2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時(shí)訓(xùn)練16 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時(shí)訓(xùn)練16 文 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(xx·陜西卷)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 答案：B 解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為x＝－且過點(diǎn)(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)． 2．設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　

2、) A. B. C. D. 答案：D 解析：因?yàn)镻F2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°， 所以|PF2|＝2ctan 30°＝c，|PF1|＝c. 又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，則e＝＝＝. 3．從橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根據(jù)題意可知點(diǎn)P(－c，y0)，代入橢圓的方程可得y＝b2－，根據(jù)AB∥OP，可知＝，即＝，解得y0＝，即b2－＝，解得e＝＝.

3、故選C. 4．(xx·浙江模擬)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且1·2的最大值的取值范圍是[c2,3c2]，其中c＝，則橢圓M的離心率e的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：設(shè)P(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 則1＝(－c－x，－y)，2＝(c－x，－y)， 1·2＝x2＋y2－c2. 又x2＋y2可看作P(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方， 所以(x2＋y2)max＝a2，所以(1·2)max＝b2， 所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤， 所以≤e≤.故選B. 5．(

4、xx·四川卷)設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4) 答案：D 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)． 則y＝4x1，y＝4x2，兩式相減得 (y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，即＝. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可得斜率k＝， 設(shè)圓心為點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,0)，于是kCM＝. ∵ CM⊥l，∴ kCM·k＝－1， ∴ ·＝－1，解得x0

5、＝3. 故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，y0)． 若切點(diǎn)M不在x軸上，需r＞5－3＝2，此時(shí)有兩條切線． 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)M為圓與x軸的交點(diǎn)，符合題意． ∴ 當(dāng)r＞2時(shí)，有4條直線符合題意． 又當(dāng)拋物線與圓相切時(shí)，聯(lián)立方程組消去y得x2－6x＋25－r2＝0，令Δ＝0，解得r＝4，此時(shí)x＝3.故圓與拋物線相切時(shí)，只有兩條直線符合題意，故r＜4.∴ r∈(2,4)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．(xx·山東卷)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點(diǎn)O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的

6、離心率為________． 答案： 解析：雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，與拋物線方程聯(lián)立得交點(diǎn)A，B，拋物線焦點(diǎn)為F，由三角形垂心的性質(zhì)，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1， 又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的離心率e＝＝ ＝ ＝. 7．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A′，B′，若四邊形AA′B′B的面積為48，則拋物線的方程為________． 答案：y2＝2x 解析：過A作AC⊥BB′于點(diǎn)C，因?yàn)橹本€的傾斜角為30°，所以AC＝AB，設(shè)A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)，直線AB的方程為y＝，與拋物線方程聯(lián)立消元得：x2－7px＋＝0，所以x1＋x2＝7p，所以AB＝8p，所以S四邊形AA′B′B＝(AA′＋BB′)·AC＝×8p×4p＝48，所以p＝.所以拋物線方程為y2＝2x. 8．(xx·甘肅蘭州診斷)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓C的離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 答案：＋＝1 解析：拋物線焦點(diǎn)(0,2)， 即b＝2，e＝＝， ∴a＝2c，又a2－b2＝c2，故a＝4，c＝2， ∴橢圓方程為＋＝1. 三、解答題(9題12分，10題、11題每題14分，共4

8、0分) 9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，過F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列． (1)求E的離心率； (2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解：(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 因?yàn)?|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝a. l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0. 則x1＋x2＝，x1·x2＝. 因?yàn)橹?/p>

9、線AB的斜率為1， 所以|AB|＝|x2－x1|＝. 故a＝，得a2＝2b2， 所以E的離心率e＝＝＝. (2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)．由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1， 即＝－1， 得c＝3，從而a＝3，b＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 10.(xx·淄博模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，且過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2.設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－，線段AB的中垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)求·的取值范圍． 解：(1)因?yàn)榻咕酁?，所以a2－b2＝1

10、. 因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)， 所以＋＝1，故a2＝2，b2＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由題意，當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB的方程為x＝－，此時(shí)P(－，0)，Q(，0)，得·＝－1. 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)， M(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0， 則－1＋4mk＝0，故4mk＝1. 此時(shí)，直線PQ的斜率為k1＝－4m， 直線PQ的方程為y－m＝－4m， 即y＝－4mx－m. 聯(lián)立消去y，整理得 (32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 設(shè)P(x3，y3

11、)，Q(x4，y4)， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝. 于是·＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 ＝＋＋1＋m2 ＝. 由于M在橢圓的內(nèi)部，故0b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1 與C2的公共弦的長(zhǎng)為2.過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于

12、C，D兩點(diǎn)，且與同向． (1)求C2的方程； (2)若|AC|＝|BD|，求直線l的斜率． 解：(1)由C1：x2＝4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)．因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2－b2＝1.① 又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為2，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且C1的方程為x2＝4y， 由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以＋＝1.② 聯(lián)立①②，得a2＝9，b2＝8. 故C2的方程為＋＝1. (2)如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)． 因與同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，從而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是 (x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③ 設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是這個(gè)方程的兩根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0. 而x3，x4是這個(gè)方程的兩根， 所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤ 將④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋， 即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9， 解得k＝±，即直線l的斜率為±.