4、 C．4 D．3
7．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓＋＝1
的交點(diǎn)個數(shù)為 ( )
A．至多一個 B．2個 C．1個 D．0個
8．已知橢圓C1：＋＝1 (a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則 （ ）
5、
A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2
9．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且 · ＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為 ( )
A. B. C. D.
10．方程為＋＝1(a>b>0)的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，D是它短軸上的一個端點(diǎn)，若3 ＝ ＋2 ，則該橢圓的離心率為 ( )
A.
6、 B. C. D.
11．已知橢圓E：＋＝1，對于任意實(shí)數(shù)k，下列直線被橢圓E截得的弦長與l：y＝kx＋1被橢圓E截得的弦長不可能相等的是 ( )
A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0
C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0
12．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，
則|PM|＋|PF1|的最大值為 （ ?。?
Ａ．１３ ?。拢保础 。茫保怠?/p>
7、 Ｄ．１６
二、填空題（共4小題，每小題4分，共16分）
13．若命題“x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．
14．已知命題p：x2＋2x－3>0；命題q：>1，若綈q且p為真，則x的取值范圍是
_________________．
15．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若 ＝5 ，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，則橢圓的離心率是________
8、．
三、解答題(共5小題，共48分)
17. (8分) 已知命題p：x∈，x2－a≥0.命題q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.若p
或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18．(10分) 已知命題p：方程2x2＋ax－a2＝0在上有解；命題q：只有一個實(shí)數(shù)x0滿足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．
19. (10分) 設(shè)橢圓C∶＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．
20．(10分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO
9、y中，M、N分別是橢圓＋＝1的頂點(diǎn)， 過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C.連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B.設(shè)直線PA的斜率為k.
(1) 當(dāng)直線PA平分線段MN時，求k的值；
(2) 當(dāng)k＝2時，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；
(3) 對任意的k>0，求證：PA⊥PB.
21．(10分) 已知橢圓G∶＋y2＝1.過點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．
一、選擇題 CBDCA ABCBD DＣ
10、
二、填空題
１３．－2≤a≤2 ?。保矗?－∞，－3)∪(1,2] １５．(0，±1) １６．
三、解答題
１７．解 ∵?x∈，x2－a≥0恒成立，
即a≤x2恒成立，∴a≤1.
即p：a≤1，∴非p：a>1.
又?x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1<0.
∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1，
即q：a>3或a<－1，∴非q：－1≤a≤3.
又p或q為真，p且q為假，∴p真q假或p假q真．
當(dāng)p真q假時，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．
當(dāng)p假q真時，{a|a>1}∩{a|a<－1或a>3}＝{a|a>3}．
綜上所述
11、，a的取值范圍為{a|－1≤a≤1}∪{a|a>3}．
１８．解 由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0,
∴x＝或x＝－a，
∴當(dāng)命題p為真命題時≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一個實(shí)數(shù)x0滿足x＋2ax0＋2a≤0”，
即拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一個交點(diǎn)，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴當(dāng)命題q為真命題時，a＝0或a＝2.
∴命題“p或q”為真命題時，|a|≤2.
∵命題“p或q”為假命題，∴a>2或a<－2.
即a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}．
１９．解：(1)將(0, 4)代入C的方程得＝1，∴b＝
12、4，
由e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程為＋＝1.
(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為 y ＝(x－3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得
x1＝，x2＝，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)．
２０．解：由題設(shè)知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－)．
由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點(diǎn)，又直線PA過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以k＝＝.
(2)直線PA的方程為y＝2x
13、，代入橢圓方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，A(－，－)．于是C(，0)，直線AC的斜率為＝1，故直線AB的方程為x－y－＝0.
因此，d＝＝.
(3)證明：法一：將直線PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±記μ＝，則P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．
故直線AB的斜率為＝，
其方程為y＝(x－μ), 代入橢圓方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B (，)．
于是直線PB的斜率k1＝＝＝－.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
法二：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1>0，x2>0，x1
14、≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．設(shè)直線PB，AB的斜率分別為k1，k2.因?yàn)镃在直線AB上，所以k2＝＝＝.
從而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
２１．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)，
離心率為e＝＝.
(2)由題意知，|m|≥1.
當(dāng)m＝1時，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，)，(1，－)，此時|AB|＝.
當(dāng)m＝－1時，同理可得|AB|＝.
當(dāng)|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)．由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝＝.
由于當(dāng)m＝±1時，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因?yàn)閨AB|＝＝≤2，
且當(dāng)m＝±時，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值為2.
2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題 理(II)
