《2022年高中數(shù)學(xué) 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué) 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué) 三角函數(shù)的性質(zhì)教案 蘇教版必修4
教學(xué)目標(biāo):
理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義,會(huì)求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間;滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn):
正、余弦函數(shù)的性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn):
正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用
教學(xué)過程:
Ⅰ.課題導(dǎo)入
上節(jié)課,我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象,今天,我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性質(zhì).
(1)定義域:
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R[或(-∞,+∞)],分別記作:
y=sinx,x∈R
y=cosx,x∈R
(2)值域
因?yàn)檎揖€、余弦線的長
2、度小于或等于單位圓的半徑的長度,所以|sinx|≤1,|c(diǎn)osx|≤1,即
-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1
也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1,1].
其中正弦函數(shù)y=sinx,x∈R
①當(dāng)且僅當(dāng)x=+2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1.
②當(dāng)且僅當(dāng)x=-+2kπ,k∈Z時(shí),取得最小值-1.
而余弦函數(shù)y=cosx,x∈R
①當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1.
②當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1)π,k∈Z時(shí),取得最小值-1.
(3)周期性
由 (k∈Z)
知:正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.
一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非
3、零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.
由此可知,2π,4π,…,-2π,-4π,…2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期.
對于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
根據(jù)上述定義,可知:
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù).
(5)單調(diào)性
從y=sinx,x∈[-,]的圖象上可看出:
當(dāng)x∈[-,]時(shí),曲
4、線逐漸上升,sinx的值由-1增大到1.
當(dāng)x∈[,]時(shí),曲線逐漸下降,sinx的值由1減小到-1.
結(jié)合上述周期性可知:
正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個(gè)閉區(qū)間[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到
-1.
余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1;在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1.
[例1]求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合,并說出最大值是什么.
(1)y=cosx+1,x∈R;
5、(2)y=sin2x,x∈R.
解:(1)使函數(shù)y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.
函數(shù)y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2.
(2)令Z=2x,那么x∈R必須并且只需Z∈R,且使函數(shù)y=sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合是{Z|Z=+2kπ,k∈Z}
由2x=Z=+2kπ,得x=+kπ
即:使函數(shù)y=sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}.
函數(shù)y=sin2x,x∈R的最大值是1.
[例2]求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=1+ (2)y=
解:(
6、1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1
即x≠+2kπ(k∈Z)
∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x≠+2kπ,k∈Z}
(2)由cosx≥0
得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)
∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?kπ,+2kπ](k∈Z)
[例3]求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間:
①y=cos(2x+);②y=3sin(-)
解:①設(shè)u=2x+,則y=cosu
當(dāng)2kπ-π≤u≤2kπ時(shí)y=cosu隨u的增大而增大
又∵u=2x+隨x∈R增大而增大
∴y=cos(2x+)當(dāng)2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z)
即kπ-≤x≤kπ-時(shí),y隨x增大而增大
∴y=cos(2x+)的單調(diào)遞增
7、區(qū)間為:
[kπ-π,kπ-](k∈Z)
②設(shè)u=-,則y=3sinu
當(dāng)2kπ+≤u≤2kπ+時(shí),y=3sinu隨x增大在減小,
又∵u=-隨x∈R增大在減小
∴y=3sin(-)當(dāng)2kπ+≤-≤2kπ+
即-4kπ-≤x≤-4kπ-時(shí),y隨x增大而增大
∴y=3sin(-)的單調(diào)遞增區(qū)間為 [4kπ-,4kπ-](k∈Z)
Ⅲ.課堂練習(xí)
課本P33 1~7
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
通過本節(jié)學(xué)習(xí),要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解決一些相關(guān)問題.
Ⅴ.課后作業(yè)
課本P46 習(xí)題 2、3、4
課后練習(xí):
1.給出下列命題:
①y=sinx在第一
8、象限是增函數(shù);
②α是銳角,則y=sin(α+)的值域是[-1,1];
③y=sin|x|的周期是2π;
④y=sin2x-cos2x的最小值是-1;
其中正確的命題的序號是_____.
分析:①y=sinx是周期函數(shù),自變量x的取值可周期性出現(xiàn),如反例:
令x1=,x2=+2π,此時(shí)x1<x2
而sin>sin(+2π)
∴①錯(cuò)誤;
②當(dāng)α為銳角時(shí),<α+<+
由圖象可知<sin(α+)≤1
∴②錯(cuò)誤;
③∵y=sin|x|(x∈R)是偶函數(shù).
其圖象是關(guān)于y軸對稱,可看出它不是周期函數(shù).
∴③錯(cuò)誤;
④y=sin2x-cos2x=-cos2x,最小值為-1
9、
∴④正確.
答案:④
評述:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部選擇,是針對區(qū)間而言的;我們不能說某函數(shù)在某象限內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù),而只能說某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).
2.求下列函數(shù)的定義域和值域:
(1)y=lg(sinx-) (2)y=2
分析:根據(jù)函數(shù)有意義列不等式,求x的范圍即為定義域.求值域時(shí)要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域.
解:(1)要使lg(sinx-)有意義,必須且只須sinx>,
解之得:2kπ+<x<2kπ+,k∈Z
又∵0<sinx-≤1-
∴l(xiāng)g(sinx-)≤lg(1-)
∴定義域?yàn)?2kπ+,2kπ+),(k∈Z)
10、值域?yàn)?-∞,lg(1-)].
(2)要使2有意義,必須且只須2cos3x-1≥0,即cos3x≥,
解之得2kπ-≤3x≤2kπ+
即 -≤x≤+,k∈Z.
又0≤2cos3x-1≤1
故0≤2≤2
∴定義域?yàn)椋郏?,+],k∈Z
值域?yàn)椋?,2]
評述:求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問題,要充分考慮基本的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域.
4.比較下列各組數(shù)的大小:
(1)sin195°與cos170°;
(2)cos,sin,-cos
(3)sin(sin),sin().
分析:化為同名函數(shù),進(jìn)而利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小.
解:(1)si
11、n195°=sin(180°+15°)=-sin15°
cos170°=cos(180°-10°)=-cos10°=-sin80°
∵0°<15°<80°<90°
又∵y=sinx在[0°,90°]上是遞增函數(shù),
∴sin15°<sin80° ∴-sin15°>-sin80°
∴sin195°>cos170°.
(2)∵sin=cos(-)
-cos=cos(π-)
又∵-=1.47<1.5=
π-=1.39<1.4<-<
而y=cosx在[0,π]上是減函數(shù),
由π-<-<<π
得cos<cos(-)<cos(π-)
即cos<sin<-cos.
(3)∵cos=sin
∴0<cos<sin<1
而y=sinx在[0,1]內(nèi)遞增
∴sin(cos)<sin(sin).