2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 專題能力訓(xùn)練12 數(shù)列的通項與求和 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 專題能力訓(xùn)練12 數(shù)列的通項與求和 文 1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=tan 225°,a5=13a1,設(shè)Sn為數(shù)列{(-1)nan}的前n項和,則S2 016=(　　) A. 2 016 B.-2 016 C.3 024 D.-3 024 2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2+n,數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*),Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,則T9等于(　　) A. B. C. D. 3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-2n-1,則a3+a17=(　　) A.15 B.17 C.34 D.398 4.已知

2、函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= +f(x)(x∈R),且f(1)=,則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)前20項的和為(　　) A.305 B.315 C.325 D.335 5.已知數(shù)列{an},構(gòu)造一個新數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A.an=,n∈N* B.an=,n∈N* C.an= D.an=1,n∈N* 6.植樹節(jié),某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10 m.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路

3、程總和最小,這個最小值為　　　　　 m.? 7.數(shù)列{an}滿足an+1=,a11=2,則a1=　　　　　.? 8.數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=2n+5,n∈N*,則an=　　　　　.? 9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通項公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和. 10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式; (2)若T3=21,求S3.

4、 11.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*). (1)求an與bn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn,求Tn. 二、思維提升訓(xùn)練 12.給出數(shù)列,…,,…, ,…,在這個數(shù)列中,第50個值等于1的項的序號是(　　) A.4 900 B.4 901 C.5 000 D.5 001 13.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　　.? 14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項

5、和為Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*. (1)證明:an+2=3an; (2)求Sn. 15.已知{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),且,S6=63. (1)求{an}的通項公式; (2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)n}的前2n項和. 16.已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列. (1)求q的值和{an}的通項公式; (2

6、)設(shè)bn=,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和. 專題能力訓(xùn)練12　數(shù)列的通項與求和 一、能力突破訓(xùn)練 1.C　解析 ∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,則公差d==3,∴an=3n-2. 又(-1)nan=(-1)n(3n-2), ∴S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024. 2.D　解析 ∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2+n, ∴當(dāng)n=1時,a1=2;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n, ∴an=2n(n∈N*), ∴bn

7、=, T9=+…+. 3.C　解析 ∵Sn=n2-2n-1, ∴a1=S1=12-2-1=-2. 當(dāng)n≥2時, an=Sn-Sn-1 =n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1] =n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1 =n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3. ∴an= ∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34. 4.D　解析 ∵f(1)=,f(2)=, f(3)=,……, f(n)=+f(n-1), ∴{f(n)}是以為首項,為公差的等差數(shù)列. ∴S20=20×=335. 5.A　解析 因?yàn)閿?shù)列a1,a2-a

8、1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項為1,公比為的等比數(shù)列, 所以an-an-1=,n≥2. 所以當(dāng)n≥2時, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1++…+ =. 又當(dāng)n=1時,an==1, 則an=,n∈N*. 6.2 000　解析 設(shè)放在第x個坑邊,則S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|). 由式子的對稱性討論,當(dāng)x=10或11時,S=2 000. 當(dāng)x=9或12時,S=20×102=2 040;…… 當(dāng)x=1或19時,S=3 800. ∴Smin=2 000 m. 7.　解析 由a11=2及an+1=,得

9、a10=. 同理a9=-1,a8=2,a7=,…. 所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列.所以a1=a10=. 8.　解析 在a1+a2+…+an=2n+5中用(n-1)代換n得a1+a2+…+an-1=2(n-1)+5(n≥2),兩式相減,得an=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an= 9.解 (1)由題意得 又當(dāng)n≥2時,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,n∈N*. (2)設(shè)bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 當(dāng)n≥3時,由于3n-1>n+

10、2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T1=2,T2=3. 當(dāng)n≥3時,Tn=3+, 所以Tn= 10.解 設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q, 則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. ① (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6. ② 聯(lián)立①和②解得(舍去), 因此{(lán)bn}的通項公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 當(dāng)q=-5時,由①得d=8,則S3=21. 當(dāng)q=4時,由①得d=-1,則S3=-6. 11.解 (1)由a1

11、=2,an+1=2an, 得an=2n(n∈N*). 由題意知:當(dāng)n=1時,b1=b2-1,故b2=2. 當(dāng)n≥2時,bn=bn+1-bn, 整理得,所以bn=n(n∈N*). (2)由(1)知anbn=n·2n, 因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1, 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*). 二、思維提升訓(xùn)練 12.B　解析 根據(jù)條件找規(guī)律,第1個1是分子、分母的和為2,第2個1是分子、分母的和為4,第3個1是分子、分母的和為6,……,第50

12、個1是分子、分母的和為100,而分子、分母的和為2的有1項,分子、分母的和為3的有2項,分子、分母的和為4的有3項,……,分子、分母的和為99的有98項,分子、分母的和為100的項依次是:,……,,…,,第50個1是其中第50項,在數(shù)列中的序號為1+2+3+…+98+50=+50=4 901. 13.-　解析 由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得=1,即=-1,則為等差數(shù)列,首項為=-1,公差為d=-1,∴=-n,∴Sn=-. 14.(1)證明 由條件,對任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而對任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 兩式相減,

13、得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2. 又a1=1,a2=2, 所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故對一切n∈N*,an+2=3an. (2)解 由(1)知,an≠0,所以=3,于是數(shù)列{a2n-1}是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項a2=2,公比為3的等比數(shù)列. 因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1. 于是S2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1) =3(1+3+…+3n-1)

14、=, 從而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1). 綜上所述,Sn= 15.解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由已知,有,解得q=2或q=-1. 又由S6=a1·=63,知q≠-1, 所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由題意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-, 即{bn}是首項為,公差為1的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{(-1)n}的前n項和為Tn,則T2n=(-)+(-)+…+(-)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2. 16.解 (1)由已知,有(a3+a4

15、)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3, 所以a2(q-1)=a3(q-1). 又因?yàn)閝≠1,故a3=a2=2, 由a3=a1·q,得q=2. 當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,an=a2k-1=2k-1=; 當(dāng)n=2k(k∈N*)時,an=a2k=2k=. 所以,{an}的通項公式為an= (2)由(1)得bn=.設(shè){bn}的前n項和為Sn,則Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×, Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×, 上述兩式相減,得Sn=1++…+=2-,整理得,Sn=4-. 所以,數(shù)列{bn}的前n項和為4-,n∈N*.