2022年高中數(shù)學 2-2-1雙曲線及其標準方程同步練習 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學 2-2-1雙曲線及其標準方程同步練習 新人教B版選修1-1 一、選擇題 1．已知點F1(0，－13)，F(xiàn)2(0,13)，動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為(　　) A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13) C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不對 [答案]　C [解析]　∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|， ∴點P的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線． 2．已知定點A，B，且|AB|＝4，動點P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為(　　) A. B. C.

2、 D．5 [答案]　C [解析]　點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，如右圖所示，當P與雙曲線右支頂點M重合時，|PA|最小，最小值為a＋c＝＋2＝，故選C. 3．已知方程－＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是(　　) A．－10 C．k≥0 D．k>1或k<－1 [答案]　A [解析]　由題意得(1＋k)(1－k)>0， ∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1

3、m2，c2＝a2＋b2＝16， ∴c＝4，∴焦距2c＝8. 5．已知雙曲線方程為－＝1，那么它的焦距為(　　) A．10 B．5 C. D．2 [答案]　A [解析]　∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5， ∴焦距2c＝10. 6．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個焦點為(0,3)，那么k的值為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ [答案]　B [解析]　方程8kx2－ky2＝8可化為：－＝1， 又它的一個焦點為(0,3)， ∴a2＝－，b2＝－，c2＝－＝9，∴k＝－1. 7．已知雙曲線的左、右焦點

4、分別為F1、F2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是(　　) A．16 B．18 C．21 D．26 [答案]　D [解析]　∵|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8， ∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16， ∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21， ∴△ABF2的周長為|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 8．已知雙曲線－＝1上一點P到焦點F1的距離為8，則P到焦點F2的距離為(　　) A．2 B．2或14 C．14 D

5、．16 [答案]　B [解析]　如圖， 設F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點， 由已知得a＝3，b＝4，c＝5， ∵雙曲線右頂點到左焦點F1的距離為a＋c＝8， ∴點P在雙曲線右頂點時，|PF2|＝c－a＝5－3＝2， 當點P在雙曲線左支上時，|PF2|－|PF1|＝2a＝6， ∴|PF2|＝|PF1|＋6＝8＋6＝14. 9．動圓與圓x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，則動圓圓心的軌跡為(　　) A．雙曲線的一支 B．圓 C．拋物線 D．雙曲線 [答案]　A [解析]　設動圓半徑為r，圓心為O，x2＋y2＝1的圓心為O1，圓x2＋

6、y2－8x＋12＝0的圓心為O2， 由題意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2， ∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由雙曲線的定義知，動圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支． 10．已知雙曲線的兩個焦點為F1(－，0)、F2(，0)，P是此雙曲線上的一點，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，則該雙曲線的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 [答案]　C [解析]　∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，

7、 ∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1. 雙曲線方程為－y2＝1. 二、填空題 11．過雙曲線－＝1的左焦點F1的直線交雙曲線的左支于M，N兩點，F(xiàn)2為其右焦點，則|MF2|＋|NF2|－|MN|的值為________． [答案]　8 [解析]　|MF2|＋|NF2|－|MN|＝(MF2－MF1)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8. 12．設一圓過雙曲線－＝1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是________． [答案]　 [解析]　設圓心為P(x0，y0)，則|x0|＝＝4，代入－＝1，得y＝，所以|OP|＝＝.

8、13．過雙曲線－＝1的焦點且與x軸垂直的弦的長度為________． [答案]　 [解析]　∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7， ∴c＝，弦所在直線方程為x＝， 由得y2＝，∴|y|＝，弦長為. 14．如果橢圓＋＝1與雙曲線－＝1的焦點相同，那么a＝________. [答案]　1 [解析]　由題意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1. 三、解答題 15．討論＋＝1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征． [解析]　(1)當k<9時，25－k>0,9－k>0，所給方程表示橢圓，此時a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，這些橢圓有共同的焦點(－4,0)，(4,0)

9、． (2)當90,9－k<0，所給方程表示雙曲線，此時，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，這些雙曲線也有共同的焦點(－4,0)，(4,0)． (3)當k>25時，所給方程沒有軌跡． 16．設雙曲線－＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個焦點，點M在雙曲線上． (1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面積； (2)若∠F1MF2＝60°時，△F1MF2的面積是多少？若∠F1MF2＝120°時，△F1MF2的面積又是多少？ [解析]　結合雙曲線的定義，注意三角形面積公式的應用． (1)由雙曲線的方程知a＝2，b＝3，c＝， 設|MF1|＝r1，|

10、MF2|＝r2(r1>r2) 如圖所示． 由雙曲線定義，有r1－r2＝2a＝4. 兩邊平方得r＋r－2r1r2＝16， 因為∠F1MF2＝90°，所以r＋r＝|F1F2|2＝(2c)2＝52， 17．設雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，在第一象限的交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的方程． [解析]　橢圓＋＝1的焦點為(0，±3)， 由題意，設雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)， 又點A(x0,4)在橢圓＋＝1上，∴x＝15， 又點A在雙曲線－＝1上，∴－＝1， 又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5， 所求的雙曲線方程為：－＝1. 18．已知△A

11、BC的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點A是動點，使sinB－sinC＝sinA.求點A的軌跡． [解析]　以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系，則B(－6,0)、C(6,0)，設A(x，y)是所求軌跡上任一點，則y≠0. 因為sinB－sinC＝sinA，利用正弦定理，我們有|AC|－|AB|＝|BC|，結合雙曲線定義，動點到兩個定點C、B的距離之差為6，動點A位于以B、C為焦點的雙曲線上．又注意到，此時A點只能在左支上，并且不能與左頂點重合． 雙曲線中，實軸長為6，焦距為12，則a＝3，c＝6，b2＝c2－a2＝27，中心在原點，兩焦點在x軸上，方程為－＝1. 所以A點軌跡是雙曲線－＝1的左支，并且除去點(－3,0)．