《2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 提能增分篇 突破三 大題沖關(guān)-解答題的應(yīng)對(duì)技巧 壓軸題沖關(guān)系列3 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 提能增分篇 突破三 大題沖關(guān)-解答題的應(yīng)對(duì)技巧 壓軸題沖關(guān)系列3 文(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 提能增分篇 突破三 大題沖關(guān)-解答題的應(yīng)對(duì)技巧 壓軸題沖關(guān)系列3 文
1.(xx·貴州七校聯(lián)考)已知中心在原點(diǎn)O,左焦點(diǎn)為F1(-1,0)的橢圓C的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,F(xiàn)1到直線AB的距離為|OB|.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C1方程為:+=1(m>n>0),橢圓C2方程為:+=λ(λ>0,且λ≠1),則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓,若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點(diǎn)M,N,試求弦長|MN|的取值范圍.
解:(1)設(shè)橢圓C1方程為+=1(a>b>0),
∴直線AB方程為+=1,
∴F1(-1
2、,0)到直線AB距離為d==b,
化為a2+b2=7(a-1)2,
又b2=a2-1,解得:a=2,b=.
∴橢圓C1方程為+=1.
(2)橢圓C1的3倍相似橢圓C2的方程為+=1.
①若切線m垂直于x軸,則其方程為x=±2,易求得|MN|=2.
②若切線m不垂直于x軸,可設(shè)其方程為y=kx+m.
將y=kx+m代人橢圓C1方程,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∴Δ=48(4k2+3-m2)=0,即m2=4k2+3,(*)
記M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
將y=kx+m代人橢圓C2方程,得
(3+4k2)x2+8kmx+4
3、m2-36=0,
∴x1+x2=-,x1x2=,
∴|x1-x2|=
=
=,
∴|MN|=|x1-x2|=
=2
∵3+4k2≥3,
∴1<1+≤,
即2<2≤4,
綜合①②,得弦長|MN|的取值范圍為[2,4 ].
2.(xx·廣西三市模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn) A,B,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足+=t( O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|-|<時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解:(1)由題意知,e==,
所以e2===,即
4、a2=2b2.
又∵以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切,
∴b==1,則a2=2.
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由題意知直線AB的斜率存在.
設(shè)AB的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,
解得k2<,
且x1+x2=,x1x2=.
∵+=t,
∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y).
當(dāng)t=0時(shí),不滿足|-|<;
當(dāng)t≠0時(shí),解得x==,
y===,
∵點(diǎn)P在橢圓+y2=1上,
∴+2×=2,
5、
化簡,得16k2=t2(1+2k2),
∵|-|<,
∴|x1-x2|<,
化簡,得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<,
∴(1+k2)<,
∴(4k2-1)(14k2+13)>0,
解得k2>,
即
6、(x)x2,求證:當(dāng)x>0時(shí),k(x)<+.
解:(1)由題意知,f′(x)=,
故f(1)=ln(1+a)+b=0,
f′(1)=-[ln(1+a)+b]=1,
解得a=b=0.
(2)①g(x)=f(ex)=,g′(x)=,
則當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0,
當(dāng)x<1時(shí),g′(x)>0.
故g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,1),
單調(diào)減區(qū)間是(1,+∞).
②證明:h(x)==,
h′(x)=,
k(x)=2h′(x)x2=.
由①知,當(dāng)x>0時(shí),∈,
設(shè)m(x)=1-2xln x-2x,
m′(x)=-2ln x-4=-2(ln x+2),
故m(x)在上單調(diào)
7、遞增,
在上單調(diào)遞減,
故m(x)max=m=1+且g(x)與m(x)不于同一點(diǎn)取等號(hào),
故k(x)<=+.
4.(xx·河北石家莊二模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P,求直線l的方程.
解:(1)由題意得
解得
所以橢圓C的方程是+y2=1.
(2)解法一:設(shè)直線的方程設(shè)為y=kx+t,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立消去y,得
(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,
則有x1+x2=,x
8、1x2=,
Δ>0?4k2+2>t2,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,
y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=k2+kt+t2=.
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),
所以·=0?x1x2+y1y2=0.
x1x2+y1y2=+=0?5t2=4+4k2,
Δ>0?4k2+1>t2?t<-或t>.
又設(shè)A,B的中點(diǎn)為D(m,n),則
m==,
n==.
因?yàn)橹本€PD與直線l垂直,
所以kPD=-=得=,
由
解得
當(dāng)t=-時(shí),Δ>0不成立.
當(dāng)t=1時(shí),k=±,
所以直線l的方程為y=x
9、+1或y=-x+1.
解法二:設(shè)直線的l斜率為k,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為D(x0,y0),
所以k=,x0=,y0=.
由題意
①-②,得+(y1-y2)(y1+y2)=0?+=0?+k=0,
又因?yàn)橹本€PD與直線l垂直,
所以·k=-1.
由
解得
設(shè)直線l的方程設(shè)為y-y0=k(x-x0),
得y=kx+2k2+,
聯(lián)立消去y,得
(1+4k2)x2+4k(k2+1)x+(4k2+1)2-4=0,
x1+x2=2x0=-4k,
x1x2=,
y1y2=k2-2k2(4k2+1)+2
=.
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),
所以·=0?x1x2+y1y2=0.
x1x2+y1y2=+=0.
?5(4k2+1)2=16(1+k2).
解得k=±,
所以直線l的方程為y=x+1或y=-x+1.