2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量(含解析)
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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量(含解析) 一、本章知識結(jié)構(gòu): 二、高考要求 1、理解向量的概念,掌握向量的幾何表示,了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律。3、掌握實數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律,理解兩個向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件。6、掌握線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式,并且能熟練運(yùn)用;掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理,并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。8、通過解三角形的應(yīng)用的
2、教學(xué),繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力。 三、熱點分析 對本章內(nèi)容的考查主要分以下三類: 1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大,用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題. 2.以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強(qiáng),難度大,以解析幾何中的常規(guī)題為主. 3.向量在空間中的應(yīng)用(在B類教材中).在空間坐標(biāo)系下,通過向量的坐標(biāo)的表示,運(yùn)用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì). 在復(fù)習(xí)過程中,抓住源于課本,高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題,即源于課本.因此,掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.分析近幾年來的高考試題,有
3、關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運(yùn)算。對于和解析幾何相關(guān)的線段的定比分點和平移等交叉內(nèi)容,作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具,在相關(guān)內(nèi)容中會進(jìn)行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重點??偠灾?,平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ),強(qiáng)化運(yùn)算,重視應(yīng)用??疾榈闹攸c是基礎(chǔ)知識和基本技能。 四、復(fù)習(xí)建議 由于本章知識分向量與解斜三角形兩部分,所以應(yīng)用本章知識解決的問題也分為兩類:一類是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進(jìn)行運(yùn)算,并能運(yùn)用向量知識解決平面幾何中的一些計算和證明問題;另一類是運(yùn)用正、余弦定理正確地解斜三角形,并能應(yīng)用解斜三角形知識解決測量不可到達(dá)的兩點間的距離問題。 在解決關(guān)于向
4、量問題時,一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換,正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算,進(jìn)一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識,并體會用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想,所以要通過向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用,進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。 在解決解斜三角形問題時,一方面要體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用,另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段,通過學(xué)習(xí)提高解決實際問題的能力。 五、典型例題 【例1】 在下列各命題中為真命題的是( ) ①若=(x1,y1)、=(x2,y2),則·=x1y1+x2y2 ②若A(x1,y1
5、)、B(x2,y2),則||= ③若=(x1,y1)、=(x2,y2),則·=0x1x2+y1y2=0 ④若=(x1,y1)、=(x2,y2),則⊥x1x2+y1y2=0 A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 解:根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示;若=(x1,y1), =(x2,y2),則·=x1x2+y1y2,對照命題(1)的結(jié)論可知,它是一個假命題、 于是對照選擇支的結(jié)論、可以排除(A)與(D),而在(B)與(C)中均含有(3)、故不必對(3)進(jìn)行判定,它一定是正確的、對命題(2)而言,它就是兩點間距離公式,故它是真命題,這樣就以排除了(C),應(yīng)選擇(B)
6、、 說明:對于命題(3)而言,由于·=0=或=或⊥x1x2+y1y2=0,故它是一個真命題、 而對于命題(4)來講,⊥x1x2+y1y2=0、但反過來,當(dāng)x1x2+y1y2=0時,可以是x1=y1=0,即=,而我們的教科書并沒有對零向量是否與其它向量垂直作出規(guī)定,因此x1x2+y1y2=0⊥),所以命題(4)是個假命題、 【例2】 已知=(-,-1), =(1, ),那么,的夾角θ=( ) A、30° B、60° C、120° D、150° 解:·=(-,-1)·(1,)=-2 ||==2 ||==2 ∴cosθ=== 【例3】 已知=(2
7、,1), =(-1,3),若存在向量使得:·=4, ·=-9,試求向量的坐標(biāo)、 解:設(shè)=(x,y),則由·=4可得: 2x+y=4;又由·=-9可得:-x+3y=-9 于是有: 由(1)+2(2)得7y=-14,∴y=-2,將它代入(1)可得:x=3 ∴=(3,-2)、 說明:已知兩向量,可以求出它們的數(shù)量積·,但是反過來,若已知向量及數(shù)量積·,卻不能確定、 【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2,-2)方向上的投影、 解:設(shè)向量與的夾角θ、 有cosθ= ==- ∴在方向上的投影=||cosθ=×(-)=- 【例5】 已知△ABC的頂點分別為A(2,1),B(3
8、,2),C(-3,-1),BC邊上的高AD,求及點D的坐標(biāo)、 解:設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y) ∵AD是邊BC上的高, ∴AD⊥BC,∴⊥ 又∵C、B、D三點共線, ∴∥ 又=(x-2,y-1), =(-6,-3) =(x-3,y-2) ∴ 解方程組,得x=,y= ∴點D的坐標(biāo)為(,),的坐標(biāo)為(-,) 【例6】 設(shè)向量、滿足:||=||=1,且+=(1,0),求,、 解:∵||=||=1, ∴可設(shè)=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ)、 ∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0), 由(1)得:cosα=1-cosβ……(3)
9、 由(2)得:sinα=-sinβ……(4) ∴cosα=1-cosβ= ∴sinα=±,sinβ= 或 【例7】 對于向量的集合A={=(x,y)|x2+y2≤1}中的任意兩個向量、與兩個非負(fù)實數(shù)α、β;求證:向量α+β的大小不超過α+β、 證明:設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2) 根據(jù)已知條件有:x21+y21≤1,x22+y22≤1 又因為|α+β|= = 其中x1x2+y1y2≤ ≤1 所以|α+β|≤=|α+β|=α+β 【例8】 已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB、 求證:AC⊥BC 證明:以A為原點,AB
10、所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系、如圖,設(shè)AD=1 則A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1) ∴=(-1,1), =(1,1) ·=-1×1+1×1=0 ∴BC⊥AC、 【例9】 已知A(0,a),B(0,b),(0<a<b),在x軸的正半軸上求點C,使∠ACB最大,并求出最大值、 解,設(shè)C(x,0)(x>0) 則=(-x,a), =(-x,b) 則·=x2+ab、 cos∠ACB== 令t=x2+ab 故cos∠ACB= 當(dāng)=即t=2ab時,cos∠ACB最大值為、 當(dāng)C的坐標(biāo)為(,0)時,∠ACB最大值為arccos、 【例10】 如圖,四邊形
11、ABCD是正方形,P是對角線BD上的一點,PECF是矩形,用向量法證明 (1)PA=EF (2)PA⊥EF 證明:建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長為1, ||=λ,則A(0,1),P(λ,λ),E(1,λ),F(xiàn)(λ,0) ∴=(-λ,1-λ), =(λ-1,- λ) (1)||2=(-λ)2+(1-λ)2=λ2-λ+1 ||2=(λ-1)2+(-λ)2=λ2-λ+1 ∴||2=||2,故PA=EF (2) ·=(-λ)(λ-1)+(1-λ)(-λ)=0 ∴⊥ ∴PA⊥EF、 【例11】 已知 ① 求; ②當(dāng)k為何實數(shù)時,k與平行, 平行時它們是同向
12、還是反向? 解:①= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴= =. ②k= k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). 設(shè)k=λ(),即(k-2,-1)= λ(7,3), ∴ . 故k= 時, 它們反向平行. 【例12】 已知與的夾角為,若向量與垂直, 求k. 解:=2×1×=1. ∵與垂直, ∴()= , ∴2 k = - 5. 【例13】 如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分別為AC邊與AB上的中線, 求證:BE⊥CF. 解: ∴⊥, 即 BE⊥CF . 【例14】 是否存在
13、4個平面向量,兩兩不共線,其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直? 解:如圖所示,在正△ABC中,O為其內(nèi)心,P為圓周上一點, 滿足,,,兩兩不共線,有 (+)·(+) =(+++)·(++) =(2++)·(2+) =(2-)·(2+) =42-2 =42-2=0 有(+)與(+)垂直、 同理證其他情況、從而,,,滿足題意、故存在這樣4個平面向量、 平面向量的綜合應(yīng)用 1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決兩直線的夾角,判定兩直線平行、垂直問題 【例1】 已知向量滿足條件,,求證:是正三角形 解:令O為坐標(biāo)原點,可設(shè) 由,即 ① ② 兩式平方和為,, 由
14、此可知的最小正角為,即與的夾角為, 同理可得與的夾角為,與的夾角為, 這說明三點均勻分部在一個單位圓上, 所以為等腰三角形. 【例2】 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù) 解:如圖,分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、 軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則, 從而可求:, =. . 2.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決有關(guān)線段的長度問題 【例3】 已知,AD為中線,求證 證明:以B為坐標(biāo)原點,以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系, 設(shè),, 則, . =, 從而, . 3.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,用已知向量表示未知向量 【例4】 已知點是 且試用 解:
15、以O(shè)為原點,OC,OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系. 由OA=2,,所以, 易求,設(shè) . 【例5】 如圖, 用表示 解:以O(shè)為坐標(biāo)原點,以O(shè)A所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則, . 4.利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題 【例6】 如圖,已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求證:C1C⊥BD. (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明. (1)證明:設(shè)=a, =b,=c,依題意,|a|=|b|,、、中兩兩所成夾角為θ,于是=a-b,=
16、c(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解:若使A1C⊥平面C1BD,只須證A1C⊥BD,A1C⊥DC1, 由 =(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時,A1C⊥DC1,同理可證當(dāng)|a|=|c|時,A1C⊥BD, ∴=1時,A1C⊥平面C1BD. 【例7】 如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點. (1
17、)求的長; (2)求cos<>的值; (3)求證:A1B⊥C1M. 解:(1)如圖,以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 依題意得:B(0,1,0),N(1,0,1) ∴||=. (2)解:依題意得:A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2). ∴==(0,1,2) =1×0+(-1)×1+2×2=3 ||= (3)證明:依題意得:C1(0,0,2),M() ∴ ∴A1B⊥C1M. 5.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題,距離問題包括點到點的距離,點的線的距離,點到面的距離,線到線的距離,線到面的距離,面到面的距離. 【例8】 求平面內(nèi)
18、兩點間的距離公式 解:設(shè)點 , ,而 點與點之間的距離為: 6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題. 【例9】 證明: 證明:在單位圓上任取兩點,以為始邊,以為終邊的角分別為,則點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為; 則向量,它們的夾角為, ,由向量夾角公式得: ,從而得證. 注:用同樣的方法可證明 7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題. 【例10】 證明柯西不等式 證明:令 (1) 當(dāng)或時,,結(jié)論顯然成立; (2) 當(dāng)且時,令為的夾角,則 . 又 (當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立) .(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立) 【例11】 求的最值
19、 解:原函數(shù)可變?yōu)椋? 所以只須求的最值即可, 構(gòu)造, 那么. 故. 【例12】 三角形ABC中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:(1)BC邊上的中線 AM的長;(2)∠CAB的平分線AD的長;(3)cosABC的值. 解:(1)點M的坐標(biāo)為xM= D點分的比為2. ∴xD= (3)∠ABC是與的夾角,而=(6,8),=(2,-5). 解斜三角形 【例1】 已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.,求cos的值. 解法一:由題設(shè)條件知B=60°,A+C=120°. 設(shè)α=,則A-C=2α,可得A=60°+α,C=60°-α,
20、 依題設(shè)條件有 整理得4cos2α+2cosα-3=0(M) (2cosα-)(2cosα+3)=0,∵2cosα+3≠0, ∴2cosα-=0.從而得cos. 解法二:由題設(shè)條件知B=60°,A+C=120° ①,把①式化為cosA+cosC=-2cosAcosC ②, 利用和差化積及積化和差公式,②式可化為 ③, 將cos=cos60°=,cos(A+C)=-代入③式得: ④ 將cos(A-C)=2cos2()-1代入 ④:4cos2()+2cos-3=0,(*),
21、 【例2】 在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個觀察站P,上午11時,測得一輪船在島北30°東,俯角為60°的B處,到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。 (1)求船的航行速度是每小時多少千米; (2)又經(jīng)過一段時間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,問此時船距島A有多遠(yuǎn)? 解:(1)在Rt△PAB中,∠APB=60° PA=1,∴AB= (千米) 在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC= (千米) 在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90° (2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=
22、 sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30°. 在△ACD中,據(jù)正弦定理得, ∴ 答:此時船距島A為千米. 【例3】 已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B,設(shè)x=cos,f(x)=cosB(). (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域; (2)判斷其單調(diào)性,并加以證明; (3)求這個函數(shù)的值域. 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120° ∵0°≤||<60°,∴x=cos∈(,1 又4x2-3≠0,∴x≠,∴定義域為(,)∪(,1]. (2)設(shè)x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=
23、 =,若x1,x2∈(),則4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即f(x2)<f(x1),若x1,x2∈(,1],則4x12-3>0. 4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1),∴f(x)在(,)和(,1上都是減函數(shù). (3)由(2)知,f(x)<f()=-或f(x)≥f(1)=2. 故f(x)的值域為(-∞,-)∪[2,+∞. 【例4】 在中,角所對的邊分別為.若,求角. 解:由正弦定理,將已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角.可得 . 因為,故有
24、, ∴ . 又∵ , ∴ , 即, 由,可解得. 【例5】 在△ABC中,已知. (1)若任意交換的位置,的值是否會發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論; (2)求的最大值. 解:(1)∵ , ∴ 任意交換的位置,的值不會發(fā)生變化. (2) 解法1:將看作是關(guān)于的二次函數(shù). . 所以,當(dāng),且取到最大值1時,也即時,取得最大值. 解法2:用調(diào)整的方法, 也即對于每個固定的的值,去調(diào)整,求出取得最大值時所滿足的條件. 對于,如果固定,則可將看作是關(guān)于的一次或常數(shù)函數(shù).為了討論其最大值,顯然應(yīng)該考慮的符號,并由此展開討論. 若,則,所以,
25、,所以, 所以,只需考慮的情形.此時是關(guān)于的常數(shù)函數(shù)或單調(diào)遞增的一次函數(shù),因此,最大值必可在(即)時取得.所以, , 等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得. 【平面向量練習(xí)】 一、選擇題: 1、下列各式中正確的是( C ) (1)(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), (2)|a·b|=|a|·|b|, (3)(a ·b)· c=a · (b ·c), (4)(a+b) · c= a·c+b·c A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(4) D.
26、以上都不對. 2、在ΔABC中,若(+)·(-)=0,則ΔABC為( C ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定 3、若|a|=|b|=|a-b|,則b與a+b的夾角為( A ) A.30° B.60° C.150° D.120° 4、已知|a|=1,|b|= ,且(a-b)和a垂直,則a與b的夾角為( D ) A.60° B.30° C.135° D.45° 5、若· + = 0,則Δ
27、ABC為( A ) A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.等腰直角三角形 6、設(shè)|a|= 4,|b|= 3, 夾角為60°, 則|a+b|等于( C ) A.37 B.13 C. D. 7、己知|a|=1,|b|=2, a與b的夾角為600,c =3a+b, d =λa-b ,若c⊥d,則實數(shù)λ的值為( C ) A. B. C. D. 8、設(shè) a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量且相互不共線,則( D )
28、 ①(ab) c-(ca)b=0 ②|a| -|b|< |a-b| ③(bc)a-(ca)b不與c垂直 ④(3a+2b)(3a-2b)= 9|a|2-4|b|2 其中真命題是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 二、填空題: 9、已知e是單位向量,求滿足a∥e且a·e=-18的向量a=__________.-18e 10、設(shè)a=(m+1)i-3j, b=i+(m-1)j, (a+b) ⊥(a-b), 則m=________.-2
29、11、|a|=5, |b|=3,|a-b|=7,則a、b的夾角為__________. 120° 12、 a與d=b-關(guān)系為________. a⊥b 三、解答題: 13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求:① a·b ;②(2a-b) ·(a+3b) 解:①|(zhì)a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2, =. ②(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2 =2×42+5×(-10)-3×52=-93. 14、四邊形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且a·b
30、=b·c=c·d=d ·a,判斷四邊形ABCD是什么圖形? 分析:在四邊形ABCD中,a+b+c+d=0,這是一個隱含條件, 對a+b=-(c+d),兩邊平方后,用a·b=b·c=d·c代入, 從四邊形的邊長與內(nèi)角的情況來確定四邊形的形狀. 解:∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d), ∴(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2, ∵a·b=c·d,∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理:|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……② ①,②兩式相減得:|b|2=|d|2,|a|2=|c|2,即|b|=|d|,
31、|a|=|c|. ∴ABCD為平行四邊形. 又∵a·b=b·c,即b·(a-c)=0,而a=-c, ∵b·(2a)=0 ∴a⊥b, ∴四邊形ABCD為矩形. 15、已知:|a|=5,|b|=4,且a與b的夾角為60°,問當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時,向量ka-b與 a+2b 垂直? 解: . 【平面向量的綜合應(yīng)用練習(xí)】 一、選擇題 1.設(shè)A、B、C、D四點坐標(biāo)依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),則四邊形ABCD為( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 2.已知△ABC中,=a,=b,a·b
32、<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( ) A.30° B.-150° C.150° D.30°或150° 二、填空題 3.將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x-5的圖象只有一個公共點(3,1),則向量a=_________. 4.等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB,它們所在的平面成60°角,若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________. 三、解答題 5.如圖,在△ABC中,設(shè)=a, =b, =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),試用向量a,b表示c. 6
33、.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo); (2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. 7.已知兩點M(-1,0),N(1,0),且點P使成公差小于零的等差數(shù)列. (1)點P的軌跡是什么曲線? (2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與的夾角,求tanθ. 8.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點. (1)用向量法證明E、F、G、H四點共面; (2)用向量法證明:BD∥平面EFGH; (3)設(shè)M是EG和FH的交點,求證:對空間任一點O,有.參考答案 一、1.解析
34、: =(1,2), =(1,2),∴=,∴∥,又線段AB與線段DC無公共點,∴AB∥DC且|AB|=|DC|,∴ABCD是平行四邊形,又||=, =(5,3),||=,∴||≠|(zhì)},∴ABCD不是菱形,更不是正方形;又=(4,1), ∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于,∴ABCD也不是矩形,故選D. 答案:D 2.解析:∵·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°. 又∵a·b<0,∴α=150°. 答案:C 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解:∵與共線,∴=m=m(-)=m(μb-a), ∴=+=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb
35、 ① 又與共線,∴=n=n(-)=n(λa-b), ∴=+=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b ② 由①②,得(1-m)a+μmb=λna+(1-n)b. ∵a與b不共線,∴ ③ 解方程組③得:m=代入①式得c=(1-m)a+mμb=[λ(1-μ)a+μ(1-λ)b]. 6.解:(1)以點A為坐標(biāo)原點O,以AB所在直線為Oy軸,以AA1所在直線為Oz軸,以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知,得A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(-a). (2)取A1B1的中點M,于是有
36、M(0,a),連AM,MC1,有=(-a,0,0), 且=(0,a,0),=(0,0a) 由于·=0,·=0,所以MC1⊥面ABB1A1,∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. ∵= 所以所成的角,即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°. 7.解:(1)設(shè)P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得, =-=(-1-x,-y), =(1-x,-y), =-=(2,0),∴·=2(1+x), ·=x2+y2-1, =2(1-x).于是,是公差小于零的等差數(shù)列,等價于 所以,點P的軌跡是以原點為圓心,為半徑的右半圓. (2)點P的坐標(biāo)為(x
37、0,y0) 8.證明:(1)連結(jié)BG,則 由共面向量定理的推論知:E、F、G、H四點共面,(其中=) (2)因為. 所以EH∥BD,又EH面EFGH,BD面EFGH 所以BD∥平面EFGH. (3)連OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG 由(2)知,同理,所以,EHFG,所以EG、FH交于一點M且被M平分,所以 . 【解斜三角形練習(xí)】 一、選擇題 1.給出四個命題:(1)若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形;(2)若sinA=cosB,則△ABC為直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2
38、,則△ABC為鈍角三角形;(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC為正三角形.以上正確命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題 2.在△ABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,則的值為__________. 3.在△ABC中,A為最小角,C為最大角,已知cos(2A+C)=-,sinB=,則cos2(B+C)=__________. 三、解答題 4.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積. 5.如右圖,在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈,
39、桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比,角和這一點到光源的距離 r的平方成反比,即I=k·,其中 k是一個和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù),那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h,才能使桌子邊緣處最亮? 6.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,. (1)求角A的度數(shù); (2)若a=,b+c=3,求b和c的值. 7.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c,且a、b、3c成等比數(shù)列,又∠A-∠C=,試求∠A、∠B、∠C的值. 8.在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點,使沿線段DE折疊三角形時,頂點A正好落在邊BC上,在這種情況下,若要使
40、AD最小,求AD∶AB的值. 參考答案 一、1.解析:其中(3)(4)正確. 答案: B 二、2.解析:∵A+B+C=π,A+C=2B, 答案: 3.解析:∵A為最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=-,∴sin(2A+C)=. ∵C為最大角,∴B為銳角,又sinB=.故cosB=. 即sin(A+C)=,cos(A+C)=-. ∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=-, ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1=. 答案: 三、4.解:如圖:連結(jié)BD,則有四邊形ABCD的面積:
41、 S=S△ABD+S△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC ∵A+C=180°,∴sinA=sinC 故S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA 由余弦定理,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA=20-16cosA 在△CDB中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, ∴64cosA=-32,cosA=-,又0°<A<180°,∴A=120°故S=16sin120°=8. 5.解:R=rcosθ,由此得:,
42、 7.解:由a、b、3c成等比數(shù)列,得:b2=3ac ∴sin2B=3sinC·sinA=3(-)[cos(A+C)-cos(A-C)] ∵B=π-(A+C).∴sin2(A+C)=-[cos(A+C)-cos] 即1-cos2(A+C)=-cos(A+C),解得cos(A+C)=-. ∵0<A+C<π,∴A+C=π.又A-C=∴A=π,B=,C=. 8.解:按題意,設(shè)折疊后A點落在邊BC上改稱P點,顯然A、P兩點關(guān)于折線DE對稱,又設(shè)∠BAP=θ,∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ,再設(shè)AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP
43、=120°-θ, 由正弦定理知:.∴BP= 在△PBD中,, ∵0°≤θ≤60°,∴60°≤60°+2θ≤180°,∴當(dāng)60°+2θ=90°,即θ=15°時, sin(60°+2θ)=1,此時x取得最小值a,即AD最小, ∴AD∶DB=2-3. 平面向量單元測試題 班級 姓名 考號 一,選擇題:(5分×8=40分) 1,下
44、列說法中錯誤的是 ( ) A.零向量沒有方向 B.零向量與任何向量平行 C.零向量的長度為零 D.零向量的方向是任意的 2,下列命題正確的是 ( ) A. 若、都是單位向量,則 = B. 若=, 則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形 C. 若兩向量、相等,則它們是始點、終點都相同的向量 D. 與是兩平行向量 3,下列命題正確的是
45、 ( ) A、若∥,且∥,則∥。 B、兩個有共同起點且相等的向量,其終點可能不同。 C、向量的長度與向量的長度相等 , D、若非零向量與是共線向量,則A、B、C、D四點共線。 4,已知向量,若,=2,則 ( ) A.1 B. C. D. 5,若=(,),=(,),,且∥,則有 ( ) A,+=0, B, ―=0,
46、 C,+=0, D, ―=0, 6,若=(,),=(,),,且⊥,則有 ( ) A,+=0, B, ―=0, C,+=0, D, ―=0, 7,在中,若,則一定是 ( ) A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不能確定 8,已知向量滿足,則的夾角等于 ( ) A. B C D 二,填空題:(5分×4=20分) 9。已知向量、滿足==1,=3,則 =
47、 10,已知向量=(4,2),向量=(,3),且//,則= 11,.已知 三點A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos∠BAC = 12,.把函數(shù)的圖像按向量經(jīng)過一次平移以后得到的圖像, 則平移向量是 (用坐標(biāo)表示) 三,解答題:(10分×6 = 60分) 13,設(shè)且在的延長線上,使,,則求點 的坐標(biāo) 14,已知兩向量求與所成角的大小, 15,已知向量=(6,2),=(-3
48、,k),當(dāng)k為何值時,有 (1),∥ ? (2),⊥ ? (3),與所成角θ是鈍角 ? 16,設(shè)點A(2,2),B(5,4),O為原點,點P滿足=+,(t為實數(shù)); (1),當(dāng)點P在x軸上時,求實數(shù)t的值; (2),四邊形OABP能否是平行四邊形?若是,求實數(shù)t的值 ;若否,說明理由, 17,已知向量=(3, -4), =(6, -3),=(5-m, -3-m), (1)若點A、B、C能構(gòu)成三角形,求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件; (2)若△ABC為直角三角形,
49、且∠A為直角,求實數(shù)m的值. 18, 已知向量 (1)求向量; (2)設(shè)向量,其中, 若,試求的取值范圍. 平面向量單元測試題答案: 一,選擇題: A D C D B C C A 二,填空題: 9,2; 10,6; 11, 12, 三,解答題: 13,解法一: 設(shè)分點P(x,y),∵=―2,l=―2 ∴ (x―4,y+3)=―2(―2―x,6―y), x―4=2x+4, y+3=2y―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,
50、15) 解法二:設(shè)分點P(x,y),∵=―2, l=―2 ∴ x==―8, y==15, ∴ P(―8,15) 解法三:設(shè)分點P(x,y),∵, ∴ ―2=, x=―8, 6=, y=15, ∴ P(―8,15) 14,解:=2, = , cos<,>=―, ∴<,>= 1200, 15,解:(1),k=-1; (2), k=9; (3), k<9, k≠-1 16,解:(1),設(shè)點P(x,0), =(3,2), ∵=+,∴ (x,0)
51、=(2,2)+t(3,2), ∴ (2),設(shè)點P(x,y),假設(shè)四邊形OABP是平行四邊形, 則有∥, T y=x―1, ∥ T 2y=3x ∴ …… ①, 又由=+,T (x,y)=(2,2)+ t(3,2), 得 ∴ …… ②, 由①代入②得:, 矛盾,∴假設(shè)是錯誤的, ∴四邊形OABP不是平行四邊形。 17,,解:(1)已知向量 若點A、B、C能構(gòu)成三角形,則這三點不共線, 3分 故知. ∴實數(shù)時,滿足的條件. 5分 (2)若△ABC為直角三角形,且∠A為直角,則, 7分 ∴,解得. 10分 18, .解:(1)令 3分 (2) 4分 6分 ===; 8分 ∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤≤2, 10分
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