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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 空間直角坐標(biāo)系教案 理
教材分析
這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的二維的平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上的推廣,是以后學(xué)習(xí)“空間向量”等內(nèi)容的基礎(chǔ).通過建立空間直角坐標(biāo)系,可以將空間內(nèi)任一點用有序數(shù)組來表示;反過來,任一有序數(shù)組就對應(yīng)一個點,這樣空間直角坐標(biāo)系中的點就有了坐標(biāo)表示.在空間中引入坐標(biāo)的目的和物理學(xué)中引入單位制一樣,是提供一個度量幾何對象的方法.因此,研究空間圖形就可以代數(shù)化,實現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.這節(jié)課學(xué)完后,如把幾何體放入空間直角坐標(biāo)系中來研究,幾何體上的點就有了坐標(biāo)表示,一些題目如兩點間距離、異面直線成的角、二面角的平面角等就可借助于空間向量
2、來解答,所以,這節(jié)課對于溝通高中各部分知識,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),起到了很重要的作用.
教學(xué)目標(biāo)
1. 讓學(xué)生經(jīng)歷用類比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標(biāo)系的建立方法,進一步體會數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過程,學(xué)會科學(xué)的思維方法.
2. 理解空間直角坐標(biāo)系與點的坐標(biāo)的意義,掌握由空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點確定其坐標(biāo)或由坐標(biāo)確定其在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點,認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系中的點與坐標(biāo)的關(guān)系.
3. 進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與確定性思維能力.
任務(wù)分析
點在三維空間內(nèi)位置的確定是一個比較抽象的過程,學(xué)生在這個方面還沒有形成清晰的認(rèn)識,教學(xué)時應(yīng)充分類比以往點在直線、點在平面內(nèi)位置的確定方式.通過
3、實例,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探索欲望,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,引導(dǎo)學(xué)生順理成章地得出通過建立空間直角坐標(biāo)系利用點的坐標(biāo)來確定點在空間內(nèi)的位置.要特別強調(diào)點與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系,來強化對點的坐標(biāo)的理解.圍繞在空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的確定這一教學(xué)重點,通過鞏固與練習(xí)反復(fù)強化如何在坐標(biāo)系中利用點的坐標(biāo)的概念來確定點的坐標(biāo)這一過程,以鞏固學(xué)生對新知識的理解,實現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍.
教學(xué)設(shè)計
一、問題情景
1. 確定一個點在一條直線上的位置的方法.
2. 確定一個點在一個平面內(nèi)的位置的方法.
例:如圖26-1,要在一塊長10cm、寬5cm的鐵板上鉆一個孔.若孔中心到鐵板左邊為2cm,
4、到下邊為4cm(鐵板擺放位置已定),問孔中心的位置是否確定.
3. 如何確定一個點在三維空間內(nèi)的位置?
例:如圖26-2,在房間(立體空間)內(nèi)如何確定電燈位置?
在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上,教師明確:確定點在直線上,通過數(shù)軸需要一個數(shù);確定點在平面內(nèi),通過平面直角坐標(biāo)系需要兩個數(shù).那么,要確定點在空間內(nèi),應(yīng)該需要幾個數(shù)呢?通過類比聯(lián)想,容易知道需要三個數(shù).要確定電燈的位置,知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可.
(此時學(xué)生只是意識到需要三個數(shù),還不能從坐標(biāo)的角度去思考,因此,教師在這兒要重點引導(dǎo))
教師明晰:在地面上建立直角坐標(biāo)系xOy,則地面上任一點的位置只須利用x
5、,y就可確定.為了確定不在地面內(nèi)的電燈的位置,須要用第三個數(shù)表示物體離地面的高度,即需第三個坐標(biāo)z.因此,只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可.例如,若這個電燈在平面xOy上的射影的兩個坐標(biāo)分別為4和5,到地面的距離為3,則可以用有序數(shù)組(4,5,3)確定這個電燈的位置(如圖26-3).
這樣,仿照初中平面直角坐標(biāo)系,就建立了空間直角坐標(biāo)系O—xyz,從而確定了空間點的位置.
二、建立模型
1. 在前面研究的基礎(chǔ)上,先由學(xué)生對空間直角坐標(biāo)系予以抽象概括,然后由教師給出準(zhǔn)確的定義.
從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸,這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系O—
6、xyz,點O叫作坐標(biāo)原點,x軸、y軸、z軸叫作坐標(biāo)軸,這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面,分別稱為xO平面,yO平面,zOx平面.
教師進一步明確:
(1)在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系,課本中建立的坐標(biāo)系都是右手坐標(biāo)系.
(2)將空間直角坐標(biāo)系O—xyz畫在紙上時,x軸與y軸、x軸與z軸成135°,而y軸垂直于z軸,y軸和z軸的單位長度相等,但x軸上的單位長度等于y軸和z軸上的單位長度的,這樣,三條軸上的單位長度直觀上大致相等.
2. 空間直角坐標(biāo)系O—xyz中點的坐標(biāo).
思考:在空間直角坐標(biāo)
7、系中,空間任意一點A與有序數(shù)組(x,y,z)有什么樣的對應(yīng)關(guān)系?
在學(xué)生充分討論思考之后,教師明確:
(1)過點A作三個平面分別垂直于x軸,y軸,z軸,它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P,Q,R,點P,Q,R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x,y,z,這樣,對空間任意點A,就定義了一個有序數(shù)組(x,y,z).
(2)反之,對任意一個有序數(shù)組(x,y,z),按照剛才作圖的相反順序,在坐標(biāo)軸上分別作出點P,Q,R,使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x,y,z,再分別過這些點作垂直于各自所在的坐標(biāo)軸的平面,這三個平面的交點就是所求的點A.
這樣,在空間直角坐標(biāo)系中,空間任意一點A與有序數(shù)組(
8、x,y,z)之間就建立了一種一一對應(yīng)關(guān)系:A(x,y,z).
教師進一步指出:空間直角坐標(biāo)系O—xyz中任意點A的坐標(biāo)的概念
對于空間任意點A,作點A在三條坐標(biāo)軸上的射影,即經(jīng)過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P,Q,R,點P,Q,R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x,y,z,我們把有序數(shù)組(x,y,z)叫作點A的坐標(biāo),記為A(x,y,z).(如圖26-4)
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中,作出點P(5,4,6).
注意:在分析中緊扣坐標(biāo)定義,強調(diào)三個步驟,第一步從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位,第二步沿與y軸平行的
9、方向向右移動4個單位,第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位(如圖26-5).
2. (1)在空間直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)平面xOy,xOz,yOz上點的坐標(biāo)有什么特點?
(2)在空間直角坐標(biāo)系中,x軸、y軸、z軸上點的坐標(biāo)有什么特點?
解:(1)xOy平面、xOz平面、yOz平面內(nèi)的點的坐標(biāo)分別形如(x,y,0),(x,0,z),(0,y,z).
(2)x軸、y軸、z軸上點的坐標(biāo)分別形如(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z).
3. 已知長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長AB=12,AD=8,AA′=5,以這個長方體的頂點A為坐標(biāo)原點,射線AB,AD,AA′分別為x軸、
10、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求這個長方體各個頂點的坐標(biāo).
注意:此題可以由學(xué)生口答,教師點評.
解:A(0,0,0),B(12,0,0),D(0,8,0),A′(0,0,5),C(12,8,0),B′(12,0,5),D′(0,8,5),C′(12,8,5).
討論:若以C點為原點,以射線CB,CD,CC′方向分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,那么各頂點的坐標(biāo)又是怎樣的呢?
得出結(jié)論:建立不同的坐標(biāo)系,所得的同一點的坐標(biāo)也不同.
[練 習(xí)]
1. 在空間直角坐標(biāo)系中,畫出下列各點:A(0,0,3),B(1,2,3),C(2,0,4),D(-1,2,-2
11、).
2. 已知:長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長AB=12,AD=8,AA′=7,以這個長方體的頂點B為坐標(biāo)原點,射線AB,BC,BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求這個長方體各個頂點的坐標(biāo).
3. 寫出坐標(biāo)平面yOz上∠yOz平分線上的點的坐標(biāo)滿足的條件.
四、拓展延伸
1. 分別寫出點(1,1,1)關(guān)于各坐標(biāo)軸和各個坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo).
2. 設(shè)z為任意實數(shù),相應(yīng)的所有點P(1,2,z)的集合是什么圖形?
3. 試將平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式類比到空間直角坐標(biāo)系中去.
點 評
這篇案例主要采用啟發(fā)式教學(xué)方法,通過激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲
12、望,使學(xué)生主動參與教學(xué)實踐活動.首先,為了使學(xué)生比較順利地實現(xiàn)從線到平面、再從平面到空間的變化,即從一維到二維、再從二維到三維向量的變化,采用了類比的數(shù)學(xué)教學(xué)手段,順利地引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)了這一變化,同時引起了學(xué)生的興趣.
在整個教學(xué)過程中,內(nèi)容由淺入深,環(huán)環(huán)相扣,不僅使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中了解了知識的發(fā)生、發(fā)展的過程,也使學(xué)生嘗到了成功的喜悅.這對增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,起到了很好的作用.在研究過程中,充分運用了類比、交換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,有效地培養(yǎng)了學(xué)生的思想品質(zhì).在求空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)時,學(xué)生不僅會很自然地運用類比的思想方法,也鍛煉了他們的空間思維能力.
就整體而言,空間直角坐標(biāo)系是空間向量的根基,這種課屬于典型的起始課教學(xué).這篇案例在體現(xiàn)坐標(biāo)思想、概念教學(xué)等方面做了成功的探究.