2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 第67課 幾何概型要點導學

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 第67課 幾何概型要點導學 測度為長度的幾何概型 　利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1>0”發(fā)生的概率為　　　　. [答案] [解析]因為3a-1>0,所以a>.因為a是產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù),所以a∈,所以“3a-1>0”的概率P==. 　(xx·廣州十校聯(lián)考)在區(qū)間[-5,5]內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率為　　　　. [答案] [解析]由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0,解得-1

2、前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,若接通電后的每秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈在4s內(nèi)間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后它們第一次閃亮的時刻相差不超過1s的概率是　　　　. (變式2) [答案] [解析]設(shè)這兩串彩燈在第一次閃亮時的時間分別為x,y,則作出這三個不等式組表示的區(qū)域如圖所示,由幾何概型的概率公式得P==. 測度為面積的幾何概型 　(xx·遼寧卷)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是　　　　. (例2) [答案] [解析]由已知得,以AB為直徑的半圓的面積

3、為π×12=.又長方形ABCD的面積為2,故質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是P==. 　記集合A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合B={(x,y)|x+y-4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1,Ω2,若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點M(x,y),則點M落在區(qū)域Ω2的概率為　　　　. [答案] [解析]區(qū)域Ω1為圓心在原點、半徑為4的圓,區(qū)域Ω2為等腰直角三角形,兩腰長為4,所以P===. 　(xx·北京海淀區(qū)模擬)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M,用隨機模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積.若在正方形ABCD中隨機產(chǎn)生了10000個點,落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的

4、點數(shù)恰有xx個,則在這次模擬中,不規(guī)則圖形M的面積的估計值為　　　　. [答案] [解析]設(shè)不規(guī)則圖形M的面積的估計值為S,由幾何概型概率公式可得=,解得S=. 　 在區(qū)間[1,5]和[2,4]內(nèi)分別取一個數(shù),記為a,b,則方程+=1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為　　　　. [答案] (例3) [解析]因為方程+=1表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓,所以有即化簡得又a∈[1,5],b∈[2,4],畫出滿足不等式組的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示,求得陰影部分的面積為,故P==. [精要點評]應用幾何概型求概率的步驟:(1) 把每一次試驗當作一個事件,看事件是否是

5、等可能的且事件的個數(shù)是否是無限個,若是則考慮用幾何概型;(2) 將試驗構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量;(3) 應用幾何概型的概率公式求概率.對于生活中的幾何概型問題:(1) 要注意實際問題中的等可能性的判斷;(2) 將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題,構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形,利用幾何圖形的度量來求隨機事件的概率,根據(jù)實際問題的具體情況,合理設(shè)置參數(shù),建立適當?shù)淖鴺讼?在此基礎(chǔ)上將試驗的每一個結(jié)果一一對應于該坐標系的點,便可構(gòu)造出度量區(qū)域. 　在圓(x-2)2+(y-2)2=4內(nèi)任取一點,則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為　　

6、　　. [答案] [解析]作出可行域如圖中△ABC及其內(nèi)部所示,其中A(1,2),B(3,3),C(3,1),因為△ABC位于圓(x-2)2+(y-2)2=4的內(nèi)部,所以在圓(x-2)2+(y-2)2=4內(nèi)任取一點,則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率P===. (變式1) 　在長為10cm的線段AB上任取一點C,并以線段AC為邊作正方形,這個正方形的面積介于25cm2與49cm2之間的概率為　　　　. [答案] [解析]由以線段AC為邊的正方形的面積介于25cm2與49cm2之間,知滿足條件的點C對應的線段長2cm,而線段AB總長為10cm,故正方形的面積介于25cm2與49cm2之

7、間的概率P==. 如圖,設(shè)M為線段AB的中點,在線段AB上任取一點C,求AC,CB,AM三條線段能構(gòu)成三角形的概率. (范題賞析) [規(guī)范解答] 記“能構(gòu)成三角形”為事件A.設(shè)線段AB的長為a,線段AC的長為x,則問題中的幾何區(qū)域D是[0,a].(4分) 線段AC,CB,AM能構(gòu)成三角形的條件是 即 (8分) 所以

8、=p2-4≥0,解得p≥2或p≤-2(舍去).所以由幾何概型可知所求的概率為=. 2. 已知一元二次方程x2+2ax+b2=0,其中a∈[0,3],b∈[0,2],那么此方程有實根的概率為　　　　. [答案] (第2題) [解析]試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 構(gòu)成事件的區(qū)域為{a,b}|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b,如釁所示, 故所求的概率為P(A)=……=. 3. 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于1的概率是　　　　. [答案]1- [解析]不等式組表示的平面區(qū)域D的面積為2,平面區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離小于等于1的區(qū)域為四分之一圓,面積為,點到坐標原點的距離大于1的概率為1-. 4. 在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積大于20 cm2的概率為　　　　. [答案] [解析]設(shè)線段AC的長為x cm,則線段CB的長為12-x cm,那么矩形的面積為x(12-x) cm2,由x(12-x)>20,解得2