可能會(huì)利用三角函數(shù)線,借助勾股定理及相似三角形的知識(shí)來得出結(jié)論.對(duì)于這種推導(dǎo)方法,教師也應(yīng)給以充分肯定,并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出|sinα|+|c(diǎn)osα|≥1. ②除以上兩個(gè)關(guān)系式外,也許部分學(xué)生還會(huì)得出如下關(guān)系式:. 教師點(diǎn)撥:這些關(guān)系式都很對(duì),但最基本的還是(1)和(2),故為了減少大家的記憶負(fù)擔(dān),只須記?。?)和(2)即可.以上關(guān)系式均為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式. 教師啟發(fā):(1)對(duì)“同角”二字

5、,大家是怎樣理解的? (2)這兩個(gè)基本關(guān)系式中的角α有沒有范圍限制? (3)自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系,大家只要養(yǎng)成善于觀察的習(xí)慣,也許每天都會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).剛才我們發(fā)現(xiàn)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,那么這些關(guān)系式能用于解決哪些問題呢? 三、解釋應(yīng)用 [例 題] 1. 已知sinα=,且α是第二象限角,求角α的余弦值和正切值. 2. 已知tanα=-,且α是第二象限角,求角α的正弦和余弦值. 說明:這兩個(gè)題是關(guān)系式的基本應(yīng)用,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成.可選兩名同學(xué)到黑板前板書,以便規(guī)范解題步驟. 變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”,該題的解答過程又將如何? 師生一起完成該題

6、的解答過程. 解:由題意和基本關(guān)系式,列方程組,得 由②,得sinα=-cosα, 代入①整理,得6cos2α=1,cos2α=. ∵tanα=-<0,∴角α是第二或第四象限角. 當(dāng)α是第二象限角時(shí),cosα=-, 代入②式,得; 當(dāng)α是第四象限角時(shí),cosα=, 代入②式,得. 小結(jié):由平方關(guān)系求值時(shí),要涉及開方運(yùn)算,自然存在符號(hào)的選取問題.由于本題沒有具體指明α是第幾象限角,因此,應(yīng)針對(duì)α可能所處的象限,分類討論. 變式2 把例2變?yōu)椋? 已知tanα=-,求的值. 解法1:由tanα=-及基本關(guān)系式可解得 針對(duì)兩種情況下的結(jié)果居然一致的情況,教師及時(shí)點(diǎn)撥:

7、 觀察所求式子的特點(diǎn),看能不能不通過求sinα,cosα的值而直接得出該分式的值. 學(xué)生得到如下解法: 由此,引出變式3. 已知:tanα=-,求(sinα-cosα)2的值. 有了上一題的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生會(huì)得到如下解法: 教師歸納、啟發(fā):這個(gè)方法成功地避免了開方運(yùn)算,因而也就避開了不必要的討論.遺憾的是,因?yàn)樗皇欠质叫问?,所以解題過程不像“變式2”那樣簡(jiǎn)捷.那么,能解決這一矛盾嗎? 學(xué)生得到如下解法: 教師引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié):(1)由于開方運(yùn)算一般存在符號(hào)選取問題,因此,在求值過程中,若能避免開方的應(yīng)盡量避免. (2)當(dāng)式子為分式且分子、分母都為三角函數(shù)的n(n∈N

8、且n≥1)次冪的齊次式時(shí),采用上述方法可優(yōu)化解題過程. [練 習(xí)] 當(dāng)學(xué)生完成了以上題目后,教師引導(dǎo)學(xué)生討論如下問題: (1)化簡(jiǎn)題的結(jié)果一定是“最簡(jiǎn)”形式,對(duì)三角函數(shù)的“最簡(jiǎn)”形式,你是怎樣理解的? (2)關(guān)于三角函數(shù)恒等式的證明,一般都有哪些方法?你是否發(fā)現(xiàn)了一些技巧? 四、拓展延伸 教師出示問題,啟發(fā)學(xué)生一題多解,并激發(fā)學(xué)生的探索熱情. 已知sinα-cosα=-,180°<α<270°,求tanα的值. 解法1:由sinα-cosα=-,得 反思:(1)解法1的結(jié)果比解法2的結(jié)果多了一個(gè),看來產(chǎn)生了“增根”,那么,是什么原因產(chǎn)生了增根呢? (2)當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了

9、由sinα-cosα=-得到sin2α-2sinαcosα+cos2α=的過程中,α的范圍變大了時(shí),教師再點(diǎn)撥: 怎樣才能使平方變形是等價(jià)的呢? 由學(xué)生得出如下正確答案: ∵180°<α<270°,且sinα-cosα=-<0,∴sinα<0,cosα<0,且|sinα|>|c(diǎn)osα|,因此|tanα|>1,只能取tanα=2. 強(qiáng)調(diào):非等價(jià)變形是解法1出錯(cuò)的關(guān)鍵! 點(diǎn) 評(píng) 這篇案例力求體現(xiàn)新課程理念下的以人為本的思想,充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.教師充當(dāng)著學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、支持者和幫助者的角色.教師和學(xué)生是本課的共同參與者,共同努力完成了這一節(jié)課的教學(xué)活動(dòng).在這節(jié)課上,學(xué)生的積極性被充分調(diào)動(dòng)起來,從而使學(xué)生在積極思維的活動(dòng)中取得了成功并飽嘗到了成功的喜悅.案例中的教學(xué)活動(dòng)體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)和探索性學(xué)習(xí)的方法. 總之,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,強(qiáng)調(diào)質(zhì)疑和化疑,是這篇案例的成功之處.

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