2022年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積課堂探究 新人教B版必修2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺(tái)和球的體積課堂探究 新人教B版必修2 探究一 柱體的體積 1．柱體(棱柱、圓柱)的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積，即V柱體＝Sh．底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積的計(jì)算公式是V圓柱＝πr2h． 2．平行六面體的體積求解是比較常見的，因?yàn)槠叫辛骟w的六個(gè)面都是平行四邊形，故可以用任意一組平行的面作為底面，其余面作為側(cè)面．解題時(shí)，我們以解直棱柱的體積居多，故在平行六面體中選底面時(shí)，以構(gòu)成直棱柱為首選因素． 【典型例題1】 (1)如圖，某幾何體的主視圖是平行四邊形，左視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為(　　) A．

2、 B． C． D． 解析：由三視圖知，該幾何體為平行六面體，由圖知高h(yuǎn)＝＝． 底面積：S＝3×3＝9， 所以其體積V＝． 答案：B (2)用一塊長(zhǎng)4 m，寬2 m的矩形鐵皮卷成一個(gè)圓柱形鐵筒，如何制作可使鐵筒的體積最大？ 解：①若以矩形的長(zhǎng)為圓柱的母線l，則l＝4 m，此時(shí)圓柱底面周長(zhǎng)為2 m，即圓柱底面半徑為R＝m，所以圓柱的體積為V＝πR2·l＝·4＝(m3)． ②若以矩形的寬為圓柱的母線，同理可得V＝(m3)， 所以第二種方法可使鐵筒體積最大． 探究二 錐體的體積 求錐體的體積常見的方法： (1)公式法：直接代入公式求解． (

3、2)等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可． (3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱、三棱柱補(bǔ)成四棱柱等． (4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積． 【典型例題2】 圓錐底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則這個(gè)圓錐的體積為(　　) A．36π B．18π C．45π D．12π 解析：V圓錐＝πr2·h， 由于r＝3，h＝4(其軸截面如圖)， 得V＝×π×9×4＝12π． 答案：D 探究三 臺(tái)體的體積 1．臺(tái)體體積公式適用于棱臺(tái)和圓臺(tái)． 2．圓臺(tái)(棱臺(tái))的

4、高是指兩個(gè)底面之間的距離． 3．柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)系如圖所示． 【典型例題3】 若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是(　　) A．cm3 B．cm3 C． cm3 D． cm3 解析：由三視圖可知該幾何體上部分為一長(zhǎng)方體，下部分為正四棱臺(tái)． V＝4×4×2＋(42＋4×8＋82)×2＝(cm3)． 答案：B 探究四 球的體積 球的體積的計(jì)算常與其他幾何體結(jié)合，將球的性質(zhì)、簡(jiǎn)單幾何體的性質(zhì)融合在一起考查． 常見的有內(nèi)切和外接問(wèn)題，求解與球有關(guān)的切接問(wèn)題時(shí)要認(rèn)真分析題中已知條件，明確切點(diǎn)或接點(diǎn)的位置

5、，正確作出截面圖，再分析相關(guān)量間的數(shù)量關(guān)系． 【典型例題4】 平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A． B． C． D． 解析：利用截面圓的性質(zhì)先求得球的半徑長(zhǎng)． 如圖所示，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)， 則OO′＝，O′M＝1， 所以O(shè)M＝＝，即球的半徑為． 所以V＝＝． 答案：B 探究五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：將幾何體誤認(rèn)為錐體而致誤 【典型例題5】 如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成了AEF-A1B1C

6、1和BB1E-CC1F兩部分，它們的體積分別為V1，V2，那么V1∶V2＝__________． 錯(cuò)解：由已知可知幾何體AEF-A1B1C1是三棱臺(tái)，幾何體BB1E-CC1F是四棱錐． 設(shè)三棱柱的底面積為S，高為h，則由錐、臺(tái)的體積公式可得， V1＝＝，V2＝＝． 所以V1∶V2＝∶＝7∶3． 錯(cuò)因分析：幾何體BB1E-CC1F不是一個(gè)規(guī)則的幾何體，而錯(cuò)解中將其看成了錐體． 正解：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh． 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以S△AEF＝， V1＝＝，V2＝Sh－V1＝， 故V1∶V2＝7∶5． 答案：7∶5