2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題五 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題五 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析） 抓住5個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn) 1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與運(yùn)算 1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1）（為常數(shù)） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2.可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 （1） （2） （3） （4） 3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 4.已知切線的斜率，求切線方程 [高考?？冀嵌萞 角度1 曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ C ） A. B. C. D. 解析：，

2、故切線方程為，令，則 角度2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的最大值是_______解析：設(shè)則，過點(diǎn)作的垂線 ， ，所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減，. 角度3已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足則（ B ） A. B. C. D. 解析：由已知，令，得 角度4函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為正整數(shù)，則的值為__________ 解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng). 在點(diǎn)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得， 所以.

3、 重點(diǎn) 2 定積分與微積分基本定理（理） 1.定積分的性質(zhì) （1） （2） （3）其中 2.微積分基本定理：一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且， 那么 [高考?？冀嵌萞 角度1 的值為（ C ） A. B. C. D. 解析： ，故選C 角度2由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為（ C ） A. B. 4 C. D. 6 解析：由，所求面積為，故選C 角度3 從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)取

4、自陰影部分的概率為（ B ） A. B. C. D. 解析：，故點(diǎn)取自陰影部分的概率為 重點(diǎn) 3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 [高考?？冀嵌萞 角度1 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ D ） A. B. C. D. 解析：由由，故選D 角度2設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立.注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 解析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理能力. （Ⅰ）解：因?yàn)?，其中?

5、 所以 由又 由 所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （Ⅱ）證明：由題意得， ，即 由（Ⅰ）知在內(nèi)單調(diào)遞增 要使對(duì)恒成立， 只要 即 角度3（xx全國(guó)新課程Ⅱ）已知函數(shù). （Ⅰ）設(shè)是的極值點(diǎn)，求,并討論的單調(diào)性； 解析：（Ⅰ） 由得， ，由于，所以令， 所以在為增函數(shù)，且(所以必須分類為和討論) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，, 所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 重點(diǎn) 4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 [高考常考角度] 角度1設(shè)函數(shù)，若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列

6、圖象不可能為的圖象是（ D ） A. B. C. D. 解析：設(shè)，∴， 又∴為的一個(gè)極值點(diǎn)，∴，即， 對(duì)于選項(xiàng)A、B，函數(shù)為 故為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件； 對(duì)于選項(xiàng)C，對(duì)稱軸且開口向下，也滿足條件； 對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)稱軸且開口向上，與圖矛盾，故選D 角度2設(shè)直線與函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為（ D ） A．1 B． C．

7、 D． 解析：由題，，不妨令，則，令解得， 因時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小. 即.故選擇D 角度3設(shè) （1） 若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍； （2） 當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值. 解：（1）已知，， 當(dāng)時(shí)，的最大值為，令 因此時(shí)，函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間， （2）令 所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，有，所以在區(qū)間上的最大值為 又 所以在上的最小值為 從而在區(qū)間上的最大值為 角度4設(shè)，其中為正實(shí)數(shù) （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)； （Ⅱ）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍. 點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的

8、運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力. 解：對(duì)求導(dǎo)得 ① （Ⅰ）當(dāng)，若則解得 、隨的變化如下圖 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以，是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn). （Ⅱ）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號(hào)，結(jié)合①與條件， 知在R上恒成立， 因此由此并結(jié)合，知 故的取值范圍為 重點(diǎn) 5 導(dǎo)數(shù)在研究不等式中的應(yīng)用 [高考常考角度] 角度1已知函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，

9、； 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)? （i）若則在單調(diào)遞增 （ii）若則由得 且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 （Ⅱ）設(shè)函數(shù)則 當(dāng)時(shí)，而 故當(dāng)時(shí)， 角度2設(shè)（為常數(shù)），曲線與直線在相切. （1）求的值； （2）證明：當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，是難題. 解析：（1）由的圖象過點(diǎn)，代入得 由在處的切線斜率為，得由在處的切線斜率為， 有，得 （2）（證法一）由均值不等式，當(dāng)時(shí)，，故 記 則， 令，則當(dāng)時(shí)， 因此在內(nèi)是減函數(shù)，又由，得，所以 因此在內(nèi)

10、是減函數(shù)，又由，得，于是當(dāng)時(shí)， 突破3個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究多元不等式問題 典例 已知函數(shù). （1）若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍； （2）設(shè)且，求證： 解析：（1）由已知 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立 當(dāng)時(shí)，由得 設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào) （2）由于交換不影響不等式結(jié)構(gòu)，故可設(shè)，原不等式等價(jià)于， 即， 即 設(shè)，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又， 成立， 即 難點(diǎn)2 利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列問題 典例 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且其中. （1）求數(shù)列的

11、通項(xiàng)公式； （2）令記數(shù)列的前項(xiàng)積為其中，試比較與的大小，并加以證明. 解析：（1）由得 所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列 由，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （2），證明如下：構(gòu)造函數(shù),則，故在上遞減 所以，故，所以 設(shè)則， 相減得 故 難點(diǎn)3 利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題 典例 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍. 解析：(Ⅰ) 由或，由 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減

12、 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則有 ，故的取值范圍為 點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的問題，會(huì)涉及到三個(gè)根、兩個(gè)根、一個(gè)根的情況，具體的等價(jià)關(guān)系需要通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行有效分析，找出合適的控制條件. 規(guī)避5個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義不明 典例 已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為 （1）求證：為關(guān)于的方程的兩根 （2）設(shè)求的表達(dá)式. 解析：（1）由已知，， 切線方程為，又切線過點(diǎn)， ① 同理，切線也過點(diǎn)，可得 ② 由①②可得為關(guān)于的方程 （*） 的兩根 （2）由（*）式知 易失

13、分點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù) （1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若是的極值點(diǎn)，求在的最小值和最大值. 解析：（1）由已知， 令 記，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)， 故實(shí)數(shù)的取值范圍是 （2）由題意，， 由或；由 又，故在上遞增，在上遞減， 時(shí)，有極小值 于是 時(shí)，,而 易失分點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)符號(hào)與極值關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù)在處有極值，求的值. 解析：由已知，，由題意得且， 即且，解之得或 （點(diǎn)評(píng)：有些人以為到此就已經(jīng)解決問題了，其實(shí)不然，還需要作出判斷予以確認(rèn).） 當(dāng)時(shí)，在附近兩側(cè)的符號(hào)相反

14、 所以滿足題意 當(dāng)時(shí)，在附近兩側(cè)的符號(hào)相同 所以不滿足題意，舍去. 綜上， 易失分點(diǎn)4 導(dǎo)數(shù)符號(hào)與極值關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù) 在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍 解析：由已知， 若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即恒成立 令，，可得，故 若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即恒成立 令，，可得，故 綜上可知，的取值范圍是 易失分點(diǎn)5 定積分與平面圖形面積關(guān)系理解不透徹（理） 典例 如圖，直線分拋物線與軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則________ 解析：由已知，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 所以拋物線與軸圍成的面積為 設(shè)拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則， 所以 ， 又，