8、短距離為4-1=3,最大距離為4+1=5,故選C.
5.C 設圓心坐標為(2,-a)(a>0),則圓心到直線x+y=2的距離d==2,所以a=2,所以圓C的標準方程為(x-2)2+(y+2)2=4.
6.D 曲線x2+y2+2x-6y+1=0是圓(x+1)2+(y-3)2=9,若圓(x+1)2+(y-3)2=9上存在兩點P,Q關于直線l對稱,則直線l:x+my+4=0過圓心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故選D.
7.(x-1)2+y2=2 由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知該直線過定點(2,-1),從而點(1,0)與直線mx-y-2m-1
9、=0的距離的最大值為.故所求圓的標準方程為(x-1)2+y2=2.
8.3+2 由題意可得圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,其圓心為(-1,2),半徑為2,而直線l被圓截得的弦長為4,所以直線過圓心,所以a+b=1,又A-,0,B0, ,
所以|OA|+|OB|==(a+b)≥=3+2,
當且僅當b=a時等號成立.
9.x2+y2=2(除去點(1,1)和點(-1,-1)) 設C(x,y),根據(jù)在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.
考慮到A,B,C三點要構(gòu)成三角形,因此點C不能為(1,1)和(-1,
10、-1).
所以點C的軌跡方程為x2+y2=2(除去點(1,1)和點(-1,-1)).
10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 設圓M的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
由題意可得解得
所以圓M的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.
11.A 如圖所示,設點A(0,1)關于直線OM的對稱點為P,則點P在圓O上,
且MP與圓O相切,而點M在直線y=1上運動,圓上存在點N使∠OMN=45°,
則∠OMN≤∠OMP=∠OMA,
∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.
當∠AOM=45°時,x0=±1
11、.
∴結(jié)合圖像知,當∠AOM≤45°時,-1≤x0≤1,
∴x0的取值范圍為[-1,1].
12.6 方法1:設P(cos α,sin α),α∈R,則=(2,0),=(cos α+2,sin α),=2cos α+4.
當α=2kπ,k∈Z時,2cos α+4取得最大值,最大值為6.
故的最大值為6.
方法2:設P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值為6.
13.解 (1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圓心C的坐標為(2,7),半徑r=2.
又|QC|==4>
12、2,
所以點Q在圓C外,
所以|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)由題意可知表示直線MQ的斜率,
設直線MQ的方程為y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,則=k.
因為直線MQ與圓C有交點,
所以≤2,
所以2-≤k≤2+,
所以的最大值為2+,最小值為2-.
14.解 (1)將圓C的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.
①當切線在兩坐標軸上的截距為零時,設切線方程為y=kx,由,得k=2±,
∴切線方程為y=(2±)x.
②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時,設切線方程為x+y-a=0(a≠0),由,得|a-1|=2
13、,即a=-1或a=3.
∴切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0.
綜上,圓的切線方程為y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
整理得2x1-4y1+3=0,即點P在直線l:2x-4y+3=0上.
當|PM|取最小值時,|PO|取最小值,此時直線PO⊥l,
∴直線PO的方程為2x+y=0.
解方程組得點P的坐標為-.
15.①②④ 當-2≤x≤-1,點P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的圓,
當-1≤x≤1時,點P的軌跡是以B為圓心,半徑為圓,
當1≤x≤2時,點P的軌跡是以C為圓
14、心,半徑為1的圓,
當3≤x≤4時,點P的軌跡是以A為圓心,半徑為1的圓,
∴函數(shù)y=f(x)的周期是4.
畫出函數(shù)y=f(x)的部分圖像如圖所示.
①根據(jù)圖像的對稱性可知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),∴①正確.
②由圖像可知函數(shù)的周期是4.∴②正確.
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,∴③錯誤.
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),∴④正確.
故答案為①②④.
16.(x-2)2+(y-1)2=5 由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它且面積最小的圓是其外接圓.
因為△OPQ為直角三角形,
所以圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑r=,
所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.