2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 4.2 遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問題學(xué)案 理

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1、第2講　遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問題 考點(diǎn)1　由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式 (1)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通項(xiàng)公式． (2)累積法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通項(xiàng)公式． (3)待定系數(shù)法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解． (4)構(gòu)造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn＋1，得＝·＋，

2、構(gòu)造新數(shù)列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下來用待定系數(shù)法求解． [例1]　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式： (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【解析】　(1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式， 因此an＝＋1. (2)∵an＝an－1(n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)個(gè)式子相乘得 an＝a1···…·＝＝.

3、 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立． ∴an＝. (3)∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式： (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝. 解析：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－

4、2＋…＋2＋1＝＝2n－1. (2)∵＝2n， ∴＝21，＝22，…，＝2n－1， 將這n－1個(gè)等式疊乘， 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2， ∴an＝2. (3)∵an＋1＝， 取倒數(shù)得：＝＝＋， ∴－＝， ∵a1＝1，∴＝1， ∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1)·＝， ∴an＝. 考點(diǎn)2　錯(cuò)位相減法求和 錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列． [例2]　[2019·天津卷]設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于

5、0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)． 【解析】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 依題意，得解得或(舍) 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝＋(6×31＋12×32＋18×33

6、＋…＋6n×3n) ＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，① 則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，② ②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1 ＝－＋n×3n＋1＝. 所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*). 所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減．要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)．為保證結(jié)果正確，可對(duì)得到的和取n＝1,2進(jìn)行驗(yàn)證. 『對(duì)接訓(xùn)練』 2．[2019·山東青島一模]已知公比為q的等比數(shù)列{an}滿足

7、2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)． (1)求q的值； (2)若bn＝anlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 依題意，有 即 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1. 代入②知q＝1不成立，故舍去，所以q＝2. (2)由(1)知a1＝2，所以an＝2n， bn＝anlog2an＝2nlog22n＝n·2n， 所以Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 所以2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， 兩式相減得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n

8、)2n＋1－2， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 考點(diǎn)3　裂項(xiàng)相消法求和 裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和． [例3]　[2019·湖南省湘東六校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)記bn＝，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求使Tn≥成立的n的最小值． 【解析】　(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N*)，∴數(shù)列{}為等差數(shù)列，又＝＝1，∴＝n，即Sn＝n2. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－S

9、n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又a1＝1也滿足上式，∴an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝＝， ∴Tn＝＝＝. 由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，∴n≥5， ∴n的最小值為5. 利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng) (1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)； (2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·安徽池州期末]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＝Sn＋(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)

10、公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)由an＝Sn＋，可得Sn＝an－， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1－，則 an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，整理得an＝3an－1(n≥2)，而a1＝S1＝a1－，即a1＝1， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則an＝1×3n－1＝3n－1.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (2)由(1)得bn＝ ＝＝ ＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 考點(diǎn)4　分組轉(zhuǎn)化求和 　分組求和法 一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等

11、比數(shù)列，若將這個(gè)數(shù)列適當(dāng)拆開，重新組合，就會(huì)變成幾個(gè)可以求和的部分即能分別求和，然后再合并． [例4]　[2019·天津南開附中期中]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝24，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，滿足b2＝4，b4＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式． (2)設(shè)cn＝an－bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和． 【解析】　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 由題意，得q3＝＝＝8，解得q＝2， ∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1＝3×2n－1， ∴a3＝12. 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d， ∵b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d，

12、∴12＝4＋2d，解得d＝4. ∴bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4. 故{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝4n－4. (2)由(1)知an＝3×2n－1，bn＝4n－4， ∴cn＝an－bn＝3×2n－1－(4n－4)． 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn＝3×20＋3×21＋…＋3×2n－1－[0＋4＋8＋…＋(4n－4)]＝3×－＝3×2n－3－n(2n－2)＝3×2n－2n2＋2n－3. 1．若一個(gè)數(shù)列由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相加減． 形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用相鄰兩項(xiàng)并項(xiàng)(分組)后，再分組求和． 2

13、．分組求和中的分組策略 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組； (2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組. 『對(duì)接訓(xùn)練』 4．[2016·高考全國卷Ⅱ]Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和． 解析：(1)設(shè){an}的公差為d， 據(jù)已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. (2)因?yàn)閎n＝

14、 所以數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和為1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 課時(shí)作業(yè)10　遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問題 1．[2019·湖北華中師大一附中期中]已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝－15，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)證明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2， ∴數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為2，首項(xiàng)為2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n.

15、 (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15， 則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝n2－14n. 2．[2019·重慶市七校聯(lián)合考試]已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且關(guān)于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集為(－1,3)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝2＋an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)由題意知，方程a1x2－dx－3＝0的兩個(gè)根分別為－1和3. 則，解得. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)， 所以S

16、n＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2. 3．[2019·江西七校第一次聯(lián)考]設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且b1＝，4bn＝an－1an(n≥2)，求Tn. 解析：(1)∵＝(n≥2)，∴＝＋(n≥2)． 又a1＝1,3a2－a1＝1， ∴＝1，＝， ∴－＝， ∴是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列． ∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)， 即an＝. (2)∵4bn＝an－1an(n≥2)， ∴bn＝＝－(n≥2)， ∴Tn＝b

17、1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－ 4．[2019·昆明市診斷測試]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q<1，前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，S3＝7. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)m∈Z，若Sn0，所以Sn單調(diào)遞增． 又S3＝7，所以當(dāng)n≥4時(shí)，Sn∈(7,8)． 又Sn

18、n＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝　①， 當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝?、?， ①－②，得3n－1·an＝(n≥2)，即an＝； 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，符合上式． 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知bn＝ ①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋3n－1＋n＝·＋＝＋(3n－1－1)． ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋(n－1)＋3n＝·＋＝＋(3n－1)． 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝

19、 6．[2019·安徽合肥模擬]已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d>0，且a2a3＝40，a1＋a4＝13，在公比為q(00，所以a2