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1、2022年高中數(shù)學 任意角的三角函數(shù)教案 新人教A版必修4
一.課標要求:
1.任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化;
2.三角函數(shù)
(1)借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;
二.要點精講
1.任意角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置,繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置,就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊,叫終邊,射線的端點叫做叫的頂點。
為了區(qū)別起見,我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋
2、轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角
2.終邊相同的角、區(qū)間角與象限角
角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合。那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角。
終邊相同的角是指與某個角α具有同終邊的所有角,它們彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。
3.弧度制
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角,記作1,或1弧度,或1(單位可以省略不寫)。
角有正負零角之分,它的弧度數(shù)也應該有正負零之分,如-
3、π,-2π等等,一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個負數(shù),零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。
角的弧度數(shù)的絕對值是:,其中,l是圓心角所對的弧長,是半徑。
角度制與弧度制的換算主要抓住。
弧度與角度互換公式:1rad=°≈57.30°=57°18ˊ、1°=≈0.01745(rad)。
弧長公式:(是圓心角的弧度數(shù)),
扇形面積公式:。
4.三角函數(shù)定義
在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則;;。
利用單位圓定義任意角的三角函數(shù),設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:
a的終邊
P
4、(x,y))
O
x
y
(1)叫做的正弦,記做,即;
(2)叫做的余弦,記做,即;
(3)叫做的正切,記做,即。
5.同角三角函數(shù)關(guān)系式
四.典例解析
題型1:象限角
例1.已知角;(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角;(2)集合,那么兩集合的關(guān)系是什么?
解析:(1)所有與角有相同終邊的角可表示為:,
則令 ,
得
解得
從而或
代回或
(2)因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合;而集合表示終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合,從而:。
點評:(1)從終
5、邊相同的角的表示入手分析問題,先表示出所有與角有相同終邊的角,然后列出一個關(guān)于的不等式,找出相應的整數(shù),代回求出所求解;(2)可對整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論
例2.(xx全國理,1)若sinθcosθ>0,則θ在( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、四象限
解析:答案:B;∵sinθcosθ>0,∴sinθ、cosθ同號。
當sinθ>0,cosθ>0時,θ在第一象限,當sinθ<0,cosθ<0時,θ在第三象限,因此,選B。
例3.已知角的終邊過點,求的四個三角函數(shù)值。
解析:因為過點,所
6、以,。
當;
,。
當,;。
課后小練:
1.已知的正弦線與余弦線相等,且符號相同,那么A.??? B.????C.????????D.?????????
?2.已知的值為??( )
A.-2???????????????????? B.2?????????????????????? C.????????????????????? D.-
3. 已知角的終邊在函數(shù)的圖象上,則的值為??????????????????????????? (??? )
?A.?????????B.-????? C.或-????? D.
4.若那么2的終邊所在象限為?( )???????
A.第一象限??????????? B.第二象限?????????? C.第三象限???????????? D.第四象限
小結(jié):