2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第42課 數(shù)列的綜合應(yīng)用要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 第42課 數(shù)列的綜合應(yīng)用要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題 　(xx·東莞一模)如圖,有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣,它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層),第2層每邊有2個(gè)點(diǎn),第3層每邊有3個(gè)點(diǎn),依次類推. (1) 第n(n≥2)層的點(diǎn)數(shù)為　　　　; (2) 如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn),那么它一共有　　　　層. (例1) [思維引導(dǎo)](1) 可將第1,2,3,4,5層的點(diǎn)數(shù)一一列出,組成數(shù)列,然后判斷數(shù)列的特點(diǎn),猜出結(jié)論;(2) 根據(jù)(1)的結(jié)果求解. [答案](1) 6(n-1)　(2) 8 [解析](1) 第1層的點(diǎn)數(shù)為1,第2層的

2、點(diǎn)數(shù)為6,第3層的點(diǎn)數(shù)為12,第4層的點(diǎn)數(shù)為18,第5層的點(diǎn)數(shù)為24,它們組成數(shù)列:1,6,12,18,24,分別記為a1,a2,a3,a4,a5. 因?yàn)閍3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n≥2), 所以當(dāng)n≥2時(shí),由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)×6=6(n-1),即an=6(n-1)(n≥2). (2) 由(1)得+1=169,解得n=8. [精要點(diǎn)評(píng)](1) 對(duì)于數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題,此類問題出題背景廣、新穎,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,有效地將信息轉(zhuǎn)化,能較好地考查學(xué)生分析、解決問題的能力和知識(shí)的遷移能力

3、.一般以客觀題或解答題的形式出現(xiàn),屬于低、中檔題. (2) 解決數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題,可通過對(duì)新數(shù)表、圖象、新定義的分析、探究,將問題轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的問題. 　根據(jù)圖中的5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖中有　　　　個(gè)點(diǎn). (變式) [答案]n2-n+1 [解析]序號(hào)n決定了每個(gè)圖的分支數(shù),而第n個(gè)分支有(n-1)個(gè)點(diǎn),中心再加1點(diǎn),故有n(n-1)+1=n2-n+1個(gè)點(diǎn). 數(shù)列與函數(shù)、不等式等綜合問題 　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,n∈N*. (1) 當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí),數(shù)列{a

4、n}是等比數(shù)列? (2) 在(1) 的結(jié)論下,設(shè)bn=log3an+1,Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求T2 015的值. [思維引導(dǎo)]解答本題需要掌握以下幾個(gè)關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn):(1) 利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系;(2) 用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和. [解答](1) 由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 兩式相減,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2), 所以當(dāng)n≥2時(shí),{an}是等比數(shù)列. 要使{an}是等比數(shù)列,則需==3, 從而得出t=1. (2) 由(1)知an=3n-1,bn=log3an+1=n, ==-, T2 015=+…+=+

5、+…+=. [精要點(diǎn)評(píng)]本題以函數(shù)為背景,考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)知識(shí)、裂項(xiàng)求前n項(xiàng)和等問題,內(nèi)容較綜合,但難度一般. 　(xx·揚(yáng)州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f(n∈N*,n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. [解答]因?yàn)閍n=f==an-1+(n∈N*,且n≥2), 所以an-an-1=(n≥2). 因?yàn)閍1=1,所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列, 所以an=. 數(shù)列型的實(shí)際應(yīng)用問題 　某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金xx萬元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了

6、50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元. (1) 用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關(guān)系式; (2) 若公司希望經(jīng)過n(n≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用n表示). [解答](1)由題意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, a2=a1(1+50%)-d=a1-d, an+1=an(1+50%)-d=an-d. (2) 由(1)得 an=an-1-d =an-2-d-d =-d

7、 =… =a1-d, 整理得an=(3 000-d)-2d=(3 000-3d)+2d. 由題意知an=4 000, 所以(3 000-3d)+2d=4 000, 解得d==. 故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí),經(jīng)過n(n≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000元. [精要點(diǎn)評(píng)]與一般應(yīng)用題類似,審清題意是解決此類問題的前提.本題中出現(xiàn)了等差數(shù)列與等比數(shù)列的常見問題,即求通項(xiàng)公式,分清類別是解題的關(guān)鍵.題中還出現(xiàn)了數(shù)列的項(xiàng)的值與某數(shù)值的大小比較等,也屬常規(guī)問題,僅需常規(guī)處理即可. 　(xx·北京房山區(qū)模擬)xx年,我國(guó)南方省市遭遇旱澇災(zāi)害,為防洪抗旱,某地區(qū)大面積植樹造林.如圖,

8、在區(qū)域{(x,y)|x≥0,y≥0}內(nèi)植樹,第一棵樹在點(diǎn)A1(0,1),第二棵樹在點(diǎn)B1(1,1),第三棵樹在點(diǎn)C1(1,0),第四棵樹在點(diǎn)C2(2,0),接著按圖中箭頭方向,每隔一個(gè)單位種一棵樹,那么第xx棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是　　　　. (變式) [答案](10,44) [解析]OA1B1C1設(shè)為第一個(gè)正方形,種植3棵樹,依次下去,第二個(gè)正方形種植5棵樹,第三個(gè)正方形種植7棵樹……它們構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列,所以前n項(xiàng)和Sn=3n+×2=n2+2n,因?yàn)镾43=1 935,S44=2 024,所以2 024-xx=10,根據(jù)圖象知第2 014棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是(10

9、,44). 1. 已知{an}為等差數(shù)列,若a1+a5+a9=2π,則cos(a2+a8)的值為　　　　. [答案]- [解析]a1+a5+a9=3a5=2π,則a5=,a2+a8=2a5=. 所以cos(a2+a8)=cos=-. 2. 某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n=　　　　. [答案]6 3. (xx·鹽城模擬)在數(shù)列{an}中,a1=0,-=1,設(shè)bn=,記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,則S99=　　　　. [答案] [解析]由題意可得,數(shù)列是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列, 所

10、以=n,從而有an=, 所以bn===-, 所以數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)的和S99=++…+=1-=. 4. (xx·湖北模擬)在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且不等式-x2+6x-8>0的解集為{x|a0的解集為{x|2