2022年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練19 軌跡方程的求法

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1、2022年高三數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)精析精練19 軌跡方程的求法 【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)。 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法. (1)直接法 直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程. (2)定義法 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義

2、(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求. (3)相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (4)參數(shù)法 若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程. 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念. 【例題】 【例1】 已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線. 解：建立坐標(biāo)系如圖所示， 設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0). 設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn). 則由

3、題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入， 得=λ,化簡得 (1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 (1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸). (2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以 (－，0)為圓心，為半徑的圓. 【例2】 如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程. 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|. 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑

4、定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng). 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得 －10=0 整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程. 【例3】 設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、

5、安徽春招) 解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有 ① ② ③ ④ ⑤ ①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2) 若x1≠x2,則有 ⑥ ①×②,得y12·y22=16p2x1x2 ③代入上式有y1y2=－16p2 ⑦ ⑥代入④，得 ⑧ ⑥代入⑤，得 所以 即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2 ⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0) 當(dāng)x1=x2時(shí)，AB⊥x軸，易得M(4p,0)仍滿足方程. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(

6、x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn). 解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b 由OM⊥AB，得k=－ 由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=,消x,得ky2－4py+4pb=0 所以y1y2=，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2 所以=－,b=－4kp 故y=kx+b=k(x－4p),用k=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn). 【例4】 某檢驗(yàn)員通常用一

7、個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？ 解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切. 建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為 =1 ① 同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為 (x－)2+y2=1

8、 ② 由①、②可解得，∴r= 故所求圓柱的直徑為 cm. 【例5】 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率為，且雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A（2，0）的最近距離為1． （1）證明：滿足條件的雙曲線的焦點(diǎn)不可能在y軸上； （2）求此雙曲線的方程； （3）設(shè)此雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，Q是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作的平分線的垂線，求垂足M的軌跡． 解：（1）證明：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，半焦距為，則由，得，所以，． 假設(shè)存在滿足條件且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則其漸近線方程為． 因?yàn)辄c(diǎn)A（2，0）到漸近線的距離為）．所以雙曲線上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離都超過1．所以，不存

9、在滿足條件且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線． （2）解：由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：， 則這個(gè)雙曲線上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為： ∵， ∴若，則當(dāng)時(shí)，有最小值，由，解得（舍去）； 若，則當(dāng)時(shí)，有最小值，由，解得； ∴雙曲線的方程為： （3）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），延長與交于點(diǎn)T，連接OM． ∵ QM平分，且QM⊥， ∴ ，． 又∵點(diǎn)Q是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)， ∴ ∴ ， ∴ ， 即點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上． ∵ 當(dāng)點(diǎn)Q沿雙曲線右支運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，QM趨近于雙曲線的漸近線， ∴ 點(diǎn)M的軌跡是圓弧CBD，除去點(diǎn)C,點(diǎn)D.方程為：． 【例6】 如圖，過點(diǎn)A（－1，

10、0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點(diǎn). （I）若曲線C的焦點(diǎn)F與P，Q，R三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點(diǎn)R的軌跡方程； （II）設(shè)P，Q兩點(diǎn)只在第一象限運(yùn)動(dòng)， （0，8）點(diǎn)與線段PQ中點(diǎn)的連線交x軸于 點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，求k的取值范圍. 解：（I）要求點(diǎn)R的軌跡方程，注意到 點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)是由直線l的運(yùn)動(dòng)所引起的，因此可 以探求點(diǎn)R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān) 系． 然而，點(diǎn)R與直線l并無直接聯(lián)系．與l有直接聯(lián)系的是點(diǎn)P、Q，通過平行四邊形將P、Q、R這三點(diǎn)聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵． 由已知，代入拋物線C：y2=4x的方程，消

11、x得： ∵ 、Q ∴ 解得 設(shè)，M是PQ的中點(diǎn)，則由韋達(dá)定理可知： 將其代入直線l的方程，得 ∵ 四邊形PFQR是平行四邊形， ∴ 中點(diǎn)也是中點(diǎn). ∴ 又 ∴ ． ∴ 點(diǎn)R的軌跡方程為 （II）因?yàn)镻、在第一象限，所以，，．結(jié)合（I）得，…① 點(diǎn)（0，8）與PQ中點(diǎn)所在直線方程為．令y=0,得N點(diǎn)橫坐標(biāo)為：． 因?yàn)镹在點(diǎn)A右側(cè)，令，得．解之得k<0或 ② 綜合①②，得k的取值范圍是 【例7】 設(shè)F（1，0），M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且。 （I）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求N點(diǎn)的軌跡C的方程； （II）設(shè)是曲線C上的三點(diǎn)

12、，且 成等差數(shù)列，當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E（3，0）時(shí)，求B點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：（1）∵，故P為MN中點(diǎn)， 又∵，P在y軸上，F(xiàn)為（1，0）， 故M在x軸的負(fù)方向上，設(shè)N（x，y）則M（－x，0），P（0，），（x>0）， ∴， 又∵， 即 ∴ （II）拋物線C的準(zhǔn)線方程是x=－1，由拋物線定義知，， ∵成等差數(shù)列， ∴ 又， 故， ∴ ∴AD的中垂線為 而AD中點(diǎn) ∴。 即 由， ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為

13、（1，2）或（1，－2）。 【例8】 雙曲線的兩焦點(diǎn)分別是、，其中是拋物線的焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A（-3，2）、B（1，2）都在該雙曲線上． 　?。?）求點(diǎn)的坐標(biāo)； 　?。?）求點(diǎn)的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線． 解：（1）由得，焦點(diǎn)（-1，0）．　 （2）因?yàn)锳、B在雙曲線上， 所以，． ①若，則，點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線，且當(dāng)y＝0時(shí)，與重合；當(dāng)y＝4時(shí)，A、B均在雙曲線的虛軸上． 故此時(shí)的軌跡方程為x＝-1（y≠0，y≠4）． ②若，則，此時(shí)，的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，，，中心為（-1，2）的橢圓， 其方程為，（y≠0，y≠4）　 故的軌跡是直線x＝-1或橢圓，除去兩

14、點(diǎn)（-1，0）、（-1，4） 【軌跡方程的求法練習(xí)】 一、選擇題 1．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線 2．設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為( ) A. B. C. D. 二、填空題 3．△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,

15、則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_________. 4．高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________. 三、解答題 5．已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程. 6．雙曲線=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程. 7．已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為

16、A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q. (1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程； (2)當(dāng)m≠n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率. 8．已知橢圓=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R. (1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值. 參考答案 一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|

17、+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓. 答案：A 2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0) ∵A1、P1、P共線，∴ ∵A2、P2、P共線，∴ 解得x0= 答案：C 二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a, ∴應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方程為. 答案： 4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0. 答案：4x2+4y2－85x+100=0 三、5.解：

18、設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y≠0) 6.解：設(shè)P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(－a,0),A2(a,0). 由條件 而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－

19、a2y02=a2b2. 即b2(－x2)－a2()2=a2b2 化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠±a). 7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 則A1P的方程為：y= ① A2Q的方程為：y=－ ② ①×②得：y2=－ ③ 又因點(diǎn)P在雙曲線上，故 代入③并整理得=1.此即為M的軌跡方程. (2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓. (ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=； (ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐

20、標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=. 8.解：(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2. 又 得x1=2x0－c,y1=2y0. ∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2. 故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y≠0) (2)如右圖，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB 當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S△AOB最大值為a2. 此時(shí)弦心距|OC|=. 在Rt△AOC中，∠AOC=45°，