2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式學(xué)案 文 新人教版

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1、 2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式學(xué)案 文 新人教版 一、實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系 　a＞b?a－b＞0， a＝b?a－b＝0， a＜b?a－b＜0. 二、不等式的性質(zhì) 1．對稱性：a>b?bb，b>c?a>c；(單向性) 3．可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性) a>b，c>d?a＋c>b＋d；(單向性) 4．可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd；(單向性) 5．乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)；(單向性) 6．開方法則

2、：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)；(單向性) 7．倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab＞0，則a＜b?＞.(雙向性) 【拓展延伸】　真、假分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若a＞b＞0，m＞0，則 (1)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： ＜，＞(b－m＞0) (2)假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： ＞，＜(b－m＞0) 1．某隧道入口豎立著“限高4.5米”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過隧道，應(yīng)使車載貨物高度h滿足的關(guān)系為(　　) A．h＜4.5 B．h＞4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.5 【解析】　限高指不超過，∴限高4.5米指h≤4.5. 【答案】　C 2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b從大到小的順序?yàn)?　　) A．

3、a＞b＞－b＞－a B．a(chǎn)＞－b＞b＞－a C．b＞a＞－a＞－b D．－b＞a＞b＞－a 【解析】　∵a＋b＞0，b＜0，∴a＞0，且|a|＞|b|. 故a＞－b＞b＞－a. 【答案】　B 3．下列命題正確的個數(shù)有(　　) ①a＞b?an＞bn.(n∈N*)； ②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)； ③a＜b＜0?＞； ④a＜b＜0?＞. A．1個　　　　B．2個 C．3個　　　　D．4個 【解析】?、僦腥＝－1，b＝－2，n＝2，不成立； ②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③成立， ④a＜b＜0，得a－b＜0且a－b＞a，故＜.④不成立． 【答案】　

4、B 4．下列命題錯誤的是(　　) A．若a＞b，則ac＜bc B．若ac2＞bc2，則a＞b C．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2 D．若c＞a＞b＞0，則＞ 【解析】　當(dāng)c≥0時，A錯；由ac2＞bc2，知c≠0，又c2＞0.∴a＞b，B正確；由a＜b＜0知a2＞ab且ab＞b2.故C正確；∵a＞b＞0，∴－a＜－b，∴c－a＜c－b.∵c＞a，∴c－a＞0，∴0＜c－a＜c－b，兩邊同乘以得＞＞0，又a＞b＞0，∴＞. 【答案】　A 1．兩種方法： 比較大小的方法： (1)作差法； (2)作商法． 2．兩個易誤點(diǎn) (1)在應(yīng)用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，如

5、a≤b，b＜c?a＜c. (2)在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號”，例如當(dāng)c≠0時，有a＞b?ac2＞bc2；若無c≠0這個條件，a＞b?ac2＞bc2就是錯誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時，取“＝”)． 第二節(jié)　一元二次不等式及其解法 [基礎(chǔ)知識深耕] 一、一元二次不等式的概念及求解步驟 1．一元二次不等式的概念 我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)． 2．求一元二次不等式解集的步驟 (1)通過變形化成標(biāo)準(zhǔn)的一元二次不等式的形式(要求二次項(xiàng)系數(shù)為正且不等號右邊

6、為0)． (2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，有三種情況：Δ＝0，Δ＜0，Δ＞0. (3)畫出對應(yīng)二次函數(shù)的草圖． (4)結(jié)合圖形求不等式的解集． 二、“三個二次”的關(guān)系 不同點(diǎn) 相同點(diǎn) 等差數(shù)列 (1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差； (2)a1和d可以為零； (3)等差中項(xiàng)唯一 (1)都強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系； (2)結(jié)果都必須是同一個常數(shù)； (3)數(shù)列都可由a1，d或a1，q確定 等比數(shù)列 (1)強(qiáng)調(diào)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比； (2)a1與q均不為零； (3)等比中項(xiàng)有兩個值 【拓展延伸】　不等式恒成立問題的解法 不等式ax2

7、＋bx＋c＞0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時，b＝0，c＞0；當(dāng)a≠0時，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時，b＝0，c＜0；當(dāng)a≠0時， [基礎(chǔ)能力提升] 1．下列說法正確的是(　　) A．不等式ax2＋bc＋c＞0是一元二次不等式 B．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集 C．不等式x(x－2)＞0的解集是{x|0＜x＜2} D．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是(x1，x2)，則a＜0 【解析】　當(dāng)a＝0時，A選項(xiàng)不正確；不等式x(x－2)＞0的解集為{x|x＜0或x

8、＞2}，C不正確；若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則a＞0，D不正確． 【答案】　B 2．不等式(x＋1)(2－x)＞0的解集是(　　) A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＞2或x＜－1} C．{x|x＜0且x≠－2} D．{x|－1＜x＜2} 【解析】　原不等式等價于(x＋1)(x－2)＜0，∴不等式的解集為{x|－1＜x＜2}． 【答案】　D 3．已知二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，則a，b的值為(　　) A．a(chǎn)＝－，b＝ B．a(chǎn)＝，b＝－ C．a(chǎn)＝－，b＝－ D．a(chǎn)＝，b＝ 【解析】　由條件知，方程ax2＋bx＋1＝

9、0的兩根為－1,2， ∴∴ 【答案】　A 4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________． 【解析】　由表可知方程ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為－2,3且開口向上， ∴ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|x＞3或x＜－2}． 【答案】　{x|x＞3或x＜－2} 1．一個過程 解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號)，二算(計(jì)算判別式，判斷方程根的情況)，三寫(寫出不等

10、式的解集)． 2．兩點(diǎn)聯(lián)想 對于不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0或ax2＋bx＋c＜0≤0)(a≠0)的求解，善于聯(lián)想：(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，運(yùn)用好“三個二次”間的關(guān)系． 3．三個防范 (1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況． (2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏． (3)不同參數(shù)范圍的解集切莫取并集，應(yīng)分類表述． 第三節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃

11、問題 [基礎(chǔ)知識深耕] 一、二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 二元一次不等式 Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＞0) Ax＋By＋C≥0 (A＞0，B＞0) Ax＋By＋C≤0 (A＞0，B＜0) Ax＋By＋C≤0 (A＞0，B＜0) 平面區(qū)域 【注意】　不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的平面區(qū)域不包括邊界，應(yīng)把邊界線畫成虛線． 2．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分． 畫二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域

12、時，一般步驟為：直線定界，虛實(shí)分明；特殊點(diǎn)定域，優(yōu)選原點(diǎn)；陰影表示． 注意不等式中有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時畫成實(shí)線．特殊點(diǎn)一般選一個，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，優(yōu)先選原點(diǎn)． 【方法技巧】　判斷點(diǎn)是否在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)的方法： 因?yàn)閷τ谝粭l直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)來說，將其坐標(biāo)代入Ax＋By＋C后所得實(shí)數(shù)的正負(fù)相同，因此只需把點(diǎn)代入不等式，若不等式成立，則該點(diǎn)在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)． 二、線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條

13、件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 【拓展延伸】　二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值同直線z－ax－by＝0在y軸上截距的關(guān)系 求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其幾何意義，通過求y＝－x＋的截距的最值間接求出z的最值． (1)當(dāng)b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值． (2)當(dāng)b＜0時，結(jié)論與b＞0的情形恰好相反． [基礎(chǔ)能力提升] 1．不等式3x－2y－6＞0表示的平面區(qū)域在直線3x－

14、2y－6＝0的(　　) A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方 【解析】　作出不等式3x－2y－6＞0的平面區(qū)域如圖所示： 【答案】　D 2．不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 【解析】　x≥0表示原點(diǎn)及y軸右側(cè)部分，y≤0表示原點(diǎn)及x軸下方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域是C. 【答案】　C 3．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y＋1的最大值為(　　) A．11　　　　B．10 C．9　　　　D．8.5 【解析】　畫出x，y的可行域，如圖陰影部分，直線x＋2y－5＝0與直線x－y－2＝0交于點(diǎn)A(3,1)，當(dāng)z＝2x＋3y＋1過A點(diǎn)時，使得

15、z＝2x＋3y＋1過取得最大值，zmax＝2×3＋3＋1＝10. 【答案】　B 4．點(diǎn)(3,1)和(－4,6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍為________． 【解析】　把直線兩側(cè)的點(diǎn)代入3x－2y＋a所得結(jié)果應(yīng)異號，∴(9－2＋a)·(－12－12＋a)＜0， ∴－7＜a＜24. 【答案】?。?＜a＜24 1．一種方法 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法是“直線定界，特殊點(diǎn)定域”． (1)直線定界：即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實(shí)線． (2)特殊點(diǎn)定域：當(dāng)C≠0時，常把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)C＝0時，常選點(diǎn)(1,0

16、)或者(0,1)作為測試點(diǎn)． 2．兩個防范 (1)畫平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化． (2)求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其幾何意義，通過求y＝－x＋的截距的最值間接求出z的最值．要注意：當(dāng)b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值．當(dāng)b＜0時，結(jié)論與b＞0的情形恰好相反． 第四節(jié)　基本不等式 [基礎(chǔ)知識深耕] 一、基本不等式≤ 1．基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0. 2．等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立． 3．其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 【拓展延伸】　

17、由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用結(jié)論 (1)＋≥2(a，b同號)； (2)＋≤－2(a，b異號)； (3)≤≤≤ (a＞0，b＞0)(或ab≤2≤(a＞0，b＞0)． 二、利用基本不等式求最大、最小值問題 1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)． 那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2.(簡記：“積定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)． 那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值.(簡記：“和定積最大”) [基礎(chǔ)能力提升] 1．設(shè)a＞b＞0，則下列不等式中一定成立的是(　　) A．a(chǎn)－b＜0　　　　　B．0＜＜1 C.＜ D．a(chǎn)b＞a＋b

18、 【解析】　∵a＞b＞0，∴＜. 【答案】　C 2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是 (　　) A．a(chǎn)2＋b2 B．2 C．2ab D．a(chǎn)＋b 【解析】　∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab，(∵a≠b) ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b，又∵a＋b＞2，∴a＋b最大． 【答案】　D 3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的取值范圍是 (　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(4，＋∞) D．[4，＋∞) 【解析】?。?a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋≥4. 【答案】　D 4

19、．下列各式正確的是(　　) A．當(dāng)x＞0且x≠1時，lg x＋≥2 B．當(dāng)x＞0時，＋≥2 C．當(dāng)x≥2時，x＋的最小值為2 D．當(dāng)0＜x≤2時，x－無最大值 【解析】　A中，當(dāng)x＞0且x≠1時，lg x的正負(fù)不確定，∴l(xiāng)g x＋≥2或lg x＋≤－2；C中，當(dāng)x≥2時，min＝；D中，當(dāng)0＜x≤2時，max＝，∴選B. 【答案】　B 1．兩種變形 基本不等式的變形： (1)≥2≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)； (2)≥≥≥(a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)． 2．三個注意點(diǎn) 利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題 (1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可． (2)在運(yùn)用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件． (3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致．