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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 角的概念的推廣教案 理
教材分析
這節(jié)課主要是把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角,使角有正角、負(fù)角和零角.首先通過生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義,然后又以“動(dòng)”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念,最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念:象限角、終邊相同的角等.在這節(jié)課中,重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念,難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號(hào)語言正確地表示出來.理解任意角的概念,會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,通過數(shù)形結(jié)合來認(rèn)識(shí)角的幾何表示和終邊相同的角的表示,是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵.
教學(xué)目標(biāo)
1. 通過實(shí)例,體會(huì)推廣角的必要性和實(shí)際意義,理解
2、正角、負(fù)角和零角的定義.
2. 理解象限角的概念、意義及表示方法,掌握終邊相同的角的表示方法.
3. 通過對(duì)“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識(shí)過程,使學(xué)生感受“動(dòng)”與“靜”的對(duì)立與統(tǒng)一.培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物,用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系.
任務(wù)分析
這節(jié)課概念很多,應(yīng)盡可能讓學(xué)生通過生活中的例子(如鐘表上指針的轉(zhuǎn)動(dòng)、體操運(yùn)動(dòng)員的轉(zhuǎn)體、自行車輪子上的某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等)了解引入任意角的必要性及實(shí)際意義,變抽象為具體.另外,可借助于多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問題情境
[演 示]
1.
3、觀覽車的運(yùn)動(dòng).
2. 體操運(yùn)動(dòng)員、跳臺(tái)跳板運(yùn)動(dòng)員的前、后轉(zhuǎn)體動(dòng)作.
3. 鐘表秒針的轉(zhuǎn)動(dòng).
4. 自行車輪子的滾動(dòng).
[問 題]
1. 如果觀覽車兩邊各站一人,當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí),他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)了多大的角?
2. 在運(yùn)動(dòng)員“轉(zhuǎn)體一周半動(dòng)作”中,運(yùn)動(dòng)員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的,轉(zhuǎn)了多大角?
3. 鐘表上的秒針(當(dāng)時(shí)間過了1.5min時(shí))是按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)的,轉(zhuǎn)動(dòng)了多大角?
4. 當(dāng)自行車的輪子轉(zhuǎn)了兩周時(shí),自行車輪子上的某一點(diǎn),轉(zhuǎn)了多大角?
顯然,這些角超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍.本節(jié)課將在已掌握的0°~360°角的范圍的基礎(chǔ)上,把角的概念加以
4、推廣,為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備.
二、建立模型
1. 正角、負(fù)角、零角的概念
在平面內(nèi),一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向:順時(shí)針方向和逆時(shí)針方向.習(xí)慣上規(guī)定,按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角;按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角;當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí),我們也把它看成一個(gè)角,叫作零角.
2. 象限角
當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與x軸正半軸重合時(shí),角的終邊在第幾象限,就把這個(gè)角叫作第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.
3. 終邊相同的角
在坐標(biāo)系中作出390°,-330°角的終邊,不難發(fā)現(xiàn),它們都與30°角的終邊相同,并且這兩個(gè)角都可以表示成0°~360
5、°角與k個(gè)(k∈Z)周角的和,即
390°=30°+360°,(k=1);
-330°=30°-360°,(k=-1).
設(shè)S={β|β=30°+k·360°,k∈Z},則390°,-330°角都是S中的元素,30°角也是S中的元素(此時(shí)k=0).容易看出,所有與30°角終邊相同的角,連同30°角在內(nèi),都是S中的元素;反過來,集合S中的任一元素均與30°角終邊相同.一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與α終邊相同的角,都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 在0°~360°范圍內(nèi),
6、找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限的角.
(1)-150°. (2)650°. ?。?)-950°5′.
2. 分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素寫出來.
(1)60°.?。?)-21°.?。?)363°14′.
3. 寫出終邊在y軸上的角的集合.
解:在0°~360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè),即90°,270°.因此,與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為
S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z},而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成的集合為
S2={β|β
7、=270°+k·360°,k∈Z}=
{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}.
于是,終邊在y軸上的角的集合為
S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
注:會(huì)正確使用集合的表示方法和符號(hào)語言.
[練 習(xí)]
1. 寫出與下列各角終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來.
(1)45°. (2)-30°.?。?)420°.?。?)-225°.
2. 辨析概念.(分別用集合表示出來)
(1)第一象限角.?。?)銳角.
8、(3)小于90°的角.?。?)0°~90°的角.
3. 一角為30°,其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為.
4. 終邊在x軸上的角的集合為;終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為.
四、拓展延伸
1. 若角α與β終邊重合,則α與β的關(guān)系是;若角α與β的終邊互為反向延長(zhǎng)線,則角α與β的關(guān)系是.
2. 如果α在第二象限時(shí),那么2α,是第幾象限角?
注:(1)不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況.
(2)研究在哪個(gè)象限的方法:討論k的奇偶性.(如果是呢?)
點(diǎn) 評(píng)
這篇案例運(yùn)用多媒體展示了生活中常見的實(shí)例,極易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情.在對(duì)知識(shí)的探討過程中,特別注意了知識(shí)的形成過程,重點(diǎn)突出.例題的設(shè)置比較典型,難易度適中.練習(xí)題注重基礎(chǔ),但也有一定的梯度,利于培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問題的能力,并為學(xué)生學(xué)習(xí)以后章節(jié)做了較好的鋪墊.