（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.2 第3課時(shí) 平面與平面平行學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 第3課時(shí)　平面與平面平行 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握平面與平面的位置關(guān)系，會判斷平面與平面的位置關(guān)系.2.學(xué)會用圖形語言、符號語言表示平面間的位置關(guān)系.3.掌握空間中面面平行的判定定理及性質(zhì)定理，并能應(yīng)用這兩個定理解決問題． 知識點(diǎn)一　平面與平面平行的判定 思考　三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？ 答案　平行． 梳理　平面平行的判定定理及推論 判定定理 推論 文字 語言 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行 符號 語言

2、 l?α，m?α，l∥β，m∥β，l∩m＝A?α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a?α，b?α，c?β，d?β?α∥β 圖形 語言 知識點(diǎn)二　平面與平面平行的性質(zhì) 觀察長方體ABCD－A1B1C1D1的兩個面：平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1　平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？ 答案　是的． 思考2　過BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？ 答案　平行． 梳理　平面平行的性質(zhì)定理及推論 性質(zhì)定理 推論 文字 語言 如果兩個平行平面同時(shí)與第三個平面相交，那么它們的交線平行 兩

3、條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例 符號 語言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G?＝ 圖形 語言 1．若一個平面內(nèi)的兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(　×　) 2．若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行． (　√　) 3．如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　√　) 類型一　平面與平面平行的判定 例1　如圖所示，在正方體AC1中，M，N，P分別是棱C1C，B1C1，C1D

4、1的中點(diǎn)，求證：平面MNP∥平面A1BD. 證明　如圖，連接B1C. 由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D. 又∵M(jìn)N?平面A1BD，A1D?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 連接B1D1，同理可證PN∥平面A1BD. 又∵M(jìn)N?平面MNP，PN?平面MNP，且MN∩PN＝N， ∴平面MNP∥平面A1BD. 引申探究 若本例條件不變，求證：平面CB1D1∥平面A1BD. 證明　因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體， 所以DD1綊BB1， 所以BDD1B1為平行四邊形， 所以BD∥B1D1. 又BD?平面CB1D1，B1D1?平面

5、CB1D1， 所以BD∥平面CB1D1， 同理A1D∥平面CB1D1. 又BD∩A1D＝D， 所以平面CB1D1∥平面A1BD. 反思與感悟　判定平面與平面平行的四種常用方法 (1)定義法：證明兩個平面沒有公共點(diǎn)，通常采用反證法． (2)利用判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．證明時(shí)應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線． (3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條直線分別平行，則α∥β. (4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，在三棱柱ABC

6、－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證： (1)B，C，H，G四點(diǎn)共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明　(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)， 所以GH是△A1B1C1的中位線， 所以GH∥B1C1. 又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC， 所以B，C，H，G四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)， 所以EF∥BC. 因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 因?yàn)锳1G∥EB，A1G＝EB， 所以四邊形A1EBG是平行四邊形， 所以A1E∥GB. 因?yàn)锳1

7、E?平面BCHG，GB?平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因?yàn)锳1E∩EF＝E， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 類型二　面面平行性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度1　與面面平行性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 例2　如圖，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的長． 證明　設(shè)AB，CD共面γ，因?yàn)棣谩搔粒紸C，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以＝， 即＝，所以SC＝272. 引申探究 若將本例改為：點(diǎn)S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長． 解　設(shè)AB，CD共面γ

8、，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD. 因?yàn)棣痢桅?，所以AC與BD無公共點(diǎn)，所以AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS，所以＝. 設(shè)CS＝x，則＝，所以x＝16， 即CS＝16. 反思與感悟　應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為________． 答案　 解析　AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′確定的平面與平面α，平面β的交線分別為AB，A′B′，有

9、AB∥A′B′，且＝＝，同理可得＝＝，＝＝，所以△ABC，△A′B′C′面積的比為9∶4，又△ABC的面積為， 所以△A′B′C′的面積為. 命題角度2　利用面面平行證明線線平行 例3　如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 證明　∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形， ∴A′D′∥B′C′. ∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C， ∴A′D′∥平面BB′C′C. 同理AA′∥平面BB′C′C. ∵A′D′?平面AA′D′D，AA

10、′?平面AA′D′D， 且A′D′∩AA′＝A′， ∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C. 又∵AD，BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D，平面BB′C′C的交線，∴AD∥BC. 同理可證AB∥CD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 反思與感悟　本例充分利用了?A′B′C′D′的平行關(guān)系及AA′，BB′，CC′，DD′間的平行關(guān)系，先得出線面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性質(zhì)定理得線線平行． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BED1F是平行四邊形． 證明　如圖，連接AC，BD，交點(diǎn)為O，連接A

11、1C1，B1D1，交點(diǎn)為O1，連接BD1，EF，OO1， 設(shè)OO1的中點(diǎn)為M， 由正方體的性質(zhì)可得四邊形ACC1A1為矩形． 又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)， 所以EF過OO1的中點(diǎn)M，同理四邊形BDD1B1為矩形， BD1過OO1的中點(diǎn)M， 所以EF與BD1相交于點(diǎn)M， 所以E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面． 又因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1， 平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1， 平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF， 所以ED1∥BF. 同理，EB∥D1F. 所以四邊形BED1F是平行四邊形． 類型三　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 例4　設(shè)AB，C

12、D為夾在兩個平行平面α，β之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點(diǎn)．求證：MP∥平面β. 證明　如圖，過點(diǎn)A作AE∥CD交平面β于點(diǎn)E， 連接DE，BE. ∵AE∥CD，∴AE，CD確定一個平面，設(shè)為γ， 則α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. 又α∥β，∴AC∥DE(平面平行的性質(zhì)定理)， 取AE的中點(diǎn)N，連接NP，MN， ∵M(jìn)，P分別為AB，CD的中點(diǎn)， ∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP?β，DE?β，MN?β，BE?β，∴NP∥β，MN∥β， ∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵M(jìn)P?平面MNP，MP?β，∴MP∥β. 反思與感悟　線

13、線平行、線面平行、面面平行是一個有機(jī)的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示： 跟蹤訓(xùn)練4　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，使得平面D1BQ∥平面PAO? 解　當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，連接PQ，如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形， ∴QB∥PA. 又∵AP?平面APO，QB?平面APO， ∴QB∥平面APO. ∵P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，∴D1B∥PO.

14、同理可得D1B∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 1．下列命題中正確的是(　　) A．一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行 B．如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 C．平行于同一直線的兩個平面一定相互平行 D．如果一個平面內(nèi)的無數(shù)多條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行 答案　B 解析　如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行，所以B正確． 2．在正方體EFGH－E1F1G1H1中，下列四對平面彼此平行的一對是(　　) A．平面E1FG1與平

15、面EGH1 B．平面FHG1與平面F1H1G C．平面F1H1H與平面FHE1 D．平面E1HG1與平面EH1G 答案　A 解析　如圖，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1， E1G1?平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E， 同理可證H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1. 3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，則交線a，b，c，d的位置關(guān)系是(　　) A．互相平行 B．交于一點(diǎn) C．相互異面 D．不能確定 答案　A 解析　由平面與平面平行的性質(zhì)

16、定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故選A. 4．若平面α∥平面β，a?α，下列說法正確的是________． ①a與β內(nèi)任一直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行； ③a與β內(nèi)任一直線不垂直；④a與β無公共點(diǎn)． 答案?、冖? 解析　∵a?α，α∥β，∴a∥β，∴a與β無公共點(diǎn)，④正確；如圖，在正方體中，令線段B1C1所在的直線為a，顯然a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行，故②正確；又AB⊥B1C1，故在β內(nèi)存在直線與a垂直，故①③錯誤． 5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B. 證明

17、　如圖，作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P，連接NP， ∵M(jìn)P∥BB1，∴＝. ∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN，∴＝， ∴＝， ∴NP∥CD∥AB. ∵NP?平面AA1B1B， AB?平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)P∥BB1，MP?平面AA1B1B， BB1?平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B. 又∵M(jìn)P?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)N?平面MNP， ∴MN∥平面AA1B1B. 1．常用的平面與平面平行的其他幾個性質(zhì) (1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意

18、一條直線平行于另一個平面． (2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等． (3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行． (4)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行． 2．空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖 一、選擇題 1．已知α，β是兩個不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面α與平面β平行的是(　　) A．平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行 B．平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行 C．平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行 D．平面α與平面β不相交 答案　D 解析　選項(xiàng)A、C不正確，因?yàn)閮蓚€平面可能相交；選項(xiàng)B不正確，因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的這

19、兩條直線必須相交才能得到平面α與平面β平行；選項(xiàng)D正確，因?yàn)閮蓚€平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種．故選D. 2.如圖，若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形D1EBF的形狀是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形 答案　C 解析　因?yàn)槠矫婧妥笥覂蓚€側(cè)面分別交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形． 3．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 答案　D 解析　由圖知平面ABB1A1∥

20、平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1， ∴此六棱柱的面中互相平行的有4對． 4.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5 答案　B 解析　∵平面α∥平面ABC， 平面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB， ∴AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′

21、， S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝. 5．已知a，b表示直線，α，β表示平面，下列選項(xiàng)正確的是(　　) A．α∩β＝a，b?α?a∥b B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β C．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b 答案　D 解析　A中α∩β＝a，b?α，a，b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α，也可能b在平面α或β內(nèi)；C中a∥β，b∥β，a?α，b?α，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理，若加上條件a∩b＝A，則α∥β.故選D. 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱A1D1的動點(diǎn)，O為底面ABCD

22、的中心，E，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則下列平面中與OM掃過的平面平行的是(　　) A．面ABB1A1 B．面BCC1B1 C．面BCFE D．面DCC1D1 答案　C 解析　取AB、DC的中點(diǎn)分別為E1和F1，OM掃過的平面即為面A1E1F1D1(如圖)， 故面A1E1F1D1∥面BCFE. 7．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列四個推斷： ①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推斷正確的是(　　) A．①③

23、B．①④ C．②③ D．②④ 答案　A 解析　∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D， AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯誤； ∵FG∥BC1，F(xiàn)G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1， FG∥平面BC1D1，故③正確； ∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯誤．故選A. 二、填空題 8．如圖所示，平面四

24、邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是________形． 答案　平行四邊 解析　由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得． 9.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點(diǎn)E作一個與平面ACB1平行的平面交AB與M，交BC與N，則＝________. 答案　 解析　∵平面MNE∥平面ACB1， 由平面平行的性質(zhì)定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E為BB1的中點(diǎn)， ∴M，N分別為BA，BC的中點(diǎn)， ∴MN＝AC.即＝. 10．已知三棱柱ABC－A1B1C

25、1，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________． 答案　平行 解析　∵D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1，CC1的中點(diǎn)， ∴在平行四邊形AA1B1B與平行四邊形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC， 又DE?平面ABC，EF?平面ABC， ∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC. 11．如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________． 答案　4＋6 解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC

26、1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6. 三、解答題 12.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點(diǎn)，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求證：N為AC的中點(diǎn)． 證明　∵平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， ∴C1N∥AM，又AC∥A1C1， ∴四邊形ANC1M為平行四邊形， ∴AN＝C1M＝A1C1＝AC， ∴N為AC的中點(diǎn)． 13．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一

27、點(diǎn)，M，N分別是AE，CD1的中點(diǎn)，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求證：MN∥平面ADD1A1. 證明　如圖，取CD的中點(diǎn)K，連接MK，NK. 因?yàn)镸，N，K分別是AE，CD1，CD的中點(diǎn)， 所以MK∥AD，NK∥DD1. 又MK?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1， 所以MK∥平面ADD1A1. 同理NK∥平面ADD1A1. 又MK∩NK＝K，所以平面MNK∥平面ADD1A1， 又MN?平面MNK， 所以MN∥平面ADD1A1. 四、探究與拓展 14．如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在

28、此幾何體中，給出下面四個結(jié)論： ①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB. 其中正確的有(　　) A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③ 答案　C 解析　把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，則EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱錐的四個側(cè)面，則它們兩兩相交． ∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB. 同理平面PAD∥BC. 15.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由． 解　存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1. 證明如下： 如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥B1C1，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為E，連接EF，則EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F， 所以平面DEF∥平面AB1C1. 又DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1. 17