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1、高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 滾動測試卷二 文
一、 選擇題(每小題5分,共60分)
1. (xx·淄博檢測)集合A={-1,0,1},B={y|y=ex,x∈A},則A∩B等于(B)
A. {0} B. {1}
C. {0,1} D. {-1,0,1}
B={y|y=ex,x∈A}=,∴A∩B={1},故選B.
2. (xx·廣東十校聯(lián)考)如果命題“?(p∨q)”是假命題,則下列說法正確的是(B)
A. p,q均為真命題
B. p,q中至少有一個為真命題
C. p,q均為假命題
D. p,q中至少有一個為假命題
∵?(p∨q)是假命題,∴p∨q是真
2、命題,∴p,q中至少有一個為真命題,故選B.
3. 已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5的值為(C)
A. 16 B. 25
C. 27 D. 36
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a1+a2=1,a3+a4=a1q2+a2q2=9,∴q2=9,∵an>0,∴q=3,a4+a5=a1q3+a2q3=(a1+a2)q3=27,故選C.
4. (xx·浙江聯(lián)考)當x=時,函數(shù)f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,則函數(shù)y=f是(C)
A. 奇函數(shù)且圖像關(guān)于點對稱
B. 偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(π,0)對稱
C. 奇
3、函數(shù)且圖像關(guān)于直線x=對稱
D. 偶函數(shù)且圖像關(guān)于點對稱
∵當x=時,函數(shù)f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,根據(jù)函數(shù)的圖像可知,+φ=2kπ-(k∈Z),則φ=2kπ-,k∈Z,于是函數(shù)y=f=-Asin x,顯然該函數(shù)是奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x=對稱,故選C.
5. (xx·江南十校聯(lián)考)如圖,△ABC中,∠A=60°,∠A的平分線交BC于D,若AB =4,且=+λ(λ∈R),則AD的長為(B)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
∵B,D,C三點共線,∴有+λ=1,解得λ=,如圖,過點D分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點M,N,則=,=,經(jīng)計
4、算得AN=AM=3,AD=3.
6. 若a>b>0,則代數(shù)式a2+的最小值為(C)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
依題意得a-b>0,∴代數(shù)式a2+≥a2+=a2+≥2=4,當且僅當即a=,b=時取等號,因此a2+的最小值是4,故選C.
7. (xx·青島二模)已知數(shù)列{an}是以3為公差的等差數(shù)列,Sn是其前n項和,若S10是數(shù)列{Sn}中的唯一最小項,則數(shù)列{an}的首項a1的取值范圍是(C)
A. [-30,-27] B. (30,33)
C. (-30,-27) D. [30,33]
∵Sn=na1+×3=-,又S10是數(shù)列{Sn}中的唯一
5、最小項,∴9.5< -a1<10.5,解得-30<a1<-27.∴數(shù)列{an}的首項a1的取值范圍是(-30,-27).故選C.
8. (xx·湖南五市十校聯(lián)考)在斜三角形ABC中,sin A=-cos Bcos C,且tan Btan C=1-,則角A的值為(A)
A. B.
C. D.
由題意知,sin A=-cos Bcos C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,在等式-cos Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C兩邊除以cos Bcos C得tan B+tan C=-,tan(B+C)==-1=-tan A,∴角
6、A=.
9. (xx·東北三校聯(lián)考)已知向量a,b是夾角為60°的兩個單位向量,向量a+λb(λ∈R)與向量a-2b垂直,則實數(shù)λ的值為(D)
A. 1 B. -1 C. 2 D. 0
由題意可知a·b=|a||b|cos 60°=,而(a+λb)⊥(a-2b),故(a+λb)·(a-2b)=0,即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0,從而可得1+-1-2λ=0,即λ=0.
10. 設(shè)m>1,在約束條件下,目標函數(shù)z=x+my的最大值小于2,則m的取值范圍為(A)
A. (1,1+) B. (1+,+∞)
C. (1,3) D. (3,+∞)
變換目標函數(shù)為y
7、=-x+,由于m>1,∴-1<-<0.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義,只有直線y=-x+在y軸上的截距最大時,目標函數(shù)才取得最大值,顯然在點A處取得最大值.由y=mx,x+y=1,得A,∴目標函數(shù)的最大值是+.由已知目標函數(shù)的最大值小于2,可得+<2,即m2-2m-1<0,解得1-
8、⊕(x>0)的最小值為 (B)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
根據(jù)條件③,對于任意的a,b,c有(a⊕b)⊕c=c⊕(ab)+(a⊕c)+(b⊕c)-2c,∴取c=0得(a⊕b)⊕0=0⊕(ab)+(a⊕0)+(b⊕0)-2×0,又由①②得a⊕0=0⊕a=a對任意實數(shù)a都成立,代入上式得:a⊕b=ab+a+b,這就是運算⊕的定義,將其代入題目檢驗,符合①②③,∴f(x)=x⊕=x·+x+=x++1≥2+1=3,當且僅當x=1時“=”成立,即函數(shù) f(x)=x⊕(x>0)的最小值為3.故選B.
12. 正整數(shù)按下列方法分組:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9}
9、,{10,11,12,13,14,15,16},…,記第n組中各數(shù)之和為An;由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為Bn,則An+Bn等于(A)
A. 2n3 B. 4n3 C. 6n3 D. 8n3
由題意知,前n組共有1+3+5+…+(2n-1)=n2個數(shù),∴第 n-1組的最后一個數(shù)為(n-1)2,第n組的第一個數(shù)為(n-1)2+1,第n組共有2n-1個數(shù),∴根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得An=×(2n-1)=[(n-1)2+n](2n-1),而Bn=n3-(n-1)3, ∴An+Bn=
10、2n3.
二、 填空題(每小題5分,共20分)
13. (xx·南昌模擬)已知向量e1=,e2=,則e1·e2=__2__.
由向量數(shù)量積公式得e1·e2=cos ×2sin +sin ×4cos =×+×2=2.
14. (xx·山西診斷)在△ABC中,已知∠B=45°,c=2,b=,則∠A=__15°或75°__.
由正弦定理得=,sin C==,
又0°<∠C<180°,因此有∠C=60°或∠C=120°,于是有∠A=75°或∠A=15°.
15. 已知數(shù)列{an}滿足a1=5,anan+1=2n,則=__4__.
依題意得==2,即=2,數(shù)列a1,a3,a5,a
11、7,…是一個以5為首項、以2為公比的等比數(shù)列,因此=4.
16. 已知任意非零實數(shù)x,y滿足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,則實數(shù)λ的最小值為__4__.
依題意得,3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2),因此有≤4,當且僅當x=2y時取等號,即的最大值是4,結(jié)合題意得λ≥,故λ≥4,即λ的最小值是4.
三、 解答題(共70分)
17. (10分)已知命題p:?x∈,使 mcos x=2sin x成立 ;命題q:函數(shù)y=log2[4x2+4(m-2)x+1]的定義域為(-∞,+∞),若“p∨q”為真,“p∧q”為假,求m的取值范圍.
對于mcos
12、x=2sin x,可化為m=2tan x成立,而當 x∈時,y=2tan x為增函數(shù),故2tan x>2 ,得m>2.(3分)
對于q:∵函數(shù)y=log2[4x2+4(m-2)x+1]的定義域為(-∞,+∞),
∴4x2+4(m-2)x+1>0,x∈R恒成立,即Δ=16(m-2)2-16<0,
解得1
13、(x)=a·b, f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)求函數(shù)F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2的最大值和最小正周期;
(2)將f(x)橫坐標縮短為原來的一半,再向右平移個單位得到g(x),設(shè)方程g(x)-1=0在(0,π)上的兩個零點為x1,x2,求x1+x2的值.
(1)由題意知f(x)=sin x+cos x,
∴f′(x)=cos x-sin x,
∴F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x
=1+sin 2x+cos 2x=1+sin,(2分)
∴當2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時,
F(
14、x)max=1+,最小正周期為T==π.(4分)
(2)由題設(shè)得f(x)=sin,
∴g(x)=sin=-cos.(6分)
∵g(x)-1=0,∴cos=-1,
∴cos=-,
由2x+=2kπ+π或2x+=2kπ+π,k∈Z,
得x=kπ+或x=kπ+,k∈Z,(8分)
∵x∈(0,π),∴x1=,x2=,∴x1+x2=π.(10分)
19. (12分)(xx·湖北聯(lián)考)已知銳角三角形ABC中的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,定義向量m=(2sin B,),n=,且m⊥n.
(1)求f(x)=sin 2xcos B-cos 2xsin B的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)如果
15、b=4,求△ABC面積的最大值.
∵m⊥n,
∴m·n=2sin Bcos B+cos 2B
=sin 2B+cos 2B=2sin=0,(2分)
∴2B+=kπ(k∈Z),∴B=-(k∈Z),
∵0
16、為a1和a21的等比中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求數(shù)列的前n項和Tn.
(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
則6a1+15d=60, ①
又a=a1a21,∴(a1+5d)2=a1(a1+20d), ②
由①②解得a1=5,d=2,(3分)
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+3,
從而數(shù)列{an}的前n項和為Sn==n(n+4).(6分)
(2)由bn+1-bn=an,∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*).
當n≥2時,bn=(bn-bn
17、-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),
上式對n=1,即b1=3也適合.(9分)
∴bn=n(n+2)(n∈N*),∴==.
從而數(shù)列的前n項和為Tn=(1-+-+…+-)==.(12分)
21. (12分)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=2an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(An2+Bn+C)·2n,試推斷是否存在常數(shù)A,B,C,使對一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立?說明你的理由;
(3)求證:a1+a2+…+an≤(n2-2n+2)·2
18、n+2.
(1)由已知an+1=2·an,即=2·,
則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
又a1=2,∴=2n,即an=2n·n2.(4分)
(2)∵bn+1-bn=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]·2n.
若an=bn+1-bn恒成立,則
?
故存在常數(shù)A,B,C滿足條件.(8分)
(3)由(2)知:bn=(n2-4n+6)·2n時,an=bn+1-bn,
∴a1+a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)
?。絙n+1-b1
=(n2-2n+3)·2n+1-6<(n2-2n+3)·2n+1
=·2n+2
=·2n+2
≤(n
19、2-2n+2)·2n+2.(12分)
22. (14分)(xx·山西診斷)已知函數(shù)f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).
(1)當a=1時,證明函數(shù)f(x)只有一個零點;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
(1)當a=1時,f(x)=ln x-x2+x,其定義域是(0,+∞),
f′(x)=-2x+1=-,(2分)
令f′(x)=0,即-=0,解得x=-或x=1.
∵x>0,∴x=-(舍去).
當00;當x>1時,f′(x)<0.
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,(
20、4分)
∴當x=1時,函數(shù)f(x)取得最大值,最大值為f(1)=ln 1-12+1=0.當x≠1時,f(x)0,∴f(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),不合題意.
②當a>0時,f′(x)≤0(x>0)等價于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥,
此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
由得a≥1.(12分)
③當a<0時,f′(x)≤0(x>0)等價于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥-,此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
由得a≤-.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是∪[1,+∞).(14分)