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1、高考數學 考點匯總 考點53 不等式選講（含解析）
一、選擇題
1.（xx·安徽高考文科·Ｔ9）與（xx·安徽高考理科·Ｔ9）相同
若函數的最小值為3，則實數的值為（ ）
A.5或8 B.或5 C.或 D.或8
【解題提示】 以a為目標進行分類討論，去掉絕對值符號。
【解析】選D.（1）當a<2時， ；
（2）當a>2時，，
由（1）（2）可得，解得a=-4或8。
二、填空題
2. （xx· 湖南高考理科·Ｔ13）若關于的不等式的解集為，則
【解題提示】求解絕對值不等式。
【解析】由得到，，又知道解集為
所以。
答案：
2、
3.(xx·廣東高考理科)不等式+≥5的解集為 .
【解析】方法一:由得x≤-3;
由無解;
由得x≥2.
即所求的解集為{x|x≤-3或x≥2}.
方法二:在數軸上,點-2與點1的距離為3,
所以往左右邊界各找距離為1的兩個點,
即點-3到點-2與點1的距離之和為5,
點2到點-2與點1的距離之和也為5,
原不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2}.
答案:{x|x≤-3或x≥2}.
【誤區(qū)警示】易出現(xiàn)解集不全或錯誤.對于含絕對值的不等式不論是分段去絕對值號還是利用幾何意義,都要不重不漏.
4.(xx·陜西高考文科·T15)（文理共用）A.(不等式選做題)設
3、a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為 .
【解題指南】本題考查運用柯西不等式求最值的問題.
【解析】由柯西不等式得
(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,
即5(m2+n2)≥25,
(m2+n2)≥5,
所以的最小值為.
答案:
5.(xx·江西高考文科·T15)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為 .
【解題指南】利用絕對值不等式及絕對值的幾何意義求解.
【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,
故
4、|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,
所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.
答案:[0,2]
三、解答題
6. (xx·福建高考理科·Ｔ21)不等式選講
已知定義在上的函數的最小值為．
(1)求的值；
(2)若是正實數，且滿足，求證：．
【解析】(1)∵，
當且僅當時，等號成立，
∴的最小值為；…………………………………………………3分
(2)由(1)知，又是正實數，
∴，
即.……………………………………………………………7分
7. (xx·新課標全國卷Ⅱ高考文科數學·T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
設函數f(x) =+ (
5、a>0)
(1)證明:f≥2.
(2)若f<5,求a的取值范圍.
【解題提示】(1)利用絕對值不等式和均值不等式的性質證明.
(2)通過討論脫去絕對值號,解不等式求得a的取值范圍.
【解析】(1)由a＞0，有f（x）= +|x-a|≥ = +a≥2.所以f(x)≥2.
（2）f(3)= +|3-a|.
當a＞3時，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.
當0＜a≤3時，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.
綜上，a的取值范圍是.
8.(xx·新課標全國卷Ⅱ高考理科數學·T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
設函數f(x) =+ (a>0)
(1)證明:f≥2.
(2)若f<5,求a的取值范圍.
【解題提示】(1)利用絕對值不等式和均值不等式的性質證明.
(2)通過討論脫去絕對值號,解不等式求得a的取值范圍.
【解析】(1)由a＞0，有f（x）= +|x-a|≥ = +a≥2.
所以f(x)≥2.
（2）f(3)= +|3-a|.
當a＞3時，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.
當0＜a≤3時，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.
綜上，a的取值范圍是.
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