2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1．設(shè)集合A={x|＜2x＜4}，B={x|x2≤1}，則A∪B=（　?。? 　 A． {x|x＜2} B． {x|﹣＜x≤1} C． {x|﹣1≤x＜2} D． {x|1≤x＜2} 分析： 利用并集的性質(zhì)求解． 解答： 解：∵集合A={x|＜2x＜4}={}x|﹣1＜x＜2}， B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}， ∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}． 故選：C． 點(diǎn)評： 本題考查并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用． 2．已知a∈R，i是虛數(shù)單位，

2、復(fù)數(shù)z=a+i，若z2為純虛數(shù)，則z=（　?。? 　 A． 1+i B． ﹣1+i C． 1+i或﹣1+i D． 2i或﹣2i 分析： 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，然后由實(shí)部等于0且虛部不等于0求解a，則答案可求． 解答： 解：∵數(shù)z=a+i， ∴z2=（a+i）2=a2﹣1+2ai， 由z2為純虛數(shù)，得a=±1． ∴z=1+i或﹣1+i． 故選：C． 點(diǎn)評： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 3．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2?a4=9，則loga1+loga2+loga3+loga4+loga5的值為（　?。? 　 A． 6

3、 B． 5 C． ﹣6 D． ﹣5 分析： 據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2?a4=a32，再利用對數(shù)的性質(zhì)即可得到答案． 解答： 解：∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2?a4=9， ∴a3=3， ∴l(xiāng)oga1+loga2+loga3+loga4+loga5=log（a1a5）+log（a2a4）+loga3=5loga3=﹣5 故選：D 點(diǎn)評： 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．即若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則aman=apaq． 4．下列說法正確的是（　　） 　 A． 函數(shù)f（x）=ax+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（0，1） 　 B． 函數(shù)f（x）=x

4、﹣3在其定義域上是減函數(shù) 　 C． 函數(shù)f（x）=2值域?yàn)椋?，+∞） 　 D． 函數(shù)f（x）=|log2x|在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增 考點(diǎn)： 對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 由條件根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論． 解答： 解：由于當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+1=2，故函數(shù)f（x）=ax+1的圖象恒過定點(diǎn)（0，2），故A不正確． 由函數(shù)f（x）=x﹣3在的圖象可得函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）＞0，函數(shù)在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，且f（x）＜0， 故函數(shù)在其定義域內(nèi)沒有單調(diào)性，故

5、B不正確． 由于函數(shù)f（x）=2中，≠0，故函數(shù)f（x）≠20，即f（x）≠1，故f（x）=2值域一定不是（0，+∞），故C不正確． 在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）=|log2x|=log2x，故函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，故D正確， 故選：D． 點(diǎn)評： 本題主要考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題． 　 5．設(shè)曲線y=eax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，則a=（　?。? 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 專題： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾

6、何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再根據(jù)曲線y=eax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0，建立等式關(guān)系，解之即可． 解答： 解：∵y=eax﹣ln（x+1），∴y′=aeax﹣ ∴x=0時(shí)，切線的斜率為a﹣1 ∵曲線y=eax﹣ln（x+1）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為2x﹣y+1=0， ∴a﹣1=2，即a=3． 故選：D． 點(diǎn)評： 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 　 6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為4，則P的取值范圍是（　　） 　 A．（，] B． （，] C．

7、（，] D． （，] 考點(diǎn)： 循環(huán)結(jié)構(gòu)． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 執(zhí)行程序框圖，寫出每次循環(huán)得到的S，n的值，當(dāng)輸出n的值為4時(shí)，有S=，故可求P的取值范圍． 解答： 解：執(zhí)行程序框圖，有 n=1，S=0 滿足條件S＜P，有S=，n=2； 滿足條件S＜P，有S=+=，n=3； 滿足條件S＜P，有S=++=，n=4； 此時(shí)，不滿足條件S＜P，有S=，輸出n的值為4． 故當(dāng)P的取值在（，]時(shí)，不滿足條件＜P，退出循環(huán)，輸出n的值為4． 故選：A． 點(diǎn)評： 本題主要考察了程序框圖和算法，屬于基礎(chǔ)題． 　 7．設(shè)a=dx，則sinxdx=（　?。? 　 A． 2π

8、 B． π C． 2 D． 1 考點(diǎn)： 定積分． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 由定積分的幾何意義求出a，然后代入所求其定積分． 解答： 解：因?yàn)閍=dx==π， 所以則sinxdx=﹣cosx=﹣（﹣1﹣1）=2； 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了定積分的求法；已知的定積分是利用被積函數(shù)的幾何意義求之，所求的定積分是找到被積函數(shù)的原函數(shù)解答的，屬于基礎(chǔ)題． 　 8．已知向量，的夾角為120°，且||=1，||=2，則向量﹣在向量+上的投影是（　　） 　 A．﹣ B． C． D． ﹣3 考點(diǎn)： 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 利用求模

9、運(yùn)算得到向量|﹣|，|+|，進(jìn)而得到向量﹣與+的數(shù)量積，得到向量夾角余弦，根據(jù)投影定義可得答案． 解答： 解：由已知，向量|﹣|2=||2+||2﹣2=1+4+2=7，|+|2=||2+||2+2=1+4﹣2=3， 則cos＜﹣，+＞===﹣， 向量﹣在向量+上的投影是|﹣|cos＜﹣，+＞=（﹣）=﹣； 故選A． 點(diǎn)評： 本題考查平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，考查向量模的求解投影等概念，屬基礎(chǔ)題． 　 9．函數(shù)f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，且sinα=，則f（α）=（　?。? 　 A． B． ﹣ C． D． ﹣ 考點(diǎn)： 由y=

10、Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=﹣2cos2ωx，再根據(jù)周期性求得ω，可得f（x）=﹣2cos2x，再根據(jù)sinα=，利用二倍角的余弦公式求得f（α）=﹣2cos2α 的值 解答： 解：∵f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）=4sin（ωx﹣）cos（﹣ωx+）=4sin（ωx﹣）cos（ωx﹣）=2sin（2ωx﹣）=﹣2cos2ωx， 且函數(shù)f（x）的最小正周期為 =π，求得ω=1，故f（x）=﹣2cos2x． 又sinα=，則f（α）=﹣2cos2α=﹣2（1﹣2sin2α

11、 ）=4sin2α﹣2=﹣， 故選：B． 點(diǎn)評： 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，屬于中檔題． 　 10．變量x，y滿足約束條件時(shí)，x﹣2y+m≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　） 　 A． [0，+∞） B． [1，+∞） C． （﹣∞，3] D． （﹣∞，0] 考點(diǎn)： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 計(jì)算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 由題意作出其平面區(qū)域，x﹣2y+m≤0表示了直線上方的部分，故由解得，x=4，y=2；代入即可． 解答： 解：由題意作出其平面區(qū)域， x﹣2y+m≤0表示了直線上方的部分， 故由解得，x=4，

12、y=2； 則4﹣2×2+m≤0， 則m≤0． 故選D． 點(diǎn)評： 本題考查了簡單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題． 　 11．已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，且方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（　?。? 　 A． [0，1] B． [1，2] C． [，2） D． [1，] 考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 由題意可得可得±=sin+acos，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+）．再根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個(gè)

13、交點(diǎn)，求得m的范圍． 解答： 解：由函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=對稱，可得x=時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值， 故有±=sin+acos，求得 a=， ∴f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）． 在[0，）上，x+∈[，），f（x）∈（1，2]． 再根據(jù)方程f（x）=m在[0，）上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=m在[0，）上有兩個(gè)交點(diǎn)， 故≤m＜2， 故選：C． 點(diǎn)評： 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對稱性，兩角和的正弦公式，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題． 　 12．已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0

14、）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則（　　） 　 A．當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＜0，x1x2＞0 B． 當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＞0，x1x2＜0 　 C．當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＜0，x1x2＞0 D． 當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＞0，x1x2＜0 考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 求導(dǎo)數(shù)可得x=0，或x=時(shí)，函數(shù)取得極值，要滿足題意需f（）=0，可得a，b的關(guān)系，當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2的正負(fù)不確定，不合題意；當(dāng)a＜0，可得x1x2＜0，x1+x2＞0，進(jìn)而可得答案． 解答： 解：原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），

15、令f′（x）=0，可解得x=0，或x=， 故當(dāng)x=0，或x=時(shí)，函數(shù)取得極值，又f（0）=﹣2＜0， 所以要使函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 則必有f（）=a+b﹣2=0，解得，且b＞0， 即函數(shù)的一根為x1=， （1）如下圖，若a＞0，可知x1=＜0，且為函數(shù)的極大值點(diǎn)，x=x2處為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)， 此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)：，x2＞0，顯然有x1x2＜0，但x1+x2的正負(fù)不確定，故可排除C，D； （2）如圖2，若a＜0，必有x1=＞0，此時(shí)必有x1x2＜0，x1=的對稱點(diǎn)為x=， 則f（）=a+b﹣2=﹣2==8＞0， 則必有x2＞，

16、即x2﹣＞0，即x1+x2＞0 故選B 點(diǎn)評： 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，涉及三次函數(shù)的圖象以及分類討論的思想，屬中檔題 　 二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1=1，S5=25，則{an}的通項(xiàng)公式an=　2n﹣1?。? 考點(diǎn)： 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)求出a3的值，再由通項(xiàng)公式求出公差d和an． 解答： 解：因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，S5=25， 所以=25，則a3=5， 又a1=1，所以公差d==2， 所以an=

17、a1+（n﹣1）d=2n﹣1， 故答案為：2n﹣1． 點(diǎn)評： 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)，以及通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 　 14．已知函數(shù)f（x）=a2x﹣2a+1．若命題“?x∈（0，1），f（x）≠0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?。ǎ?）∪（1，+∞）　． 考點(diǎn)： 全稱命題． 專題： 簡易邏輯． 分析： 利用全稱命題的否定是特稱命題，通過特稱命題是真命題，求出a的范圍． 解答： 解：函數(shù)f（x）=a2x﹣2a+1，命題“?x∈（0，1），f（x）≠0”是假命題， ∴原命題的否定是：“存在實(shí)數(shù)x∈（0，1），使f（x）=0”是真命題， ∴f（1

18、）f（0）＜0， 即（a2﹣2a+1）（﹣2a+1）＜0； ∴（a﹣1）2（2a﹣1）＞0， 解得a＞，且a≠1； ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）∪（1，+∞）． 故答案為：（，1）∪（1，+∞）． 點(diǎn)評： 本題考查了命題的否定的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是寫出正確的全稱命題，并且根據(jù)這個(gè)命題是一個(gè)假命題，得到正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題． 　 15．如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點(diǎn)）上滑動(dòng)，則的最大值是　2?。? 考點(diǎn)： 向量在幾何中的應(yīng)用． 專題： 轉(zhuǎn)化思想． 分析： 令∠OAD=θ，由邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸

19、、y軸正半軸上，可得出B，C的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個(gè)向量，算出它們的內(nèi)積即可 解答： 解：如圖令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ， 如圖∠BAX=﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ 故=（cosθ+sinθ，cosθ） 同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ）， ∴=（cosθ+sinθ，cosθ）?（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ， 的最大值是2 故答案是 2 點(diǎn)評： 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，設(shè)角引入坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，由于

20、向量的運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系密切，所以在研究此類題時(shí)應(yīng)該想到設(shè)角來表示點(diǎn)的坐標(biāo)． 　 16．定義在（0，）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，設(shè)a=f（），b=f（），c=2f（），則a，b，c的大小關(guān)系是　c＜b＜a?。? 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 設(shè)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)判斷出g（x）單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到大?。? 解答： 解：由于f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0， 則設(shè)g（x）=，則有g(shù)′（x）＞0， 則g（x）在（0，）上遞增， a=f（）=，b=f（）=，c=

21、2f（）=． 由于0＜，即有g(shù)（）＜g（）＜g（）， 則有c＜b＜a． 故答案為：c＜b＜a． 點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查單調(diào)性的運(yùn)用：比較大小，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 17．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+x+2． （Ⅰ）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若?α∈（，）使f′（sinα）=f′（cosα）成立．求a的取值范圍． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；三角函數(shù)的求值． 分析： （Ⅰ）

22、求出導(dǎo)數(shù)，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，只要令判別式不大于0，即可得到； （Ⅱ） 由于f′（x）=2x2﹣ax+1關(guān)于x=對稱，再由條件可得，運(yùn)用三角函數(shù)的兩角正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍． 解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=2x2﹣ax+1， 由于f（x）在R上單調(diào)遞增， 則f′（x）≥0在R上恒成立， 則有△≤0，即a2﹣8≤0， 解得﹣2； （Ⅱ） 由于f′（x）=2x2﹣ax+1關(guān)于x=對稱， 又，sinα＞cosα， ?α∈（，）使f′（sinα）=f′（cosα）成立， 則， 即a=2（sinα+cosα）=2， 由于，則， 則， 故有a． 點(diǎn)評：

23、 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，屬于中檔題． 　 18．（12分）已知向量=（cosx，﹣2），=（1，cos），f（x）=?，角A，B，C分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角． （Ⅰ）當(dāng)A=A0時(shí)，f（A）取最小值f（A0），試求A0與f（A0）； （Ⅱ）當(dāng)A=A0，且△ABC的面積為時(shí)，求邊長BC的最小值． 考點(diǎn)： 余弦定理的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的正弦函數(shù)． 專題： 綜合題；解三角形． 分析： （Ⅰ）通過向量的數(shù)量積以及配方法，即可求A0與f（A0）； （Ⅱ）由題意，=，可得bc=2，再利用余弦定理、基本不等式，即可求

24、邊長BC的最小值． 解答： 解：（Ⅰ）∵=（cosx，﹣2），=（1，cos），f（x）=?， ∴f（x）=cosx﹣2cos， ∴f（A）=cosA﹣2cos=2（cos﹣）2﹣…（3分） ∵0＜A＜π，∴0＜，0＜1 ∴cos=，即A=A0=時(shí)，f（A）取最小值f（A0）=﹣…（7分） （Ⅱ） 由題意，=，∴bc=2 ∴a=≥=，“等號”當(dāng)且僅當(dāng)“b=c=”時(shí)成立 ∴BC邊長的最小值為…（12分） 點(diǎn)評： 本題通過向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的基本公式的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，好題，?？碱}型． 　 19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=+1

25、． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)bn=an+an+1﹣2，證明++…+＜． 考點(diǎn)： 數(shù)列與不等式的綜合． 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）證明{（an﹣1）2}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=an+an+1﹣2=+，可得++…+=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1，即可證明結(jié)論． 解答： （Ⅰ）解：∵an+1=+1， ∴（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2=1， 又（a1﹣1）2=1 ∴{（an﹣1）2}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列…（4分） ∴（an﹣1）2=n ∴an﹣1=，∴an=+

26、1…（7分） （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，bn=an+an+1﹣2=+ ∴++…+=﹣1+﹣+…+﹣ =﹣1 于是，++…+＜．…（12分） 點(diǎn)評： 本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 　 20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知?=3?． （Ⅰ）求證tanB=3tanA； （Ⅱ）若a2+b2﹣c2=ab，求角A的大?。? 考點(diǎn)： 余弦定理的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題；解三角形． 分析： （Ⅰ）記AB=c，AC=b，BC=a由已知?=3?，可得bccosA=3cacosB由正弦

27、定理化簡得tanB=3tanA； （Ⅱ）由余弦定理和已知得：cosC=，即可求出1+tan2C=5解得tanC=2（tanC=﹣2舍去）結(jié)合（Ⅰ）即可求得角A的大?。? 解答： 解（Ⅰ）記AB=c，AC=b，BC=a ∵?=3?． ∴bccosA=3cacosB ∴bcosA=3acosB 由正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB ∴ ∴tanB=3tanA． （Ⅱ）∵ 由余弦定理得：cosC= ∴1+tan2C=5 ∴tanC=2（tanC=﹣2舍去） tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）==2 解得：tanA=﹣（舍去），或tanA=

28、1 ∴A=． 點(diǎn)評： 本題主要考察了余弦定理的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考察了計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 21．（12分）已知函數(shù)f（x）=sinx+lnx﹣kx（k＞0）． （Ⅰ）若f（x）在（0，]上單調(diào)遞增，求k的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)g（x）=sinx（x＞0），若y=g（x）的圖象在y=f（x）的圖象上方，求k的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)n∈N+，證明：（4﹣）＜sin（）i﹣1＜+1+ln2﹣（）n+1． 考點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用． 專題： 計(jì)算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式選講． 分析： （Ⅰ） 由題意，f′（x）=cosx+﹣k≥0，則k≤

29、cosx+，（cosx+）min即可； （Ⅱ） 由題意得x＞0時(shí)，g（x）＞f（x）恒成立，化為lnx﹣kx＜0（x＞0）恒成立，h（x）=lnx﹣kx，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可； （Ⅲ）顯然sinx＞（0），則sin（）i﹣1＞[1+（）+（）2+…+（）n]；再證明sinx＜+x﹣lnx（0＜x≤1）成立，從而得證． 解答： 解：（Ⅰ） 由題意，f′（x）=cosx+﹣k≥0，則k≤cosx+， 而cosx+在（0，]上單調(diào)遞減，求 則（cosx+）min=cos+=，則k∈（0，]； （Ⅱ） 由題意得x＞0時(shí)，g（x）＞f（x）恒成立， 則lnx﹣kx＜0（x＞0）恒成立，

30、 令h（x）=lnx﹣kx，h′（x）=﹣k， x∈（0，）時(shí)，h′（x）＞0， x∈（，+∞）時(shí)，h′（x）＜0， 則hmax（x）=h（）=ln﹣1＜0， 則k＞． （Ⅲ）證明：如圖，顯然sinx＞（0）， 則sin（）i﹣1＞[1+（）+（）2+…+（）n] =（4﹣）； 由0＜（）i﹣1≤1， 由（Ⅰ）知，k=時(shí)，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增． 當(dāng)0＜x≤1時(shí)，有sinx+lnx﹣x≤sin1﹣＜， 則sinx＜+x﹣lnx（0＜x≤1）成立， sin（）i﹣1＜（n+1）+[1+（）+（）2+…+（）n]﹣ln（）1+2+…+n =+1+ln2﹣（）n+1

31、． 即（4﹣）＜sin（）i﹣1＜+1+ln2﹣（）n+1． 點(diǎn)評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化成最值問題的處理方法，同時(shí)考查了放縮法證明不等式的變形應(yīng)用，屬于難題． 　 請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按多做第一題計(jì)分。選修4-1：幾何證明選講 22．（10分）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，割線PBC經(jīng)過圓心O，且PB=BC． （Ⅰ）求證：PA=AC； （Ⅱ）若點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，PD與⊙O交于另一點(diǎn)E，PB=1，求PE的長． 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段． 專題： 幾何證明． 分析： （I）利用切割線定理可得PA2=PB?P

32、C，即可得出； （II）連接OD，CD，利用D為的中點(diǎn)，可得，PB=1，PC=3，CD=1．由余弦定理得PD2=PC2+CD2﹣2PC?CDcos60°可得PD=，再由切割線定理可得PA2=PE?PD，即可得出． 解答： （Ⅰ）證明：設(shè)BC=2R，則PB=R，PC=3R， ∵PA為切線，由切割線定理得，PA2=PB?PC=3R2， ∴PA=R． 連接OA，PA⊥OA， ∴∠POA=60°．∠AOC=120°． ∴AC=R，∴PA=AC． （Ⅱ） 解：連接OD，CD， ∵D為的中點(diǎn)， ∴， 而OC=OD，∠PCD=60°， ∵PB=1， ∴PC=3，CD=1， 由余弦

33、定理得PD2=PC2+CD2﹣2PC?CDcos60°==7， ∴PD=， 再由切割線定理得，PA2=PE?PD， ∴． ∴PE=． 點(diǎn)評： 本題考查了切割線定理、余弦定理、圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 23．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （Ⅰ）若直線l與圓C相切，求m的值； （Ⅱ）若m=﹣1，求圓C上的點(diǎn)到直線l的最小距離． 考點(diǎn)： 直線的參數(shù)方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程．

34、分析： （I）把極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程分別化為普通方程，利用直線與圓相切的充要條件是圓心C到直線l的距離為d=r即可得出； （II）求出圓心到直線的距離d，利用d﹣r即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ化為ρ2=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x． 配方可得：（x﹣1）2+y2=1． ∴圓心C坐標(biāo)為（1，0），半徑為r=1． 直線l的普通方程為x+2y=2m﹣4． 圓心C到直線l的距離為d==， ∵直線l與圓C相切，∴d=r． 即=1，解得m=． （Ⅱ）當(dāng)m=﹣1時(shí)，d==， ∴d＞r，直線l與圓C相離， ∴圓上的點(diǎn)到直線l的最小距離﹣

35、1． 點(diǎn)評： 本題考查了極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程分別化為普通方程、直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 　 24．選修4﹣5：不等式選講 設(shè)f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）． （I）當(dāng)a=l時(shí)，解不等式f（x）≤4； （Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 考點(diǎn)： 帶絕對值的函數(shù)；絕對值不等式的解法． 專題： 計(jì)算題． 分析： （Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=|x|+2|x﹣1|=，分三種情況求出不等式的解集，再取并集即得所求． （Ⅱ）化簡函數(shù)f（x）=|x|+2|x﹣a|的解析式，求出它

36、的最小值，由題意可得f（x）的最小值a大于或等于4，由此求得a取值范圍． 解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=|x|+2|x﹣1|=．…（2分） 當(dāng)x＜0時(shí)，由2﹣3x≤4，得﹣≤x＜0； 當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1≤2﹣x≤2，解得 0≤x≤1； 當(dāng)x＞1時(shí)，由3x﹣2≤4，得1＜x≤2． 綜上，不等式f（x）≤4的解集為[﹣，2]．… （Ⅱ）f（x）=|x|+2|x﹣a|=．…（7分） 可見，f（x）在（﹣∞，a]單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增． 當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取最小值a． 若f（x）≥4恒成立，則應(yīng)有a≥4， 所以，a取值范圍為[4，+∞）．…（10分） 點(diǎn)評： 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題以及求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．