《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.8直線與圓錐曲線試題 理 蘇教版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.8直線與圓錐曲線試題 理 蘇教版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.8直線與圓錐曲線試題 理 蘇教版
一、填空題
1.已知雙曲線x2-=1的一條漸近線與直線x-2y+3=0垂直,則a=________.
解析 由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征知a>0,其漸近線方程為x±y=0,可得漸近線x+y=0與直線x-2y+3=0垂直,所以a=4.
答案 4
2.以雙曲線x2-4y2=4的中心頂點(diǎn),右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是________.
解析 設(shè)拋物線的方程為y2=2px,則由焦點(diǎn)相同的條件可知=?p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.
答案 y2=4x
3.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1,y1),B
2、(x2,y2),若AB=7,則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________.
解析 由題知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由拋物線定義知:AB=AF+BF=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,因此M到拋物線準(zhǔn)線的距離為+1=.
答案
4.設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為________.
解析 雙曲線-=1的一條漸近線為y=x,由方程組消去y得,x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=2-4=0,=2,e=== =.
答案
5.若斜率為
3、1的直線l與橢圓+y2=1交于不同兩點(diǎn)A、B,則AB的最大值為________.
解析 設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入+y2=1消去y得x2+2tx+t2-1=0,由題意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5,弦長AB=·≤.
答案
6.已知雙曲線方程是x2-=1,過定點(diǎn)P(2,1)作直線交雙曲線于P1,P2兩點(diǎn),并使P(2,1)為P1P2的中點(diǎn),則此直線方程是________________.
解析 設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則由x-=1,x-=1,得k====4,從而所求方程為4x-y-7=0.將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14x2-56x+51=0
4、,Δ>0,故此直線滿足條件.
答案 4x-y-7=0
7.已知橢圓+=1(a>b>0),A為左頂點(diǎn),B為短軸一頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),
且⊥,則此橢圓的離心率為________.
解析 ∵AB=,BF=a,AF=a+c.
又∵⊥,∴AB2+BF2=AF2,
即2a2+b2=a2+c2+2ac,
∴c2+ac-a2=0,
∴=.
所求的離心率為.
答案
8.已知點(diǎn)A(0,2),拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,線段FA交拋物線于點(diǎn)B,過B作l的垂線,垂足為M,若AM⊥MF,則p=________.
解析 依題意,設(shè)點(diǎn)B,點(diǎn)F,M,
則=,=,
=,=.
5、
由∥得×(-2)-(y1-2)=0,
即y+y1-p2=0. ①
由AM⊥MF得·=+y1(y1-2)=0,
即y-2y1+=0, ②
由①-②得y1=③,把③代入②,解得p=.
答案
9.已知橢圓x2+2y2-2=0的兩個焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,B為短軸的一個端點(diǎn),
則△BF1F2的外接圓方程是________.
解析 F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè)B(0,1),則△BF1F2為等腰直角三角形,故它的外接圓方程為x2+y2=1.
答案 x2+y2=1
10.已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相
6、交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則x+x的最小值是________.
解析 設(shè)過點(diǎn)P的直線為y=k(x-4),
當(dāng)k不存在時,A(4,4),B(4,-4),則x+x=32,
當(dāng)k存在時,有k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,
則x1+x2=8+,x1·x2=16,
故x+x=(x1+x2)2-2x1x2=32++>32,
故(x+x)min=32.
答案 32
二、解答題
11.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,
點(diǎn)P(1,)到拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線的
距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn),A,B是C上的
兩動點(diǎn),且線段AB被直線OM平分.
7、
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面積的最大值.
解 (1)由題意知得
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為
Q(m,m).由題意知,設(shè)直線AB的斜率為k
(k≠0).由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,
故k·2m=1,
所以直線AB的方程為y-m
=(x-m),
即x-2my+2m2-m=0.
由
消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,
所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.
從而|AB|= ·|y1-y2|
=·.
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,則
d=.
設(shè)△ABP的面積為S,
8、則
S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.
由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,則S=u(1-2u2).
設(shè)S(u)=u(1-2u2),0<u≤,則S′(u)=1-6u2.
由S′(u)=0,得u=∈,所以
S(u)max=S=.
故△ABP面積的最大值為.
12.設(shè)A、B分別為橢圓+=1(a,b>0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長半軸的長等于焦距,且x=4為它的右準(zhǔn)線.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N,證明:點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
(1)解 依題意得a=2
9、c,=4,解得a=2,c=1,從而b=.故橢圓的方程為+=1.
(2)證明 由(1)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(x0,y0).
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上,∴y0=(4-x). ①
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B,∴-2<x0<2,
由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P.
從而=(x0-2,y0),=.
∴·=2x0-4+=(x-4+3y). ②
將①代入②,化簡得·=(2-x0).
∵2-x0>0,∴·>0,則∠MBP為銳角,
從而∠MBN為鈍角.
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).
13.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上,
10、且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q是拋物線C上的兩動點(diǎn),且滿足PO⊥OQ,證明:直線PQ過定點(diǎn).
(1)解 設(shè)拋物線C的方程為y2=2mx,A(x1,y1),B(x2,y2),由得2y2+my-20m=0,
∵Δ>0,∴m>0或m<-160.
解得y1,2=,則y1+y2=-,
∴x1+x2=+=10+.
再設(shè)C(x3,y3),由于△ABC的重心為F,
則解得
∵點(diǎn)C在拋物線上,∴2=2m.
∴m=8,拋物線C的方程為y2=16x.
(2)證明 當(dāng)PQ的斜率存在時,設(shè)PQ的方
11、程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0,∵PO⊥OQ,∴kPOkOQ=-1,
設(shè)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0,
將直線y=kx+b代入拋物線方程,得ky2-16y+16b=0,
∴yPyQ=.從而xPxQ==,∴+=0,
∵k≠0,b≠0,
∴直線PQ的方程為y=kx-16k,PQ過點(diǎn)(16,0);
當(dāng)PQ的斜率不存在時,顯然PQ⊥x軸,又PO⊥OQ,
∴△POQ為等腰三角形,由
得P(16,16),Q(16,-16),此時直線PQ過點(diǎn)(16,0),
∴直線PQ恒過定點(diǎn)(16,0).
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)A(-2,-1)橢圓C:
12、+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,短軸端點(diǎn)為B1、B2,·=2b2.
(1)求a、b的值;
(2)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q,與y軸的交點(diǎn)為R.過原點(diǎn)O且平行于l的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為P.若AQ·AR=3 OP2,求直線l的方程.
解 (1)因為F(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),
所以=(c,-b),=(c,b).
因為·=2b2,所以c2-b2=2b2.①
因為橢圓C過A(-2,-1),代入得,+=1.②
由①②解得a2=8,b2=2.
所以a=2,b=.
(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y+1=k(x+2).
由得(x+2)[(4k2+1)(x+2)-(8k+4)]=0.
因為x+2≠0,所以x+2=,即xQ+2=.
由題意,直線OP的方程為y=kx.
由得(1+4k2)x2=8.
則x=.
因為AQ·AR=3OP2.
所以|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3x.
即||×2=3×.
解得k=1,或k=-2.
當(dāng)k=1時,直線l的方程為x-y+1=0,
當(dāng)k=-2時,直線l的方程為2x+y+5=0.