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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第十三篇 推理證明、算法、復數(shù) 第2講 直接證明與間接證明教案 理 新人教版
【xx年高考會這樣考】
1.在歷年的高考中,證明方法是常考內容,考查的主要方式是對它們原理的理解和用法.難度多為中檔題,也有高檔題.
2.從考查形式上看,主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識為載體,考查綜合法、分析法、反證法等方法.
【復習指導】
在備考中,對本部分的內容,要抓住關鍵,即分析法、綜合法、反證法,要搞清三種方法的特點,把握三種方法在解決問題中的一般步驟,熟悉三種方法適用于解決的問題的類型,同時也要加強訓練,達到熟能生巧,有效運用它們的目的.
2、
基礎梳理
1.直接證明
(1)綜合法
①定義:利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法.
②框圖表示:→→→…→
(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結論).
(2)分析法
①定義:從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫做分析法.
②框圖表示:→→→…→
.
2.間接證明
一般地,由證明p?q轉向證明:綈q?r?…?t.
t與假設矛盾,或與某個真命題矛盾.從
3、而判定綈q為假,推出q為真的方法,叫做反證法.
一個關系
綜合法與分析法的關系
分析法與綜合法相輔相成,對較復雜的問題,常常先從結論進行分析,尋求結論與條件、基礎知識之間的關系,找到解決問題的思路,再運用綜合法證明,或者在證明時將兩種方法交叉使用.
兩個防范
(1)利用反證法證明數(shù)學問題時,要假設結論錯誤,并用假設命題進行推理,沒有用假設命題推理而推出矛盾結果,其推理過程是錯誤的.
(2)用分析法證明數(shù)學問題時,要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結論P,再說明所要證明的數(shù)學問題成立.
雙基自測
1.(人教A版教材習
4、題改編)p=+,q=·(m、n、a、b、c、d均為正數(shù)),則p、q的大小為( ).
A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不確定
解析 q= ≥
=+=p,當且僅當=時取等號.
答案 B
2.設a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),則a與b大小關系為( ).
A.a>b B.a<b
C.a=b D.a≤b
解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex,當x<0時,0<b<1.
∴a>b.
答案 A
3.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時,正確的反設為( ).
A.a,b,c都是奇數(shù)
B.a,b,c都
5、是偶數(shù)
C.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)
D.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
解析 ∵a,b,c恰有一個偶數(shù),即a,b,c中只有一個偶數(shù),其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù),故只有D正確.
答案 D
4.(xx·廣州調研)設a、b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是( ).
A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+a>0
解析 ∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.
答案 D
5.在用反證法證明數(shù)學命題時,如果原命題的否定事項不止一個時,必須將結論的否定情
6、況逐一駁倒,才能肯定原命題的正確.
例如:在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內一點,∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP,用反證法證明時應分:假設________和________兩類.
答案 ∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
考向一 綜合法的應用
【例1】?設a,b,c>0,證明:++≥a+b+c.
[審題視點] 用綜合法證明,可考慮運用基本不等式.
證明 ∵a,b,c>0,根據(jù)均值不等式,
有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.
三式相加:+++a+b+c≥2(a+b+c).
當且僅當a=b=c時取等號.
即++≥a+b+c.
綜合法是一種由
7、因導果的證明方法,即由已知條件出發(fā),推導出所要證明的等式或不等式成立.因此,綜合法又叫做順推證法或由因導果法.其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法,這就要保證前提正確,推理合乎規(guī)律,才能保證結論的正確性.
【訓練1】 設a,b為互不相等的正數(shù),且a+b=1,證明:+>4.
證明?。健?a+b)=2++≥2+2=4.
又a與b不相等.故+>4.
考向二 分析法的應用
【例2】?已知m>0,a,b∈R,求證:2≤.
[審題視點] 先去分母,合并同類項,化成積式.
證明 ∵m>0,∴1+m>0.
所以要證原不等式成立,
只需證明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即證m
8、(a2-2ab+b2)≥0,
即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,
故原不等式得證.
逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結論成立的充分條件,正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.
【訓練2】 已知a,b,m都是正數(shù),且a<b.
求證:>.
證明 要證明>,由于a,b,m都是正數(shù),
只需證a(b+m)<b(a+m),
只需證am<bm,
由于m>0,所以,只需證a<b.
已知a<b,所以原不等式成立.
(說明:本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)
考向三 反證法的應用
【例3】?已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1).
(1)證明:
9、函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
(2)用反證法證明f(x)=0沒有負根.
[審題視點] 第(1)問用單調增函數(shù)的定義證明;第(2)問假設存在x0<0后,應推導出x0的范圍與x0<0矛盾即可.
證明 (1)法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1>1,且ax1>0.
所以ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又因為x1+1>0,x2+1>0,所以-==>0,
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0,
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).
法二 f′(x)=axln a+>0,
∴f(x)在(-1,
10、+∞)上為增函數(shù).
(2)假設存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則ax0=-,又0<ax0<1,所以0<-<1,即<x0<2,與x0<0(x0≠-1)假設矛盾.故f(x0)=0沒有負根.
當一個命題的結論是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證,反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是:①與已知條件矛盾;②與假設矛盾;③與定義、公理、定理矛盾;④與事實矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具,是數(shù)學證明中的一件有力武器.
【訓練3】 已知a,b為非零向量,且a,b不平行,求證:向量a+b與a-b不平行.
證明 假設向量a+b
11、與a-b平行,
即存在實數(shù)λ使a+b=λ(a-b)成立,
則(1-λ)a+(1+λ)b=0,∵a,b不平行,
∴得
所以方程組無解,故假設不成立,故原命題成立.
規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問題
【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法,其基本特點是反設結論,導出矛盾,當問題從正面證明無法入手時,就可以考慮使用反證法進行證明.在高考中,對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行.
【解決方案】 首先反設,且反設必須恰當,然后再推理、得出矛盾,最后肯定.
【示例】?(本題滿分12分)(xx·安徽)設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足
12、k1k2+2=0.
(1)證明l1與l2相交;
(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.
第(1)問采用反證法,第(2)問解l1與l2的交點坐標,代入橢圓方程驗證.
[解答示范] 證明 (1)假設l1與l2不相交,
則l1與l2平行或重合,有k1=k2,(2分)
代入k1k2+2=0,得k+2=0.(4分)
這與k1為實數(shù)的事實相矛盾,從而k1≠k2,即l1與l2相交.(6分)
(2)由方程組
解得交點P的坐標(x,y)為(9分)
從而2x2+y2=22+2
===1,
此即表明交點P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上.(12分)
用反證法證明不等式要
13、把握三點:(1)必須先否定結論,即肯定結論的反面;(2)必須從否定結論進行推理,
即應把結論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進行推證;(3)推導出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設矛盾,有的與已知事實矛盾等,但是推導出的矛盾必須是明顯的.
【試一試】 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.
[嘗試解答] (1)當n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=an,
所以{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=.
(2)反證法:假設存在三項按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,r∈N*),
則2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.①
又因為p<q<r,所以r-q,r-p∈N*.
所以①式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立,所以假設不成立,原命題得證.