2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 6.1 直線 圓學(xué)案 理

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1、第1講　直線　圓 考點(diǎn)1　直線的方程及應(yīng)用 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．兩個(gè)距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝. [例1]　(1)[2019·重慶一中模擬]“a＝3”是“直線ax＋2y＋2a＝0和直線3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充

2、分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)[2019·河北衡水中學(xué)模擬]已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,0)和點(diǎn)B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，－1)和點(diǎn)Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．－1或1 【解析】　(1)由直線ax＋2y＋2a＝0和直線3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行，知a(a－1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a＝3或a＝－2.所以“a＝3”是“直線ax＋2y＋2a＝0和直線3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的充分而不必要條件．故選A. (2)直線l1的斜率k1＝＝a.當(dāng)a≠0時(shí)，

3、直線l2的斜率k2＝＝. 因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1. 當(dāng)a＝0時(shí)，P(0，－1)，Q(0,0)， 此時(shí)直線l2為y軸，A(－2,0)，B(1,0)，則直線l1為x軸， 顯然l1⊥l2. 綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為0或1.故選C. 【答案】　(1)A　(2)C (1)求解兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性． (2)判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時(shí)，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況. 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019

4、·四川聯(lián)合診斷]與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程是(　　) A．3x－4y＋5＝0 B．3x－4y－5＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x＋4y＋5＝0 解析：設(shè)所求直線上某點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－y)，且點(diǎn)(x，－y)在已知的直線上，所以所求直線方程為3x＋4y＋5＝0，故選D. 答案：D 2．[2019·四川涼山模擬]若點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A. B. C.或 D．－或－ 解析：由點(diǎn)A和點(diǎn)B到直線l的距離相等，得＝，化簡(jiǎn)得6a＋4＝－3a

5、－3或6a＋4＝3a＋3，解得a＝－或a＝－.故選D. 答案：D 考點(diǎn)2　圓的方程 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以 為圓心，為半徑的圓． [例2]　(1)[2019·北京卷]設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_______； (2)[2016·天津卷]已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－

6、y＝0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)_____________________． 【解析】　(1)因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，所求的圓以F為圓心，且與準(zhǔn)線l相切，故圓的半徑r＝2，所以圓的方程為(x－1)2＋y2＝4. (2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上， 設(shè)C(a,0)，且a>0， 所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝＝， 解得a＝2， 所以圓C的半徑r＝|CM|＝＝3， 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9. 【答案】　(1)(x－1)2＋y2＝4　(2)(x－2)2＋y2＝9 圓的方程的求法 (1)幾何法，通

7、過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程； (2)代數(shù)法，用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程．一般采用待定系數(shù)法. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·河南豫北名校聯(lián)考]圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程是(　　) A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 解析：設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)， 則有解得a＝1，b＝， 則所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4.故選

8、D. 答案：D 4．[2019·湖北八校聯(lián)考]已知圓C的圓心在y軸上，點(diǎn)M(3,0)在圓C上，且直線2x－y－1＝0經(jīng)過(guò)線段CM的中點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18 C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25 解析：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(0，b)， 則線段CM的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 因?yàn)橹本€2x－y－1＝0經(jīng)過(guò)線段CM的中點(diǎn)， 所以2×－－1＝0，解得b＝4， 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(0,4)， 半徑r＝|CM|＝＝5， 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－4)2＝25， 故選C. 答案：C 考點(diǎn)

9、3　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1．直線與圓的位置關(guān)系判定 (1)代數(shù)法．將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來(lái)組成方程組，利用判別式Δ來(lái)討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離； (2)幾何法．把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr?相離． 2．圓與圓的位置關(guān)系判定 (1)d>r1＋r2?兩圓外離； (2)d＝r1＋r2?兩圓外切； (3)|r1－r2|

10、知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________； (2)[2019·江西師范大學(xué)附中期末]已知對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l1：3x＋2y＝3＋2m和直線l2：2x－3y＝2－3m分別與圓C：(x－1)2＋(y－m)2＝1相交于A，C和B，D，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的位置關(guān)系，考查考生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 解法一　設(shè)過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)且與直線2x－y＋3＝

11、0垂直的直線方程為l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，則r＝＝. 解法二　因?yàn)橹本€2x－y＋3＝0與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝. (2)由直線l1：3x＋2y＝3＋2m和直線l2：2x－3y＝2－3m，易得l1⊥l2，得S四邊形ABCD＝AC·BD.由題可知，l1，l2過(guò)圓心C，所以AC＝BD＝2，所以S四邊形ABCD＝2，故選B. 【答案】　(1)－2　　(2)B 弦長(zhǎng)的求解方法 (1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形，把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到

12、直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)． (3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解. 『對(duì)接訓(xùn)練』 5．[2019·山東新泰一中月考]直線ax＋by－a－b＝0(a2＋b2≠0)與圓x2＋y2－2＝0的位置關(guān)系為(　　) A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交 解析：由已知得，圓的圓心為(0,0)，半徑為，圓心到直線的距離為，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圓心到直線的距離≤，所以直線與圓相交或相切，

13、故選C. 答案：C 6．[2019·江蘇南師大附中期中]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C過(guò)點(diǎn)A(0，－8)，且與圓x2＋y2－6x－6y＝0相切于原點(diǎn)，則圓C的方程為_(kāi)_______________． 解析：由x2＋y2－6x－6y＝0得(x－3)2＋(y－3)2＝18，則該圓的圓心為(3,3)，半徑為3.由于兩個(gè)圓相切于原點(diǎn)，所以兩圓的圓心連線必過(guò)切點(diǎn)，故圓C的圓心在直線y＝x上．由于圓C過(guò)點(diǎn)(0,0)，(0，－8)，所以其圓心也在直線y＝－4上，易得圓心坐標(biāo)為(－4，－4)，又點(diǎn)(－4，－4)到原點(diǎn)的距離為4，所以圓C的方程為(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8

14、y＝0. 答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 課時(shí)作業(yè)14　直線　圓 1．[2019·山東平度一中月考]若直線l1：ax－y＋1＝0與直線l2：2x－2y－1＝0的傾斜角相等，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：由題意可得兩直線平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故選B. 答案：B 2．[2019·安徽六安一中四模]直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c＝(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：由題意可得，－×＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝1

15、0，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故選B. 答案：B 3．[2019·天津七校聯(lián)考]經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)與直線2x－y＋2＝0平行的直線方程是(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0 解析：設(shè)所求直線的方程為2x－y＋a＝0，將(0,1)代入直線方程，得－1＋a＝0，所以a＝1，故所求直線方程為2x－y＋1＝0.故選B. 答案：B 4．[2019·湖南衡陽(yáng)八中月考]已知直線l的傾斜角為θ且過(guò)點(diǎn)(，1)，其中sin＝，則直線l的方程為(　　) A.x－y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C．x－y＝0 D.x＋

16、3y－6＝0 解析：∵sin＝，∴cos θ＝－，θ＝，則tan θ＝－，直線的方程為y－1＝－(x－)，即x＋y－4＝0，故選B. 答案：B 5．[2019·安徽四校聯(lián)考]直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為6，則直線l的方程是(　　) A．3x＋y－6＝0 B．3x－y＝0 C．x＋3y－10＝0 D．x－3y＋8＝0 解析：解法一　設(shè)直線l的斜率為k(k<0)，則直線l的方程為y－3＝k(x－1)．x＝0時(shí)，y＝3－k；y＝0時(shí)，x＝1－.所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S＝×(3－k)＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直線l的

17、方程為y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故選A. 解法二　依題意，設(shè)直線方程為＋＝1(a>0，b>0)，則可得＋＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，則直線l的方程為＋＝1，即3x＋y－6＝0，故選A. 答案：A 6．[2019·河北九校聯(lián)考]圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 解析：由題意設(shè)所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m>0)，則＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2

18、)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故選C. 答案：C 7．[2019·山東濟(jì)寧期末]已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)AB最短時(shí)，直線l的方程為(　　) A．2x－y－1＝0 B．x＋2y－8＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 解析：根據(jù)題意，圓C的圓心C(2,3)，半徑r＝3.當(dāng)CM與AB垂直時(shí)，即M為AB的中點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)AB最短，此時(shí)CM的斜率kCM＝＝2，則AB的斜率kAB＝－，所以直線AB的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0，故選D. 答案：D 8．[2019·江西吉安五校聯(lián)考]

19、若直線mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，n≠m)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－4＝0，則mn的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(－1,0) C．(－∞，1) D．(－∞，－1) 解析：x2＋y2－4x－2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，∵直線mx＋2ny－4＝0(m，n∈R，m≠n)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－4＝0，∴圓心(2,1)在直線mx＋2ny－4＝0上，得m＋n＝2，n＝2－m，∴mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1，∵m≠n，∴m≠1，∴mn<1.故選C. 答案：C 9．[2019·湖南雅禮中學(xué)月考]若圓x2＋

20、y2－6x－2y＋6＝0上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線ax－y＋1＝0(a是實(shí)數(shù))的距離為1，則a＝(　　) A．±1 B．± C．± D．± 解析：由題意知圓心為(3,1)，半徑是2，因?yàn)閳A上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線ax－y＋1＝0的距離為1，所以圓心到直線ax－y＋1＝0的距離是1，即＝1，得a＝±，故選B. 答案：B 10．[2019·湖南長(zhǎng)沙一模]圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是(　　) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 解析：將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的

21、距離d＝＝，故圓上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋1＝＋1，故選A. 答案：A 11．[2019·湖南師大附中月考]點(diǎn)P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離等于4，且在2x＋y－3<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則a的值為(　　) A．3 B．7 C．－3 D．－7 解析：由題意可得解得a＝－3，故選C. 答案：C 12．[2019·河南南陽(yáng)期末]已知點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)．若直線3x－4y＋m＝0上存在點(diǎn)P滿足·＝0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－5]∪[5，＋∞) B．(－∞，－25]∪[25，＋∞) C．[－25,25]

22、 D．[－5,5] 解析：由題意知，此題可轉(zhuǎn)化為求直線3x－4y＋m＝0與圓x2＋y2＝1有交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，則≤1，解得－5≤m≤5，故m的取值范圍是[－5,5]． 答案：D 13．[2019·貴州遵義四中月考]過(guò)點(diǎn)(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)_______________． 解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線斜率為＝，故直線方程為y＝x，即3x－2y＝0.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為＋＝1，把(2,3)代入可得a＝－1，故直線的方程為x－y＋1＝0.綜上，所求直線方程為3x－2y＝0或x－y＋1＝0. 答案：3x－2y＝0或x－y＋1＝0 14．

23、[2019·天津七校聯(lián)考]已知M(0,2)，N(2，－2)，以線段MN為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________． 解析：由題意易得圓心的坐標(biāo)為(1,0)，|MN|＝＝2，所以圓的半徑為，所以圓的方程為(x－1)2＋y2＝5. 答案：(x－1)2＋y2＝5 15．[2019·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]過(guò)直線l：x＋y＋1＝0上一點(diǎn)P作圓C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若四邊形PACB的面積為3，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，半徑為1.因?yàn)樗倪呅蜳ACB的面積為3，所以|PA|·1＝3.連接PC，在直角三角形PAC中，由勾股定理可得，|PC|＝＝.設(shè)P(a，－a－1)，則＝，解得a＝－1或a＝1. 答案：－1或1 16．[2019·北京大興區(qū)期末]直線l：y＝kx＋k與圓C：(x－1)2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，k的值為_(kāi)_______． 解析：圓C的圓心C(1,0)，半徑r＝1，設(shè)圓心C到直線的距離為d，則△ABC的面積S＝×d×2×＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)d2＝，即d＝時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)d＝＝，解得k＝±. 答案：± - 10 -