2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 8.1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文

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1、第1講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 考點(diǎn)1　極坐標(biāo) 1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M為平面上的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)．由圖可知下面的關(guān)系式成立： 或 順便指出，上式對(duì)ρ<0也成立． 這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式． 2．圓的極坐標(biāo)方程 (1)圓心在極點(diǎn)，半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝R. (2)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2acosθ. (3)圓心在點(diǎn)處且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2asinθ. [例1]　[2019·全國(guó)卷Ⅲ][選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B，C，

2、D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． 【解析】　本題主要考查極坐標(biāo)方程的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算． (1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ， M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ， M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cos θ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由

3、題設(shè)及(1)知： 若0 ≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或 . (1)把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，通常有不同的表示法(極角相差2π的整數(shù)倍)，一般取θ∈[0,2π)． (2)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，關(guān)鍵要掌握好互化公式，研究極坐標(biāo)系下圖形的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為我們熟悉的直角坐標(biāo)系的情境. 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019·全國(guó)卷Ⅱ][選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過(guò)點(diǎn)

4、A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解析：本題主要考查直線的極坐標(biāo)方程、軌跡方程的求解，意在考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． (1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在C上，當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin ＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的任意一點(diǎn)．連接OQ， 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上． 所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，

5、在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM， 故θ的取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，θ∈. 考點(diǎn)2　參數(shù)方程 1．直線的參數(shù)方程 直線的參數(shù)方程可以從它的普通方程轉(zhuǎn)化而來(lái)，設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為y－y0＝k(x－x0)． 其中k＝tan α，α為直線的傾斜角，代入上式，得 y－y0＝(x－x0)，α≠， 即＝. 記上式的比值為t，整理后得 (t為參數(shù))． 這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)t有明顯的幾何意義． 在直角三角形M0AM中，|M0A|＝|x－x0|，|MA|＝|

6、y－y0|，|M0M|＝|t|，即|t|表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離． 2．圓的參數(shù)方程 若圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 3．橢圓的參數(shù)方程 若橢圓的中心不在原點(diǎn)，而在點(diǎn)M0(x0，y0)處，相應(yīng)的橢圓的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 通常規(guī)定參數(shù)θ的范圍為[0,2π)． [例2]　[2018·全國(guó)卷Ⅱ]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率． 【解析】　(1)解：曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋

7、＝1. 當(dāng)cos α≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當(dāng)cos α＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1. (2)解：將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. (1)參數(shù)方程是以參變量為中介來(lái)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式，在消參時(shí)要注意

8、參變量的范圍． (2)在參數(shù)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，可將其先化成直角坐標(biāo)系下的普通方程，這樣思路會(huì)更加清晰. 『對(duì)接訓(xùn)練』 2．[2018·天津卷]已知圓x2＋y2－2x＝0的圓心為C，直線(t為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC的面積為_(kāi)_______． 解析：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，為y＝－x＋2. 聯(lián)立方程組可求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,1)，(2,0)．故|AB|＝. 又圓心C到直線AB的距離d＝， 故S△ABC＝××＝. 答案： 考點(diǎn)3　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合 [例3]　[2019·全國(guó)卷Ⅰ][選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在直角坐

9、標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． 【解析】　本題主要考查橢圓的參數(shù)方程與直線的極坐標(biāo)方程、橢圓上的點(diǎn)到直線的距離最小值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算． (1)因?yàn)椋?<≤1， 且x2＋2＝2＋＝1， 所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π<α<

10、π)．C上的點(diǎn)到l的距離為 ＝. 當(dāng)α＝－時(shí)，4cos＋11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為. 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題，一般采用分別化為普通方程的方法，利用平面解析幾何的知識(shí)解決．當(dāng)涉及線段長(zhǎng)度時(shí)，也可以利用極徑的幾何意義和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·河南新鄉(xiāng)一模]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ. (1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，

11、P(－1,2)，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)消去參數(shù)，得直線l的普通方程為x＋y－1＝0. 由ρcos2θ＝sin θ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ， 則y＝x2，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y＝x2. (2)將代入y＝x2，得t2＋t－2＝0， 設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝－2，易知直線l過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2. 課時(shí)作業(yè) 19　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1．[2019·江蘇卷]在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B，直線l的方程為ρsin＝3. (1)求A，B兩點(diǎn)間的距離； (2)求點(diǎn)B到直線l的距離． 解析

12、：本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力． (1)設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A，B， 由余弦定理， 得AB＝＝. (2)因?yàn)橹本€l的方程為ρsin＝3， 則直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為. 又B，所以點(diǎn)B到直線l的距離為(3－)×sin＝2. 2．[2019·湖北八校第一次聯(lián)考]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，t為常數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝. (1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 解析：(1)消去參數(shù)，得圓C的普通

13、方程為(x－t)2＋y2＝2. 將直線l的極坐標(biāo)方程化為－ρcos θ＋ρsin θ＝， 則－x＋y＝，化簡(jiǎn)得y＝x＋2. 故直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2. (2)∵圓C的普通方程為(x－t)2＋y2＝2， ∴圓C的圓心為C(t,0)，半徑為， ∴圓心C到直線l的距離d＝， ∵直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，∴d＝<，解得－4

14、1，l2的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程； (2)已知直線l1與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，直線l2與曲線C交于O，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積． 解析：(1)依題意，得直線l1的直角坐標(biāo)方程為y＝x， 直線l2的直角坐標(biāo)方程為y＝x， 由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－1)2＝4， ∴曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)聯(lián)立方程，得得|OA|＝|ρ1|＝4， 同理，得|OB|＝|ρ2|＝2. 又∠AOB＝， ∴S△AOB＝|OA|·|O

15、B|sin∠AOB＝×4×2×＝2， 故△AOB的面積為2. 4．[2019·廣東佛山質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(φ為參數(shù))，直線l1：(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C與l1的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)－<α<時(shí)，直線l1與曲線C相交于O，A兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作l1的垂線l2，l2與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求|OA|＋|OB|的最大值． 解析：(1)因?yàn)榍€C：(φ為參數(shù))， 所以曲線C的普通方程為(x－1)2＋(y－)2＝4， 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，

16、化簡(jiǎn)得ρ＝2cos θ＋2sin θ. 因?yàn)橹本€l1：(t為參數(shù))，所以直線l1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． (2)根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(ρA，α)，－<α<，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，則ρA＝2cos α＋2·sin α＝4sin，ρB＝4sin＝4cos， 所以|OA|＋|OB|＝ρA＋ρB＝4sin＋4cos＝4sin， 所以當(dāng)α＝時(shí)，|OA|＋|OB|取得最大值，且(|OA|＋|OB|)max＝4. 5．[2019·四川瀘州一診]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過(guò)點(diǎn)P(

17、－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)． (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程； (2)若|PA|·|PB|＝|AB|2，求a的值． 解析：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a>0)得ρ2sin2θ＝2aρcos θ(a>0)， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2ax(a>0)． 消去參數(shù)，得直線l的普通方程為y＝x－2. (2)將直線l的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))， 代入y2＝2ax，得t2－2(4＋a)t＋32＋8a＝0， 設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝32＋8a，t1>0，t2

18、>0， 所以|t1|＝|PA|，|t2|＝|PB|，|t1－t2|＝|AB|， 由|PA|·|PB|＝|AB|2得 |t1－t2|2＝t1t2，所以|t1＋t2|2＝5t1t2， 所以[2(4＋a)]2＝5(32＋8a)，即a2＋3a－4＝0， 解得a＝1或a＝－4(舍去)，所以a＝1. 6．[2019·福建福州質(zhì)量抽測(cè)]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓E的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ，直線θ＝β，θ＝β＋，θ＝β－(ρ∈R)，與圓E分別交于不同于極點(diǎn)O的三點(diǎn)A，B，C. (1)若<β<，求證：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)若當(dāng)β＝時(shí)，直線l過(guò)B，C兩點(diǎn)，求y0與α的值． 解析：(1)證明：依題意，得|OA|＝|4sin β|，|OB|＝，|OC|＝|4sin|， ∵<β<， ∴|OB|＋|OC|＝4sin＋4sin＝4sin β＝|OA|. (2)當(dāng)β＝時(shí)，易得直線θ＝β＋與圓E的交點(diǎn)B的極坐標(biāo)為＝＝， 直線θ＝β－與圓E的交點(diǎn)C的極坐標(biāo)為＝， 從而B(niǎo)，C兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(，1)，(0,4)， ∴直線l的普通方程為y＝－x＋4， 故y0＝1，α＝. - 10 -