2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、 2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)，能運(yùn)用不等式的性質(zhì)比較大小.2.能運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明不等式和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)重點(diǎn)：1.不等式的性質(zhì).2.用不等式的性質(zhì)證明不等式． 教學(xué)難點(diǎn)：用作差法比較代數(shù)式的大小． 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　　　等式的性質(zhì) (1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c. (2)如果a＝b，那么ac＝bc或＝(c≠0)． (3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 知識(shí)點(diǎn)二　　　作差比較法 (1)理論依據(jù)：a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a

2、. (2)方法步驟：①作差；②整理；③判斷符號(hào)；④下結(jié)論． 知識(shí)點(diǎn)三　　　兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較 (1)a>b?a－b>0； (2)a＝b?a－b＝0； (3)ab，那么bb，即a>b?bb，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； 如果a

3、>b>0，cb>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． (8)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)． 【新知拓展】 1．關(guān)于不等式性質(zhì)的理解 兩個(gè)同向不等式可以相加，但不可以相減，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 2．常用的結(jié)論 (1)a>b，ab>0?<； (2)b<0； (3)a>b>0，c>d>0?>； (4)若a>b>0，m>0，則>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)． 3．比較大小的方法 比較數(shù)(式)的大小常用作差與0比較． 作差法中常用的變形手段是分解因式和配方等恒等變形，前者將“差”

4、化為“積”，后者將“差”化為一個(gè)完全平方式或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可二者并用． 4．利用不等式求范圍應(yīng)注意的問(wèn)題 求指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時(shí)必須利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若x2＝0，則x≥0.(　　) (2)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，ab，則ac2>bc2.(　　) (4)若a>b>0，則>.(　　) (5)若x>1，則x3＋2x與x2＋2的大小關(guān)系為x

5、3＋2x>x2＋2.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．做一做 (1)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>－b>－a B．a(chǎn)>－b>－a>b C．a(chǎn)>－b>b>－a D．a(chǎn)>b>－a>－b (2)設(shè)bb－d B．a(chǎn)c>bd C．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)＋d>b＋c (3)已知x<1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系是________． 答案　(1)C　(2)C　(3)x2＋2>3x

6、 題型一 作差法比較大小　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　比較下列各組中兩數(shù)的大小： (1)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2； (2)已知x<1，比較x3－1與2x2－2x； (3)已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝＋，n＝，比較m與n的大?。? [解]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2) ＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋

7、ab2. (2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1). ∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0， ∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x. (3)∵m－n＝＋－＝－＝＝. 又x，y均為正數(shù)， ∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n(當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立)． [變式探究]　若將本例(2)中“x<1”改為“x∈R”，則x3－1與2x2－2x的大小又如何呢？ 解　由例題知x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)，∵

8、2＋>0， ∴當(dāng)x－1<0，即x<1時(shí)，x3－1<2x2－2x； 當(dāng)x－1＝0，即x＝1時(shí)，x3－1＝2x2－2x； 當(dāng)x－1>0，即x>1時(shí)，x3－1>2x2－2x. 金版點(diǎn)睛 作差比較法的四個(gè)步驟 　(1)比較x3＋6x與x2＋6的大??； (2)已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大?。? 解　(1)(x3＋6x)－(x2＋6)＝x(x2＋6)－(x2＋6)＝(x－1)(x2＋6)． ∵x2＋6>0， ∴當(dāng)x>1時(shí)，x3＋6x>x2＋6； 當(dāng)x＝1時(shí)，x3＋6x＝x2＋6； 當(dāng)x<1時(shí)，x3＋6x

9、3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b ＝(a－b)(a2＋1)． 當(dāng)a＞b時(shí)，x－y＞0，所以x＞y； 當(dāng)a＝b時(shí)，x－y＝0，所以x＝y(tǒng)； 當(dāng)a＜b時(shí)，x－y＜0，所以x＜y. 題型二 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　下列命題正確的是________． ①<且c>0?a>b； ②a>b且c>d?ac>bd； ③a>b>0且c>d>0? > ； ④>?a>b. [解析]　①?<；當(dāng)a<0，b>0時(shí)，滿足已知條件，但推不出a>b，∴①錯(cuò)誤． ②當(dāng)a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3時(shí)，命題顯然不成立．∴②錯(cuò)誤． ③?>>

10、0? > 成立．∴③正確． ④顯然c2>0，∴兩邊同乘以c2得a>b.∴④正確． [答案]?、邰? 金版點(diǎn)睛 解決這類問(wèn)題，主要是根據(jù)不等式的性質(zhì)判定，其實(shí)質(zhì)是看是否滿足性質(zhì)所需的條件，若要判斷一個(gè)命題是假命題，可以從條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論，也可舉出一個(gè)反例予以否定. 　(1)判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由： ①若>，則ad>bc； ②設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若a－. 解　(1)①由>，所以－>0， 即>0，所以或 即ad>bc且cd>0或ad

11、②因?yàn)閍－0，b>0，所以a2b－b. 題型三 利用不等式的性質(zhì)證明不等式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　(1)已知a>b，e>f，c>0，求證：f－acb>0，c0.求證：≤. [證明]　(1)∵a>b，c>0，∴

12、ac>bc. ∴－ac<－bc. ∵f－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<<.再由00， ∴≤.∴＋1≤＋1.∴≤. 金版點(diǎn)睛 利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)與技巧 (1)實(shí)質(zhì)：就是根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式的性質(zhì)成立的條件． (2)技巧：若不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)．然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件． 　(1)已知c>a>b>0，求證：>；

13、 (2)已知a，b，x，y都是正數(shù)，且>，x>y，求證：>. 證明　(1)∵a>b，∴－a<－b，又c>a>b>0，∴0>0.又∵a>b>0，∴>. (2)∵a，b，x，y都是正數(shù)，且>，x>y，∴>，故<，則＋1<＋1，即<. ∴>. 題型四 利用不等式的性質(zhì)求取值范圍　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4　(1)已知2

14、<β≤， ∴－≤<，－<≤. 兩式相加得－<<. ∵－≤<，－<≤，－≤－<， 兩式相加得－≤<. 又α<β，∴<0，∴－≤<0. [變式探究]　將本例(1)中，條件不變，求a＋b，ab的取值范圍． 解　由2

15、要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應(yīng)把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分別求出(x＋y)，－(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對(duì)應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問(wèn)題，則不能再間接得出，必須“直來(lái)直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求． 　已知1≤a－b≤2，且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范圍． 解　令a＋b＝μ，a－b＝v， 則2≤μ≤4,1≤v≤2. 由解得 因?yàn)?a－2b＝4·－2· ＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v， 而

16、2≤μ≤4,3≤3v≤6， 所以5≤μ＋3v≤10. 所以5≤4a－2b≤10. 1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，則m與n的大小關(guān)系是(　　) A．mn C．m≥n D．m≤n 答案　D 解析　∵n－m＝x2≥0，∴n≥m. 2．設(shè)a，b，c，d∈R，則(　　) A．a(chǎn)>b，c＝d?ac?a>b C．a(chǎn)3>b3，ab>0?< D．a(chǎn)2>b2，ab>0?< 答案　C 解析　用排除法，A錯(cuò)誤，顯然c＝d＝0時(shí)，結(jié)論不成立．B錯(cuò)誤，c<0時(shí)，結(jié)論不成立．D錯(cuò)誤，a＝－2，b＝－1時(shí)，結(jié)論不成

17、立．故選C. 3．已知a<0，－1ab>ab2 B．a(chǎn)b2>ab>a C．a(chǎn)b>a>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a 答案　D 解析　本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來(lái)解，由于－10，易得答案為D. 本題也可以根據(jù)a，b的范圍取特殊值，比如令a＝－1，b＝－，也容易得到正確答案． 4．已知00，∴a>a2，∴a2