2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)試題 理 蘇教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)試題 理 蘇教版 一、填空題 1.方程4x-2x+1-3=0的解是________. 解析 方程4x-2x+1-3=0可化為(2x)2-2·2x-3=0,即(2x-3)(2x+1)=0,∵2x>0,∴2x=3,∴x=log23. 答案 log23 2.已知函數(shù)f(x)=是定義域上的遞減函數(shù), 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析 ∵函數(shù)f(x)=是定義域上的遞減函數(shù),∴即 解得

2、. 解析 M={x|x<1},N=,則M∩N=. 答案 4.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是________. 解析 由-x2+x+2≥0知,函數(shù)定義域?yàn)閇-1,2],-x2+x+2=-2+,當(dāng)x>時(shí),u(x)=-x2+x+2遞減,又y=x在定義域上遞減,故函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為. 答案 5.已知函數(shù)f(x)=關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且 只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的范圍是________. 解析 方程f(x)+x-a=0有且只有一個(gè)實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)與y=-x+a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).結(jié)合下面函數(shù)圖象可知a>1. 答案 (1,+∞) 6.設(shè)定義在

3、R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=則f(2 010)=________. 解析 當(dāng)x>0時(shí),f(2 010)=f(2 009)-f(2 008)=f(2 008)-f(2 007)-f(2 008)=-f(2 007)=f(2 005)-f(2 006)=f(2 005)-f(2 005)+f(2 004)=f(2 004),所以f(x)是以T=6的周期函數(shù),所以f(2 010)=f(335×6)=f(0)=3-1=. 答案  7.已知函數(shù)f(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex,則g(0),g(2),g(3)的大小關(guān)系是________. 解析 因?yàn)?/p>

4、f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以由f(-x)-g(-x)=e-x,得-f(x)-g(x)=e-x,與f(x)-g(x)=ex聯(lián)立,求得f(x)=(ex-e-x),g(x)=-(ex+e-x),g′(x)=-(ex-e-x)=0,x=0,當(dāng)x<0時(shí),g′(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),g′(x)<0.所以g(3)<g(2)<g(0). 答案 g(3)<g(2)<g(0) 8.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x)是奇函數(shù),則g(2)的值是________. 解析 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以g(2)=f(2)=-f(-2)=-2-2=-. 答案 - 9.已知函數(shù)f(x)=9x-m·3x+m

5、+1在x∈(0,+∞)上的圖象恒在x軸上方,則m的取值范圍為________. 解析 設(shè)t=3x>1問題轉(zhuǎn)化為m<,t∈(1,+∞),即m小于y=,t∈(1,+∞)的最小值,又y==t-1++2≥2 +2=2+2,所以m<2+2. 答案 (-∞,2+2) 10.函數(shù)y=a2x-2(a>0,a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A,若直線l:mx+ny-1=0經(jīng)過點(diǎn)A,則坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為________. 解析 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:函數(shù)y=a2x-2(a>0,a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A(1,1),而A∈l,∴m+n-1=0,即m+n=1,由基本不等式可得:m2+n2≥(m+n)2=.∴O到

6、直線l的距離d=≤=,∴O到直線l的距離的最大值為. 答案  二、解答題 11.已知函數(shù)f(x)=2x-(x∈R). (1)討論f(x)的單調(diào)性與奇偶性; (2)若2xf(2x)+mf(x)≥0對任意的x∈[0,+∞)恒成立,求m的取值范圍. 解 (1)由f(-x)=2-x-=-2x=-f(x)知f(x)是奇函數(shù).由y1=2x與y2=-2-x是(-∞,+∞)上的增函數(shù),得f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù). (2)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),2x+m≥0,即≥0恒成立,因?yàn)閤≥0時(shí),2x-≥0,所以22x+1+m≥0,m≥-(22x+1),所以m≥-(20+1)=-2. 12.如圖,

7、過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=2x的圖象交于A,B兩點(diǎn),過B作y軸 的垂線交函數(shù)y=4x的圖象于點(diǎn)C.若AC平行于y軸,求A點(diǎn)的坐標(biāo). 解 設(shè)C(a,4a),A(x1,y1),B(x2,y2). ∵AC∥y軸,∴x1=a, ∴y1=2x1=2a,即A(a,2a). 又y2=2x2=4a,∴x2=2a, 即B(2a,4a).∵A、B、O三點(diǎn)共線, ∴=?a=1,∴A(1,2). 13.已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x,其中常數(shù)a,b滿足ab≠0. (1)若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍. 解 (1)當(dāng)a>0,

8、b>0時(shí),因?yàn)閍·2x、b·3x都單調(diào)遞增, 所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)a<0,b<0時(shí), 因?yàn)閍·2x、b·3x都單調(diào)遞減, 所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. (2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0. 當(dāng)a<0,b>0時(shí),x>-, 解得x>log; 當(dāng)a>0,b<0時(shí),x<-,解得x

9、 解 (1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),且f(0)有意義,所以f(0)=0,所以k-1=0,k=1. (2)因?yàn)閒(1)>0,所以a->0,∴a>1,∴f(x)=ax-a-x是R上的單調(diào)增函數(shù). 于是由f(x2+2x)>-f(x-4)=f(4-x),得x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,解得x<-4或x>1. (3)因?yàn)閒(1)=,所以a-=,解得a=2(a>0),所以g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.設(shè)t=f(x)=2x-2-x,則由x≥1, 得t≥f(1)=,g(x)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2. 若m≥,則當(dāng)t=m時(shí),ymin=2-m2=-2,解得m=2. 若m<,則當(dāng)t=時(shí),ymin=-3m=-2, 解得m=(舍去).綜上得m=2.

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