云南省2022年中考數(shù)學總復習 提分專練（六）以矩形、菱形、正方形為背景的中檔計算題與證明題練習

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1、云南省2022年中考數(shù)學總復習 提分專練（六）以矩形、菱形、正方形為背景的中檔計算題與證明題練習 |類型1|　以矩形為背景的問題 1.[xx·連云港] 如圖T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中點,延長CE,BA交于點F,連接AC,DF. (1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形; (2)當CF平分∠BCD時,寫出BC與CD的數(shù)量關系,并說明理由. 圖T6-1 2.[xx·日照] 如圖T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足為E. (1)求證:△DCA≌△EAC; (2)只需添加一個條件,即　　　　　　　　,可使四邊形ABCD為矩形

2、.請加以證明.? 圖T6-2 3.已知:如圖T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE∥BC,CE⊥AE,垂足為E. (1)求證:△ABD≌△CAE. (2)連接DE,線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關系?請證明你的結論. 圖T6-3 |類型2|　以菱形為背景的問題 4.[xx·北京] 如圖T6-4,在四邊形ABCD中,BD為一條對角線,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E為AD的中點,連接BE. (1)求證:四邊形BCDE為菱形; (2)連接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求A

3、C的長. 圖T6-4 5.已知:如圖T6-5,在?ABCD中,E,F分別是邊AD,BC上的點,且AE=CF,直線EF分別交BA的延長線、DC的延長線于點G,H,交BD于點O. (1)求證:△ABE≌△CDF. (2)連接DG,若DG=BG,則四邊形BEDF是什么特殊四邊形?請說明理由. 圖T6-5 |類型3|　以正方形為背景的問題 6.[xx·鹽城] 在正方形ABCD中,對角線BD所在的直線上有兩點E,F,滿足BE=DF,連接AE,AF,CE,CF,如圖T6-6所示. (1)求證:△ABE≌△ADF; (2)試判

4、斷四邊形AECF的形狀,并說明理由. 圖T6-6 7.如圖T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,點E,F分別是CB,CD延長線上的點,DF=BE,連接AE,AF,過點A作AH⊥ED于點H. (1)求證:△ADF≌△ABE; (2)若BE=1,求tan∠AED的值. 圖T6-7 8.[xx·聊城] 如圖T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一點,連接AE,過點B作BH⊥AE,垂足為點H,延長BH交CD于點F,連接AF. (1)求證:AE=BF; (2)若正方形邊長是5,BE=2,求AF的長. 圖T6-8

5、 參考答案 1.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE, ∵E是AD的中點,∴AE=DE, 又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA, 又∵CD∥AF,∴四邊形ACDF是平行四邊形. (2)BC=2CD.理由: ∵CF平分∠BCD, ∴∠DCE=45°, ∵∠CDE=90°, ∴△CDE是等腰直角三角形, ∴CD=DE, ∵E是AD的中點,∴AD=2CD, ∵AD=BC,∴BC=2CD. 2.解:(1)證明:在△DCA和△EAC中, ∴△DCA≌△EAC(SSS). (2)添加AD=BC,可

6、使四邊形ABCD為矩形(添加的條件不唯一).證明如下: ∵AB=DC,AD=BC, ∴四邊形ABCD是平行四邊形, ∵CE⊥AE, ∴∠E=90°, 由(1)得:△DCA≌△EAC, ∴∠D=∠E=90°, ∴四邊形ABCD為矩形. 3.解:(1)證明:∵AB=AC,AD是BC邊上的中線, ∴AD⊥BC,BD=CD. ∵AE∥BC,CE⊥AE, ∴∠DCE=90°, ∴四邊形ADCE是矩形, ∴AD=CE. 在Rt△ABD與Rt△CAE中, ∴Rt△ABD≌Rt△CAE. (2)DE∥AB,DE=AB.證明如下: 如圖所示, 由(1)知四邊形ADCE

7、是矩形, ∴AE=CD=BD,又AE∥BD, ∴四邊形ABDE是平行四邊形, ∴DE∥AB,DE=AB. 4.解:(1)證明:∵E為AD的中點,AD=2BC, ∴BC=ED, ∵AD∥BC,∴四邊形BCDE是平行四邊形, ∵∠ABD=90°,AE=DE, ∴BE=ED,∴四邊形BCDE是菱形. (2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA, ∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=, ∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°. ∴∠ACD=90°. 在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=. 5.

8、解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF, 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)四邊形BEDF是菱形.理由如下: ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵AE=CF,∴DE=BF, ∴四邊形BEDF是平行四邊形,∴OB=OD, ∵DG=BG,∴EF⊥BD, ∴四邊形BEDF是菱形. 6.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD. ∴∠ABE=∠ADF=135°. 又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS). (2)四邊

9、形AECF是菱形. 理由:連接AC交BD于點O,圖略. 則AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 又∵BE=DF,∴OE=OF, ∴四邊形AECF是菱形. 7.解:(1)證明:正方形ABCD中, AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°, ∴∠ADF=∠ABE=90°. 在△ADF與△ABE中, ∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE, ∴△ADF≌△ABE. (2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1, ∴AE=,ED==5, ∵S△AED=AD×BA=ED×AH, ∴AH===1.8. ∴在Rt△AHE中,EH==2.6, ∴tan∠AED===. 8.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°, ∵BH⊥AE,垂足為點H, ∴∠BAE+∠ABH=90°, ∵∠CBF+∠ABH=90°, ∴∠BAE=∠CBF. 在△ABE和△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF. (2)∵△ABE≌△BCF, ∴CF=BE=2, ∵正方形的邊長為5, ∴AD=CD=5, ∴DF=CD-CF=5-2=3. 在Rt△ADF中, AF===.