2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次段考試題 文（尖子班）

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次段考試題 文（尖子班） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．設(shè)集合A={0，1，2，7}，集合B={x|y=}，則A∩B等于（　?。? A．{1，2，7} B．{2，7} C．{0，1，2} D．{1，2} 2．設(shè)復(fù)數(shù)z=﹣1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1﹣z|=（　　） A． B． C．2 D．1 3．設(shè){an}是等差數(shù)列，若log2a7=3，則a6+a8等于（　?。? A．6 B．8

2、 C．9 D．16 4．雙曲線﹣=1（b＞0）的焦距為6，則雙曲線的漸近線方程為（　?。? A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 5．已知向量=（m，2），向量=（2，﹣3），若|+|=|﹣|，則實(shí)數(shù)m的值是（　?。? A．﹣2 B．3 C． D．﹣3 6．我校三個(gè)年級(jí)共有24個(gè)班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個(gè)班編號(hào)，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，若抽到編號(hào)之和為48，則抽到的最小編號(hào)為（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如圖給出的是計(jì)算的值

3、的一個(gè)程序框圖，則圖中執(zhí)行框 內(nèi)①處和判斷框中的②處應(yīng)填的語(yǔ)句是（　?。? A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15 8．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)空間幾何體的表面積是（　　） A．2π+4 B．3π+4 C．4π+4 D．4π+6 　 9．已知P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)該區(qū)域的面積為4時(shí)，z=2x﹣y的 最大值是（　?。? A．6 B．0 C．2 D．2 10．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b

4、，c，若，且，則下列關(guān)系一定不成立的是（　?。? A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2 11．已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)， ?=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是（　?。? A． B． C． D． 12．已知函數(shù)f（x）=g（x）=，則函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和是（　　） A． B． C． D． 二、填空題：

5、本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷中的橫線上。 13．已知tanα=，則tan（α+）=　　　　　?。? 14．曲線y=cosx+ex在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為　　　　　?。? 15．某次測(cè)量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)（xi，yi）具有較強(qiáng)的相關(guān)性，并計(jì)算得=x+1，其中數(shù)據(jù)（1，y0）因書(shū)寫(xiě)不清，只記得y0是[0，3]任意一個(gè)值，則該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率為　　　　　　．（殘差=真實(shí)值﹣預(yù)測(cè)值） 16．點(diǎn) A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為　　　　　?。? 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

6、或驗(yàn)算步驟。 17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2﹣， （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)Tn=log2a1+log2a2+…+log2an，求證：＞﹣2（n∈N*，n≥2） 18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求證：AC⊥PD； （Ⅱ）在線段PA上，是否存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 19．某機(jī)械廠今年進(jìn)行了五次技能考核，其中甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等，成績(jī)統(tǒng)計(jì)情況如莖葉圖所示（其中a是0﹣9的某個(gè)整數(shù) （1）若該廠決定從甲乙兩人中選

7、派一人去參加技能培訓(xùn)，從成績(jī)穩(wěn)定性角度考慮，你認(rèn)為誰(shuí)去比較合適？ （2）若從甲的成績(jī)中任取兩次成績(jī)作進(jìn)一步分析，在抽取的兩次成績(jī)中，求至少有一次成績(jī)?cè)冢?0，100]之間的概率． 　 20．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，過(guò)點(diǎn)A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值． 　 21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣x﹣m（m∈R）． （1）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍； （2）當(dāng)m=﹣1時(shí)，證明：（）f（x）＞1﹣

8、． 　 請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答。注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選做題號(hào)后的方框涂黑。 22．如圖，△ABO三邊上的點(diǎn)C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB． （l）求證：直線AB是⊙O的切線； （2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半徑r的長(zhǎng)． 　 23．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合．設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線（參數(shù)t∈R）與曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρcos2θ=2sinθ （Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程； （Ⅱ）設(shè)

9、直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，證明： =0． 　 24．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，解不等式f（x）≥g（x）； （Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 　 　 第一次段考數(shù)學(xué)答案與試題解析 　 一、選擇題： 1-6 BADABB 7—12 BCABBB　 13．﹣． 14． x﹣y+2=0． 15．． 16．． 三、解答題： 17．解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1．… 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=，此式對(duì)n=1也成立．

10、∴an=．… （2）證明：設(shè)bn=log2an，則bn=1﹣n．… ∴{bn}是首項(xiàng)為0，公差為﹣1的等差數(shù)列．　 ∴Tn=﹣　… ∴=﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣2（1﹣）＞﹣2… 18．（Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥平面PCD， ∵PD?平面PCD， ∴AC⊥PD． （Ⅱ）線段PA上，存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD．下面給出證明： ∵AD=3， ∴在△PAD中，分別取PA、PD靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)E、F，連接EF． ∵，∴EF∥AD，． 又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，

11、 ∴四邊形BCFE是平行四邊形， ∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD， ∴BE∥平面PCD． 19． 解：（1）由已知中的莖葉圖可得： 甲的平均分為：（88+89+90+91+92）=90， 由甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等， 故乙的平均分：（84+88+89+90+a+96）=90， 解得：a=3， 則= [（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2， = [（84﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（93﹣90）2+（96﹣90）2]=17.2， ∵甲、乙兩名技術(shù)骨干得分的平均分相等

12、，但＞， ∴從成績(jī)穩(wěn)定性角度考慮，我認(rèn)為甲去比較合適， （2）若從甲的成績(jī)中任取兩次成績(jī)作進(jìn)一步分析，共有=10種不同抽取方法， 其中至少有一次成績(jī)?cè)冢?0，100]之間有： =7種方法， 故至少有一次成績(jī)?cè)冢?0，100]之間的概率P= 20． 解：（1）直線AB 的方程為，即bx﹣ay﹣ab=0 由題意得=，① ∵② a2=b2+c2③ 解得 ∴橢圓的方程為 （2）設(shè)PQ：x=ty+代入 并整理得 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）則 ， ∴ = = 當(dāng)即t2=1時(shí)， ∴ 又∴ ∴ 21．解：（1）由題意得，ex﹣x﹣m＞0恒成立對(duì)x＞

13、0恒成立， 令g（x）=ex﹣x， 則g′（x）=ex﹣1， 當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=ex﹣1＞0， 故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)， 故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=1； 故若使ex﹣x﹣m＞0恒成立對(duì)x＞0恒成立， 則只需使m≤1； （2）證明：（）f（x）=（x﹣lnx）（1﹣）； 令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0， 當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0； 即h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)， ∴h（x）≥h（1）=1①． 令n（x）=1﹣，n′（x）=， 故n（x）=1﹣在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)； 故n（x）≥n（2）=1﹣②． 故由①②可得， （）f（x）＞1﹣． 23．解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程消去t得普通方程為 y=2x+2． 由曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程為 x2=2y． （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 消去y得 x2﹣4x﹣4=0， ∴x1+x2=4，x1?x2=﹣4，∴y1y2=，∴ =x1x2+y1y2=0．