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1、2022年高三數(shù)學總復(fù)習 函數(shù)的單調(diào)性教案 理
教材分析
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要特性之一,它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性地聯(lián)系在一起.在初中學習函數(shù)時,借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性.這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高.這節(jié)通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象,概括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準確含義,明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的.教材中判斷函數(shù)的增減性,既有從圖像上進行觀察的直觀方法,又有根據(jù)其定義進行邏輯推理的嚴格方法,最后將兩種方法統(tǒng)一起來,形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論,進而用推理證明猜想的體系.這節(jié)內(nèi)容的重點是理解函數(shù)單調(diào)性的概念以及利用
2、函數(shù)的單調(diào)性的概念證明函數(shù)的單調(diào)性,難點是理解函數(shù)單調(diào)性的概念.
教學目標
1. 通過對增函數(shù)、減函數(shù)概念的歸納、抽象和概括,體驗數(shù)學概念的產(chǎn)生和形成過程,培養(yǎng)學生從特殊到一般的抽象概括能力.
2. 掌握增函數(shù)、減函數(shù)等函數(shù)單調(diào)性的概念,理解函數(shù)增減性的幾何意義,并能初步運用所學知識判斷或證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性,培養(yǎng)學生對數(shù)學的理解能力和邏輯推理能力.
3. 通過對函數(shù)單調(diào)性的學習,初步體會知識發(fā)生、發(fā)展、運用的過程,培養(yǎng)學生形成科學的思維.
任務(wù)分析
這節(jié)內(nèi)容學生在初中已有了較為粗略的認識,即主要根據(jù)觀察圖像得出結(jié)論.這節(jié)函數(shù)增減性的定義,是運用數(shù)學符號將自然語言的描述提升到形
3、式化的定義,學生接受起來可能比較困難.在引入定義時,要始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像來進行,以增強直觀性,采用由具體到抽象,再由抽象到具體的思維方法,便于學生理解.對于定義,要注意對區(qū)間上所取兩點x1,x2的“任意性”的理解,多給學生操作與思考的時間和空間.
教學設(shè)計
一、問題情境
1. 如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖:
(1)觀察這個氣溫變化圖,說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況.
(2)怎樣用數(shù)學語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時間的增大,氣溫逐漸升高或下降”這一特征?
2. 分別作出下列函數(shù)的圖像:
(1)y=2x. (2)y=-x+2. ?。?)y=x2.
根據(jù)三個函數(shù)圖像,分別指出
4、當x∈(-∞,+∞)時,圖像的變化趨勢?
二、建立模型
1. 首先引導(dǎo)學生對問題2進行探討———觀察分析
觀察函數(shù)y=2x,y=-x+2,y=x2圖像,可以發(fā)現(xiàn):y=2x在(-∞,+∞)上、y=x2在(0,+∞)上的圖像由左向右都是上升的;y=-x+2在(-∞,+∞)上、y=x2在(-∞,0)上的圖像由左向右都是下降的.函數(shù)圖像的“上升”或“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)———單調(diào)性.那么,如何描述函數(shù)圖像“上升”或“下降”這個圖像特征呢?
以函數(shù)y=x2,x∈(-∞,0)為例,圖像由左向右下降,意味著“隨著x的增大,相應(yīng)的函數(shù)值y=f(x)反而減小”,如何量化呢?取自變量的兩個不同的
5、值,如x1=-5,x2=-3,這時有x1<x2,f(x1)>f(x2),但是這種量化并不精確.因此,x1,x2應(yīng)具有“任意性”.所以,在區(qū)間(-∞,0)上,任取兩個x1,x2得到f(x1)=,f(x2)=.當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2).這時,我們就說f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是減函數(shù).
注意:在這里,要提示學生如何由直觀圖像的變化規(guī)律,轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,即自變量x變化時對函數(shù)值y的影響.必要時,對x,y可舉出具體數(shù)值,進行引導(dǎo)、歸納和總結(jié).這里的“都有”是對應(yīng)于“任意”的.
2. 在學生討論歸納函數(shù)單調(diào)性定義的基礎(chǔ)上,教師明晰———抽象概括
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I
6、:
如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么我們就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)[如圖8-2(1)].
如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么我們就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)[如圖8-2(2)].
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么我們就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫作y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
3. 提出問題,組織學生討論
(1)定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(2)>f(1),能否判斷
7、函數(shù)f(x)在R是增函數(shù)?
(2)定義在R上函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是增函數(shù),判斷函數(shù)f(s)在R上是否為增函數(shù).
(3)觀察問題情境1中氣溫變化圖像,根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù).
強調(diào):定義中x1,x2是區(qū)間D上的任意兩個自變量;函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 證明函數(shù)f(x)=2x+1,在(-∞,+∞)是增函數(shù).
注:要規(guī)范解題格式.
2. 證明函數(shù)f(x)=,在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù).
思考:能否說,函數(shù)f(x)=在定義域(-∞,
8、0)∪(0,+∞)上是減函數(shù)?
3. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上保號(恒正或恒負),且f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),求證:f(x)=在區(qū)間D上為減函數(shù).
證明:設(shè)x1,x2∈D,且x1<x2,
∵f(x)在區(qū)間D上保號,∴f(x1)f(x2)>0.
又f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù),∴f(x1)-f(x2)<0,從而g(x1)-g(x2)>0,∴g(x)在D上為減函數(shù).
[練 習]
1. 證明:(1)函數(shù)f(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù).
(2)函數(shù)f(x)=x2-x在(-∞,]上是減函數(shù).
2. 判斷函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.
3. 如果函數(shù)y=f(x)是R
9、上的增函數(shù),判斷g(x)=kf(x),(k≠0)在R上的單調(diào)性.
四、拓展延伸
1. 根據(jù)圖像,簡要說明近150年來人類消耗能源的結(jié)構(gòu)變化情況,并對未來100年能源結(jié)構(gòu)的變化趨勢作出預(yù)測.
2. 判斷二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a≠0)的單調(diào)性,并用定義加以證明.
3. 如果自變量的改變量Δx=x2-x1<0,函數(shù)值的改變量Δy=f(x2)-f(x1)>0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)?
4. 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比叫作函數(shù)f(x)在x1,x2之間的平均變化率.
(1)根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù).
(
10、2)比值的大小與函數(shù)值增長的快慢有什么關(guān)系?
點 評
這篇案例設(shè)計完整,思路清晰.案例首先通過實例闡述了函數(shù)單調(diào)性產(chǎn)生的背景,歸納、抽象概括出了增函數(shù)、減函數(shù)的定義,充分體現(xiàn)了數(shù)學教學的本質(zhì)是數(shù)學思維過程的教學,符合新課程標準的精神.例題與練習由淺入深,完整,全面.“拓展延伸”的設(shè)計有新意,有深度,為學生數(shù)學思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺.
這篇案例的突出特點,體現(xiàn)在如下幾個方面:
1. 強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握
由于數(shù)學高度抽象的特點,注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在數(shù)學中要引導(dǎo)學生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學概念的過程,在初步運用中逐步理解概念的本質(zhì).
2. 注重聯(lián)系,提高對數(shù)學整體的認識
數(shù)學的發(fā)展既有內(nèi)在的動力,也有外在的動力.在高中數(shù)學的教學中,要注重數(shù)學的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系,數(shù)學與日常生活的聯(lián)系,數(shù)學與其他學科的聯(lián)系.例如,通過研討本節(jié)課“拓展延伸”中的第1個問題,可以大大提高了學生學習的積極性和主動性.
3. 注重數(shù)學知識與實際的聯(lián)系,發(fā)展學生的應(yīng)用意識和能力
在數(shù)學教學中,應(yīng)注重發(fā)展學生的應(yīng)用意識;通過豐富的實例引入數(shù)學知識,引導(dǎo)學生應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題,經(jīng)歷探索、解決問題的過程,體會數(shù)學的應(yīng)用價值,幫助學生認識到:數(shù)學與我有關(guān),與實際生活有關(guān);數(shù)學是有用的,我要用數(shù)學,我能用數(shù)學.